尚仁杰

(中冶建筑研究總院有限公司 北京 100088)

引言

壓桿廣泛應(yīng)用在各類(lèi)結(jié)構(gòu)中，壓桿最關(guān)鍵的問(wèn)題是整體穩(wěn)定問(wèn)題。歐拉最早提出了細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形的彈性曲線問(wèn)題，并用橢圓積分表示了細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的精確解，目前，求解壓桿穩(wěn)定的方法有很多[1,2]，但是，基本都是求解靜力問(wèn)題，或者是動(dòng)態(tài)屈曲研究[3-5]，很少去研究失穩(wěn)的動(dòng)力過(guò)程[6-8]，而實(shí)際工程中失穩(wěn)都伴隨著突然的變形，引起強(qiáng)烈的振動(dòng)。

對(duì)于軸向受壓的細(xì)長(zhǎng)彈性理想直桿，給桿件以微小側(cè)向干擾使其稍微彎曲，則在去掉干擾后會(huì)出現(xiàn)兩種不同情況：當(dāng)軸向受壓較小時(shí)，壓桿最終恢復(fù)其原有直線形狀；當(dāng)軸向受壓較大時(shí)，干擾會(huì)引起壓桿側(cè)向振動(dòng)，并離開(kāi)直線位置?？梢?jiàn)，在軸向壓力逐漸增大的過(guò)程中，壓桿經(jīng)歷了兩種不同性質(zhì)的平衡狀態(tài)：穩(wěn)定直線平衡態(tài)和不穩(wěn)定直線平衡態(tài)。理想軸心壓桿，當(dāng)軸向壓力小于臨界荷載Fcr時(shí)，壓桿保持直線穩(wěn)定平衡，見(jiàn)圖1b的OA段；當(dāng)壓力超過(guò)Fcr時(shí)，桿件既可以在直線平衡段AC，也可以在彎曲平衡段AD，AC段是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，任何微小的擾動(dòng)都會(huì)使其離開(kāi)直線段AC而失去穩(wěn)定，兩種平衡的臨界點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的荷載就是臨界荷載Fcr。由于壓桿在AC段積累了應(yīng)變能，失穩(wěn)時(shí)應(yīng)變能的釋放會(huì)引起壓桿的側(cè)向振動(dòng)。失穩(wěn)往往伴隨著突跳[9]，是瞬間的、快速的，本文就是研究從AC段不穩(wěn)定直線平衡態(tài)失穩(wěn)引起的振動(dòng)以及失穩(wěn)過(guò)程的時(shí)間。

圖1 壓桿及F-w示意Fig.1 Compressive bar and equilibrium path curve

1 壓桿失穩(wěn)過(guò)程微分方程

假設(shè)受壓桿長(zhǎng)度為2L，如圖1所示，兩端靠位移加載，加載到一定程度后控制兩端的位置不動(dòng)，分析壓桿的穩(wěn)定性，以及失穩(wěn)的過(guò)程。

壓桿失穩(wěn)后產(chǎn)生側(cè)向彎曲變形，變形后曲線方程可按式(1):

(1)

其中：w(t)為壓桿中間點(diǎn)側(cè)向位移值，是時(shí)間的函數(shù)。

壓桿各點(diǎn)側(cè)向位移速度為：

(2)

壓桿變形曲線各點(diǎn)斜率為：

(3)

壓桿變形曲線各點(diǎn)曲率為：

(4)

t時(shí)刻，壓桿側(cè)向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能：

(5)

壓桿失穩(wěn)彎曲后曲線微段長(zhǎng)度：

(6)

壓桿曲線長(zhǎng)度：

壓桿長(zhǎng)度變化：

(7)

失穩(wěn)過(guò)程壓桿界面彎矩為：

(8)

根據(jù)歐拉公式，壓桿的臨界荷載為：

(9)

設(shè)壓桿壓力達(dá)到臨界值的α倍，即：

(10)

0時(shí)刻，壓桿還未彎曲變形時(shí)，軸向壓縮的應(yīng)變能為：

(11)

t時(shí)刻，失穩(wěn)側(cè)向彎曲過(guò)程中彎曲應(yīng)變能可根據(jù)式(8)積分得到：

(12)

t時(shí)刻，壓縮應(yīng)變能：

(13)

(14)

根據(jù)能量守恒：

EMt+EPt+EKt=EP0+Ek0

(15)

(16)

(17)

(18)

2 失穩(wěn)過(guò)程振動(dòng)分析

將方程(18)簡(jiǎn)化為：

(19)

2.1 無(wú)擾動(dòng)，

①當(dāng)α<1時(shí)，只有零解，w(t)=0。

②當(dāng)α=1時(shí)，也只有零解，w(t)=0，原因是兩端有軸向約束，要失穩(wěn)，需要軸向壓縮變形才可以。這與一般的臨界荷載時(shí)失穩(wěn)有些不同。

(α-1)aw2(t)-bw4(t)=0

(20)

(21)

壓桿達(dá)到新平衡位置時(shí)軸向變形新增：

壓桿內(nèi)力為：

(22)

重新達(dá)到臨界軸力Fcr。

2.2 有微小擾動(dòng)，為微小量

①當(dāng)α<1時(shí):

(23)

②當(dāng)α=1時(shí)：

(24)

壓桿失穩(wěn)后找到一個(gè)新的平衡位置w(t2)，達(dá)到w(t1)后開(kāi)始返回。

從失穩(wěn)開(kāi)始到振動(dòng)到最大位置的時(shí)間可通過(guò)數(shù)值積分[10]得到：

(25)

由此可以計(jì)算出失穩(wěn)過(guò)程的時(shí)間。

3 算例

鋼壓桿，截面圓管，外徑100mm，壁厚5mm，長(zhǎng)度2L=10m，彈性模量E=2×1011N/m2，截面積A=1.492×10-3m2,截面慣性矩I=1.688×10-6m4，線密度m=11.71kg/m。

臨界荷載：

α=1.25時(shí)，得到:

α=1.5時(shí)，得到:

α=2時(shí)，得到:

圖2 壓桿失穩(wěn)過(guò)程相圖Fig.2 Phase diagram of buckling of the bar

圖3 壓桿失穩(wěn)過(guò)程時(shí)間-位移圖Fig.3 Displacement-time curve of buckling of the bar

臨界力Fcr=3.332×104N對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為22.4MPa，10m長(zhǎng)壓桿壓縮變形為1.12mm，加載采用位移控制加載，α=2對(duì)應(yīng)的桿件壓縮為2.24mm，如果加載在0.1s內(nèi)壓力達(dá)到α=2，壓桿在α=1前失穩(wěn)時(shí)由于來(lái)不及產(chǎn)生足夠的側(cè)向變形，壓力會(huì)繼續(xù)增大到α=2，積累應(yīng)變能，隨后產(chǎn)生側(cè)向振動(dòng)，側(cè)向振動(dòng)能量耗散后達(dá)到平衡位置，軸向力仍為Fcr；如果緩慢加載，壓桿會(huì)在臨界力前側(cè)向失穩(wěn)，來(lái)不及加載到α=2而產(chǎn)生大幅度彎曲，軸向力保持為Fcr。

4 結(jié)論

本文通過(guò)能量守恒推導(dǎo)了理想壓桿失穩(wěn)動(dòng)力學(xué)過(guò)程的微分方程，通過(guò)微分方程分析和算例分析，可得到以下結(jié)論：

1.控制壓桿兩端位移的情況下，失穩(wěn)過(guò)程微分方程可表達(dá)為：

2.當(dāng)軸向壓力不大于臨界荷載時(shí)，振動(dòng)為平衡位置的自由振動(dòng)；

4.壓桿失穩(wěn)過(guò)程的位移-時(shí)間曲線見(jiàn)圖3，軸向壓力越大，失穩(wěn)速度越快。

需要說(shuō)明的是，本文是假設(shè)兩端位移控制加載，當(dāng)用荷載控制加載時(shí)，失穩(wěn)過(guò)程會(huì)有所不同。