李 強(qiáng)

（運(yùn)城學(xué)院機(jī)電工程系，山西運(yùn)城 044000）

直流電路的暫態(tài)分析是“電工技術(shù)”的重要內(nèi)容，是機(jī)電類專業(yè)學(xué)生需要掌握的重點(diǎn)知識。由于該類電路含有儲能元件，在分析過程中涉及到常微分方程的求解過程，使得學(xué)生對電路分析感到困難。因此，針對教學(xué)內(nèi)容，利用現(xiàn)代電子仿真技術(shù)探索新的教學(xué)方法和手段勢在必行[1]。

MATLAB是MathWorks開發(fā)的科學(xué)與工程計算軟件，它以矩陣運(yùn)算和符號運(yùn)算為基礎(chǔ)，內(nèi)含豐富的算法，把繪圖及動態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)仿真等功能有機(jī)融合在一起[2]。目前已有學(xué)者對進(jìn)行了MATLAB在暫態(tài)電路中的應(yīng)用研究。主要是進(jìn)行二階電路的頻率特性研究以及響應(yīng)的Simulink仿真，但不適合非電類專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)。還有學(xué)者進(jìn)對一階RC的電路進(jìn)行Simulink仿真并繪制出電路的響應(yīng)曲線，而對一階RL電路的暫態(tài)研究較少。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，以直流電機(jī)的勵磁繞組為例，研究感性負(fù)載在直流電路中的響應(yīng)過程。首先在對電路進(jìn)行建模的基礎(chǔ)上，利用符號常微分方程求解的方法，來求解系統(tǒng)的一階零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。最后給出了一階RL電路模型對應(yīng)的響應(yīng)曲線，在此基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行分析。

1 一階RL系統(tǒng)模型

直流電機(jī)中，勵磁繞組通以直流電來建立主磁場，工作時它分為建立磁場和關(guān)閉磁場兩個階段[3]。圖1 為一個參數(shù)為L、R 的電機(jī)勵磁繞組。整個電路由電源Us、開關(guān)K、電阻R、R1和電感L組成，將流過電感的電流iL及電感兩端的電壓UL作為電路的輸出。

建立磁場電路模型，流過電感電流由零變?yōu)榉€(wěn)定值。該過程包括開關(guān)K斷開時的初始穩(wěn)定狀態(tài)1(t＜0)，開關(guān)K接至位置1后的暫態(tài)過程(t≥0)以及新的穩(wěn)定狀態(tài)1。等效電路如圖2所示。分析如下：

初始穩(wěn)定狀態(tài)1 為iL=0；新的穩(wěn)定狀態(tài)1 為

由于初始穩(wěn)定狀態(tài)1電感無儲能，電路處于零狀態(tài)。根據(jù)基爾霍夫電壓定律和電感元件的時域伏安特性可得方程組(1)。

求解微分方程iL1、uL1便可求出開關(guān)K 接至位置1后的零狀態(tài)響應(yīng)。

關(guān)閉磁場電路模型，流過電感電流由穩(wěn)定值變?yōu)榱恪Ｔ撨^程包括開關(guān)K接至1時初始穩(wěn)定狀態(tài)2，開關(guān)K 接至位置2 的暫態(tài)過程(t≥0)以及新的穩(wěn)定狀態(tài)2。等效電路如圖3所示。電阻R1是為了加快繞組中電流的下降過程而設(shè)置的耗能電阻[4]。分析如下：

由于換路后電路無輸入激勵，電路處于零輸入。此時電路響應(yīng)特性通過方程組2來描述。

求解微分方程iL2、uL2便可求出開關(guān)K 接至位置2后的零輸入響應(yīng)。

圖2 建立磁場電路模型

圖3 關(guān)閉磁場電路模型

2 系統(tǒng)模型的仿真與實現(xiàn)

2.1 符號常微分方程的求解

MATLAB內(nèi)部集成符號運(yùn)算工具箱，提供符號運(yùn)算功能。應(yīng)用符號計算，可以直接對抽象的符號對象進(jìn)行各種計算，并獲得問題的解析結(jié)果。desolve函數(shù)實現(xiàn)以符號方式對常微分方程進(jìn)行求解，得出其解析解[5]。

零狀態(tài)響應(yīng)對應(yīng)的方程組1的求解語句如下：

整理后即可得到電路2中電感元件的零狀態(tài)響應(yīng)方程組（3）如下：

零輸入響應(yīng)對應(yīng)的方程組2的求解語句如下：

代碼運(yùn)行結(jié)果為：

整理后即可得到電路3中電感元件的零輸入響應(yīng)方程組（4）如下：

某臺直流電機(jī)的勵磁繞組參數(shù)如下：US=40 V,L=1 H,R=5 Ω,R1=10 Ω 。將其帶入方程組3 可得此臺直流電機(jī)繞組的零狀態(tài)響應(yīng)，計算結(jié)果為方程組5所示。將其帶入方程組4可得它的零輸入響應(yīng)，計算結(jié)構(gòu)為方程6所示。

2.2 暫態(tài)曲線繪制

采用MATLAB中提供的二維繪圖函數(shù)plot來繪制電路2與電路3的暫態(tài)變化過程。

基于公式5 來繪制圖2 對應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)圖形。時間區(qū)間為[0,2]，步長為0.01 s，程序段1為電感電流的響應(yīng)過程，程序段2 為電感電壓的響應(yīng)過程。

程序段1：

程序段2：

繪圖結(jié)果如圖4 所示。圖中uLs 線條表示電路零狀態(tài)響應(yīng)過程中，勵磁繞組電壓的變化情況；線條iLs 表示該過程時勵磁繞組電流變化情況。

圖4 零狀態(tài)響應(yīng)曲線

基于公式6 來繪制圖3 對應(yīng)的零輸入響應(yīng)圖形。程序段3 為電感電流的響應(yīng)過程，程序段4 為電感電壓的響應(yīng)過程。

程序段3：

程序段4：

繪圖結(jié)果如圖5 所示。圖中線條uLs 表示電路在零輸入響應(yīng)過程中，勵磁繞組電壓的變化情況；線條iLs 表示該過程時勵磁繞組電流變化情況。

圖5 零輸入響應(yīng)曲線

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果分析

由圖4 可知，對于零狀態(tài)響應(yīng)而言，流過電感的電流不會發(fā)生突變，電流方向與電感兩端的電壓方向一致，電感電壓由最初的40 V 衰減為0 V。最終電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，此時uL=0 V，iL=8 A。由圖5 可知，對于零輸入響應(yīng)而言，流過電感的電流也不會突變，其電流大小從8 A減小為0 A，電感兩端的電壓方向與電流方向相反，其電壓從-40 V衰減為為0 V。最終電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。此時，uL=0 V,iL=0 A。在電路的兩種響應(yīng)圖中，儲能元件電感兩端的電壓和流過它的電流，總是以指數(shù)形式變化。

時間常數(shù)τ對電路暫態(tài)過程的影響。如圖6所示，當(dāng)耗能電阻為R1=10 Ω 時，該電路的時間常數(shù)為≈0.067，此時電感元件響應(yīng)過程為曲線uL(10),iL(10)；當(dāng)耗能電阻為R1=0 Ω 時，該電路的時間常數(shù)為=0.2，電感元件響應(yīng)過程為曲線uL(0),iL(0)。由圖可知，R1越大，時間常數(shù)越小，電感元件越容易釋放能量，暫態(tài)過程越短，但對電感元件的耐壓有更高的要求。相反，時間常數(shù)大，電感不容易釋放能量，暫態(tài)過程較長。

圖6 時間常數(shù)τ 對電路暫態(tài)過程的影響

4 結(jié)語

本文以給定參數(shù)的直流電機(jī)勵磁繞組為例，分析了其建立磁場和關(guān)閉磁場的兩種電路模型，通過MATLAB 軟件計算出該電路下的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，并以圖形的形式反映響應(yīng)結(jié)果，從而得出一階RL 電路中的電感元件的電流變化規(guī)律以及時間常數(shù)對電路暫態(tài)過程的影響。

在直流暫態(tài)電路教學(xué)中引入MATLAB 虛擬仿真軟件，利用其強(qiáng)大的運(yùn)算和可視化功能，通過現(xiàn)場簡單編程計算、曲線繪制，使原本抽象的內(nèi)容變得生動，復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算變得容易，這將增強(qiáng)學(xué)生對RL 一階電路工作過程的理解，激發(fā)學(xué)生對自然科學(xué)工程技術(shù)的好奇心和學(xué)習(xí)興趣。