文 周曉蘭

（作者單位：江蘇省無錫市梅梁中學）

一、利用頻率估計概率

例1在一個黑色的布袋里裝有四個乒乓球，其中標號為1、2的是兩個白球，標號為3、4的是兩個黃球，這四個球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同。將這四個球充分攪勻，小芳從這個布袋里摸出一只球后，記下標號，放入布袋充分攪勻后再摸，重復10次，其中摸出標號為1的球5次，那么小芳第11次摸出標號為1的球的概率是多少？

【錯解】。

【分析】錯解計算的是前10次摸出標號為1的球的頻率。只有當試驗次數(shù)足夠大時，才可以用頻率估計概率，所以不能用作為事件發(fā)生的概率。

【正解】。

【點評】用事件發(fā)生的頻率來估計事件發(fā)生的概率所需要的條件，是“在同樣條件下，大量重復試驗時”。10次試驗顯然是隨機事件，所以第11次事件發(fā)生的結(jié)果與前面是無關的。

二、不清楚“放回”與“不放回”

例2某商場舉辦抽獎活動，規(guī)則如下：在不透明的袋子中有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外都相同，顧客每次摸出一個球，若摸到紅球，則獲得1份獎品，若摸到黑球，則沒有獎品。如果小芳一次摸出2個球,求小芳獲得2份獎品的概率。（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程。）

【錯解】

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到紅球的結(jié)果數(shù)為4，所以P（獲得2份獎品）。

【分析】有的同學沒有弄明白這里的“摸出2個球”是放回問題還是不放回問題。這里的“摸出2個球”是一次摸出的，所以是不放回問題。

【正解】

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中一次摸到2個紅球的結(jié)果數(shù)為2，所以P（獲得2份獎品）=。

三、三步及三步以上試驗中概率的求解方法

例3甲、乙、丙三人聚會，每人帶了一件從外盒包裝上看完全相同的禮物（里面的東西只有顏色不同），將三件禮物放在一起，每人從中隨機抽取一件。設甲、乙、丙三人抽到的都不是自己帶來的禮物，記為事件A，求事件A的概率。

【錯解】記甲、乙、丙三個人為A、B、C，他們各自的禮物記為a、b、c，則有

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中“甲、乙、丙三人抽到的都不是自己的禮物”有6種等可能的結(jié)果，∴P（A）=。

【分析】事件A涉及三個因素，將題目中的文字信息用相應的字母代替，這樣解題能體現(xiàn)“符號化”的優(yōu)勢，但是樹狀圖中的因素是禮物，不涉及人。這道題屬于不放回的問題，因為有三個人，所以要分三個階段完成。

【正解】記甲、乙、丙三個人各自的禮物為a、b、c，則有

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中“甲、乙、丙三人抽到的都不是自己的禮物”有2種等可能的結(jié)果。

【點評】當涉及三步試驗時，利用“樹狀圖”能幫助我們不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果。通過此題我們可以發(fā)現(xiàn)，當遇到要經(jīng)過多個步驟才能完成的概率題時，用樹狀圖法會更有效。