李任杰, 吉 鋒, 張津銘, 潘勇杰, 熊朝正

(成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610059)

節(jié)理巖體普遍存在于巖體工程中,其力學(xué)性質(zhì)等均較復(fù)雜,直接影響巖體的安全性。流變?yōu)閹r石變形破壞中較為重要的一種表現(xiàn)形式,節(jié)理流變往往決定巖體的流變。巖體蠕變本構(gòu)模型的研究是目前了解巖體蠕變特性的重點(diǎn)和熱點(diǎn)[1]。目前應(yīng)用較為廣泛的本構(gòu)模型構(gòu)建方法主要為元件組合模型,其通過基本元件組合、改進(jìn)以往的線性元件為非線性元件組合模型以及加入損傷參數(shù)等變量對(duì)蠕變過程進(jìn)行擬合[2]。

孫海忠等[3]采用含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Kelvin模型對(duì)軟土的黏彈性蠕變過程進(jìn)行較好的模擬,并認(rèn)為形式上簡(jiǎn)單統(tǒng)一,且參數(shù)少,具有較為廣泛的應(yīng)用前景。王紅娟等[4]于Kelvin體黏性元件中引入分?jǐn)?shù)階函數(shù),且彈性元件考慮彈性參數(shù)隨時(shí)間變化,對(duì)黏塑性體進(jìn)行改進(jìn),構(gòu)建變參數(shù)非線性黏彈性蠕變模型,經(jīng)過驗(yàn)證,模型模擬效果較好。陳家瑞等[5]通過引入分?jǐn)?shù)階Kelvin模型,解決了整數(shù)解Kelvin的擬合效果不好的問題,最終證明模型能夠較好地模擬破碎泥巖的蠕變過程。郭佳奇等[6]將Kelvin模型中牛頓黏性體替換為含分?jǐn)?shù)階微積分的FC元件,最后通過元件組合模型,形成基于分?jǐn)?shù)階微積分的流變模型,通過與整數(shù)階流變模型相比較,其模擬效果較好。黃海峰等[7]基于Riemann-Liouville理論,于黏性元件中引入分?jǐn)?shù)階微積分,使得更加符合巖石材料的流體性質(zhì),最終模型通過對(duì)紅層泥巖及相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,充分說明了本構(gòu)模型的適用性。劉峻松等[8]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論,對(duì)蠕變本構(gòu)模型中的基本元件進(jìn)行改進(jìn),最終構(gòu)建一種新的三元件蠕變損傷本構(gòu)模型,通過辨識(shí)砂巖的試驗(yàn)數(shù)據(jù),證明了所建本構(gòu)模型的合理適用性。唐皓等[2,9]利用分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件替換西原模型中所有的黏壺元件,并將黏滯系數(shù)非定?；?得到分?jǐn)?shù)階微積分改進(jìn)的黃土西原模型,對(duì)黃土蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí),結(jié)果證明模型的辨識(shí)效果較好。徐國文等[10]根據(jù)R-L分?jǐn)?shù)階微積分理論,提出分?jǐn)?shù)階微積分黏壺元件替換西原模型中的黏壺元件,結(jié)果表明模型能夠較好地對(duì)蠕變?nèi)A段進(jìn)行反映。陳亮等[11]通過引入基于分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件,對(duì)巖石蠕變的三階段進(jìn)行很好的模擬。

上述研究將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于蠕變本構(gòu)模型中,且均取得較好的效果,但是多為完整巖石的蠕變本構(gòu)模型,少有涉及貫通型硬性結(jié)構(gòu)面和非貫通結(jié)構(gòu)面的剪切蠕變本構(gòu)模型研究。因此將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于非貫通硬性結(jié)構(gòu)面巖體剪切蠕變本構(gòu)模型中具有較為重要的意義。

針對(duì)非貫通硬性結(jié)構(gòu)面蠕變?cè)囼?yàn)及本構(gòu)模型方面研究的缺乏,通過制作非貫通硬性結(jié)構(gòu)面試樣,進(jìn)行剪切蠕變?cè)囼?yàn),揭示非貫通硬性結(jié)構(gòu)面剪切蠕變特性,建立基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型。

1 剪切蠕變?cè)囼?yàn)設(shè)計(jì)及成果

1.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及試驗(yàn)設(shè)備

參考李銀平等[12]所提利用云母片模擬結(jié)構(gòu)面的方法,模擬硬性結(jié)構(gòu)面,進(jìn)一步制作非貫通硬性結(jié)構(gòu)面的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?進(jìn)行剪切試驗(yàn)及剪切蠕變?cè)囼?yàn),揭示非貫通硬性結(jié)構(gòu)面的剪切蠕變特性。試樣制作采用類巖石材料及其比例為水∶水泥∶標(biāo)準(zhǔn)砂=3∶8∶8的比例進(jìn)行水泥砂漿的澆筑,待其固結(jié)24 h后進(jìn)行拆模,并于水中養(yǎng)護(hù)20 d后進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)。試驗(yàn)所用試樣制作流程如圖1所示。

圖1 模型制作流程Fig.1 Model making process

剪切蠕變?cè)囼?yàn)在地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的YZJL-300型巖石剪切流變儀上進(jìn)行。

剪切蠕變?cè)囼?yàn)基于單軸壓縮試驗(yàn)和直剪試驗(yàn)的成果上,采用陳氏分級(jí)加載法,進(jìn)行非貫通硬性結(jié)構(gòu)面的剪切蠕變?cè)囼?yàn)。對(duì)連通率k=(L4L5)/(L1L3)=0.64試樣加載不變的正應(yīng)力σ,由低到高加載剪應(yīng)力τ,每級(jí)剪應(yīng)力如表1所示,每級(jí)剪應(yīng)力持續(xù)時(shí)間為48 h,直至試樣破壞。

表1 剪切蠕變?cè)囼?yàn)參數(shù)

1.2 試驗(yàn)成果

通過剪切蠕變?cè)囼?yàn),在應(yīng)力加載瞬間或增大至下一級(jí)應(yīng)力時(shí),非貫通硬性結(jié)構(gòu)面試樣有明顯的瞬時(shí)變形現(xiàn)象。同時(shí),剪切蠕變?cè)囼?yàn)過程中出現(xiàn)了較為完整的蠕變?nèi)A段,即衰減蠕變階段、穩(wěn)速蠕變階段、加速蠕變階段,如圖2所示。

圖2 剪切流變?cè)囼?yàn)曲線Fig.2 Shear rheological test curve

2 分?jǐn)?shù)階微積分軟體元件

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分簡(jiǎn)介

分?jǐn)?shù)階微積分的定義方式多樣,而最常用且應(yīng)用廣泛的定義方式為Riemann-Liouville。分?jǐn)?shù)階微積分核心在于將整數(shù)階微積分推廣至分?jǐn)?shù)、復(fù)數(shù)層面。

函數(shù)f(t)的β階積分為[9]

(1)

式(1)中:t、t0、τ為自變量；β為階數(shù)。

分?jǐn)?shù)階微分定義為

(2)

式(2)中:β∈(n-1,n],n為正整數(shù),且β>0；Γ(β)為Gamma函數(shù),即

(3)

式(3)中：Re代表取復(fù)數(shù)的實(shí)部。

2.2 基于分?jǐn)?shù)階微積分建立的軟體元件

實(shí)際上,巖石為一種介于理想彈性體和理想流體之間的一種流體材料。

理想彈性體(Hooke體)的應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)胖g呈正比例關(guān)系，即

(4)

式(4)中:τ為應(yīng)力,MPa；ε為應(yīng)變；E為彈性模量,GPa。經(jīng)過改寫可以寫為[2,9,13]

(5)

理想流體(Newton體)應(yīng)力-應(yīng)變-時(shí)間關(guān)系為

(6)

式(6)中:η為黏性系數(shù)；t為時(shí)間。經(jīng)過改寫可以寫為[2,9,13]

(7)

由于巖石材料在黏彈性階段既非理想彈性體也非理想流體的性質(zhì),恰好與式(5)、式(6)中的微分階數(shù)0和1相對(duì)應(yīng),因此其巖石的本構(gòu)關(guān)系可能為

(8)

式(8)中：β指元件階數(shù),β=0或1時(shí),正好對(duì)應(yīng)于理想狀態(tài)下的彈性體和流體。因此,該軟體元件(圖3)可應(yīng)用于巖石材料變形的描述。

圖3 軟體元件Fig.3 Software element

當(dāng)應(yīng)力τ恒定時(shí),該元件即可用來描述巖土材料的蠕變特性。對(duì)式(8)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階積分,依據(jù)R-L分?jǐn)?shù)階微積分算子理論,可得:

(9)

3 加速蠕變?cè)奶岢?/h2>

目前針對(duì)于加速蠕變過程的本構(gòu)元件的提出以改進(jìn)現(xiàn)有的基本元件、基本元件組合、引入M-C(摩爾-庫侖)塑性體元件來對(duì)加速蠕變過程進(jìn)行模擬。

張清照等[14]、Zhang等[15]依據(jù)結(jié)構(gòu)面剪切蠕變曲線的特點(diǎn),提出一個(gè)非線性黏性元件,如圖4所示,以更好地對(duì)結(jié)構(gòu)面剪切蠕變?nèi)^程進(jìn)行模擬。

圖4 非線性黏性元件Fig.4 Nonlinear viscous element

非線性黏性元件的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系為

(10)

即非線性黏性元件的本構(gòu)模型為

(11)

當(dāng)巖石應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力條件下,巖石蠕變開始進(jìn)入加速蠕變階段。此時(shí),蠕變應(yīng)變速率開始快速增長,黏壺元件黏滯系數(shù)開始逐漸降低,依據(jù)Jean Lemaitre[8,16]應(yīng)變等價(jià)性假說,對(duì)式(11)中的η進(jìn)行非定?；?加速蠕變?cè)?jīng)非定常化之后的本構(gòu)方程為

(12)

式(12)中：b為與流變有關(guān)的參數(shù)。

4 蠕變本構(gòu)模型構(gòu)建

通過對(duì)剪切蠕變?cè)囼?yàn)進(jìn)行分析,剪切蠕變?cè)囼?yàn)體現(xiàn)了瞬時(shí)變形、衰減蠕變過程、穩(wěn)速蠕變過程、加速蠕變過程。根據(jù)此試驗(yàn)現(xiàn)象,建立了一個(gè)由彈簧元件、黏彈性元件、一個(gè)能夠反映加速蠕變過程的非線性黏性元件通過串并聯(lián)的方式組成基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型,如圖5所示。

圖5 基于分?jǐn)?shù)階微積分蠕變本構(gòu)模型Fig.5 Creep constitutive model based on fractional calculus

由本構(gòu)模型的并聯(lián)型關(guān)系可知,圖5中本構(gòu)模型的總應(yīng)變等于圖中1、2、3部分的總和,即

ε=ε1+ε2+ε3

(13)

(1)彈性體(胡克體)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足Hooke定律,其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)滿足:

(14)

(2)分?jǐn)?shù)階微積分Kelvin體中含基于分?jǐn)?shù)階微積分所建立的軟體元件,能夠更好地對(duì)巖石的黏彈性變形過程進(jìn)行模擬,其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)滿足:

(15)

式(15)中：εve、εe、ε分別為Kelvin體、Kelvin體中彈性元件、Kelvin體中黏性元件所產(chǎn)生的應(yīng)變。

將式(8)和式(14)代入式(15),可得黏彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變-時(shí)間關(guān)系為

(16)

經(jīng)過轉(zhuǎn)換,即可得：

(17)

對(duì)式(17)進(jìn)行拉普拉斯變換后可得

(18)

式(18)中：s表示拉普拉斯變換空間復(fù)變量。

假設(shè),τ/η1=a,E2/η1=b,代入式(18)并整理得：

(19)

進(jìn)一步通過對(duì)式(19)進(jìn)行拉普拉斯的逆變換,即可得出：

(20)

(3)模型加速蠕變?cè)谋緲?gòu)模型為

(21)

式(21)中：λ的意義與式(12)中n的意義相同。

根據(jù)本構(gòu)模型總應(yīng)變與各元件之間的應(yīng)變關(guān)系,即式(14),得所用的本構(gòu)模型為

(22)

式(22)中：第1式適用范圍為在巖石蠕變過程未出現(xiàn)加速蠕變階段的過程；第2式適用于在巖石蠕變過程中出現(xiàn)加速蠕變階段的巖石蠕變。

5 模型參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證

對(duì)模型參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證主要采用1stOpt數(shù)學(xué)優(yōu)化軟件,基于麥夸特法M-L算法和通用全局算法,利用不同條件下蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)上述本構(gòu)模型中的參數(shù)進(jìn)行擬合,擬合參數(shù)如表2所示。通過分析本構(gòu)模型中待定參數(shù),若巖石蠕變過程未出現(xiàn)加速蠕變階段時(shí),其所需擬合的參數(shù)量為5個(gè),分別為E1、E2、η1、β、n；若巖石蠕變過程出現(xiàn)加速蠕變階段,其所需要擬合的參數(shù)量為8個(gè),分別為E1、E2、η1、η2、β、n、b、λ?？傮w上,模型中所需擬合的參數(shù)相比較于現(xiàn)有的多數(shù)模型參數(shù)減少,同時(shí)根據(jù)R2,試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本構(gòu)模型之間的相關(guān)性較高。

表2 硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型參數(shù)

注:擬合參數(shù)小于1×10-10時(shí)取為0。

圖6 蠕變?cè)囼?yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.6 Comparisons between creep test values and predicted values

圖6(a)、圖6(b)所示為結(jié)構(gòu)面連通率k=0.64、σ=8.40 MPa下剪切蠕變?cè)囼?yàn)與擬合值對(duì)比。對(duì)比非貫通結(jié)構(gòu)面巖樣的剪切蠕變?cè)囼?yàn)值與預(yù)測(cè)值,本文中的本構(gòu)模型能夠較好地對(duì)非貫通結(jié)構(gòu)面剪切蠕變特性的3個(gè)階段進(jìn)行模擬,之間的平均相關(guān)性系數(shù)R2為0.94。圖6(c)、圖6(d)分別為利用本文所建本構(gòu)模型對(duì)文獻(xiàn)[1,17]中貫通型硬性結(jié)構(gòu)面巖石的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證,最終通過比較試驗(yàn)值與擬合值,表明本構(gòu)模型能夠較好地對(duì)蠕變的3個(gè)階段進(jìn)行模擬,之間的平均相關(guān)性系數(shù)R2為0.97,說明本文所構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型也可適用于貫通型硬性結(jié)構(gòu)面。經(jīng)過對(duì)所建本構(gòu)模型的驗(yàn)證,本構(gòu)模型能夠較好地反映出含硬性結(jié)構(gòu)面巖樣(巖體)的蠕變特性。

6 結(jié)論

通過元件組合方式構(gòu)建適用于巖石含硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型,在傳統(tǒng)Kelvin模型中引入基于分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件,同時(shí)引入一種能夠描述結(jié)構(gòu)面蠕變的加速元件,將加速蠕變?cè)酿禂?shù)進(jìn)行非定常化,構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型。

通過連通率k=0.64、σ=8.40 MPa、不同剪應(yīng)力下的剪切蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)所構(gòu)建的本構(gòu)模型進(jìn)行辨識(shí),結(jié)果表明,構(gòu)建的本構(gòu)模型能夠較好地對(duì)非貫通硬性結(jié)構(gòu)面巖體剪切蠕變特性的3個(gè)階段進(jìn)行模擬,其平均R2為0.94左右。

利用含節(jié)理泥板巖及三峽船閘區(qū)巖石的貫通型硬性結(jié)構(gòu)面試樣的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù),進(jìn)一步對(duì)本文所建的本構(gòu)模型進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明,本構(gòu)模型能夠較好地對(duì)貫通性結(jié)構(gòu)面的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí),其平均R2為0.97。

綜上,本文所構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石硬性結(jié)構(gòu)面蠕變本構(gòu)模型能夠較好地反映含硬性結(jié)構(gòu)面巖體的蠕變特性。