張佳淳　汪曉勤

【摘 要】“軌跡”是滬教版初中數(shù)學八年級上冊的內容，對于該課的教學設計，已有的研究不多且存在些許問題。文章采用HPM課例評析框架，對兩位教師執(zhí)教的“軌跡”概念課例進行比較分析，呈現(xiàn)數(shù)學史在能力之助、探究之樂、文化之魅和德育之效等方面的教育價值。

【關鍵詞】HPM;軌跡;同課異構

【作者簡介】張佳淳，華東師范大學教師教育學院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究;汪曉勤（本文通訊作者），華東師范大學教師教育學院教授，博士生導師，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數(shù)學教育教學研究基地項目“數(shù)學課程與教學中如何落實立德樹人研究”（A8）

“軌跡”是滬教版初中數(shù)學八年級上冊的內容，現(xiàn)有的教學設計大多先利用實例形成表象認識，再結合字面剖析軌跡概念，接著辨析三個基本軌跡，最后探求軌跡圖形[1-3]。雖然有研究者對此內容做過研究，但還是存在些許問題，如教師不明確教學目的，對為什么要教授“軌跡”心中無數(shù)[1]39-43;學生也不明白軌跡學習的必要性等。另外，很多教師對于軌跡概念的歷史知之甚少，HPM視角下的“軌跡”概念教學設計更是付之闕如。

鑒于此，HPM工作室開展了“軌跡”概念的課例研究。本課例的執(zhí)教者分別是教師A和教師B，他們都從HPM的視角經(jīng)歷了選題與聚焦、研討與設計、實施與評價的課例研究過程，但由于學校文化、教師旨趣、學生基礎、史料選擇、教學目標、教學設計等方面的差異，最終形成了效果不同、各具特色的兩個課例。筆者采用HPM課例評析框架[4]，對兩位教師如何選擇和應用數(shù)學史，數(shù)學史在兩節(jié)課中各體現(xiàn)的教育價值，以及兩節(jié)課各自的特色等進行比較分析，以期為“軌跡”概念教學以及HPM課例研究提供借鑒。

一、歷史素材

唐代詩人王維有詩云：“大漠孤煙直，長河落日圓?！睂嶋H上，直線和圓是人們在現(xiàn)實生活中所見的形象經(jīng)過抽象而成的幾何概念，歐幾里得在《幾何原本》中給出兩者的靜態(tài)定義。古希臘人使用尺規(guī)來作圖，在尺規(guī)作圖的動態(tài)過程中，古希臘人感悟到靜態(tài)的直線和圓，其實是通過點的運動而形成的兩種軌跡，從而產(chǎn)生軌跡的概念。另外，現(xiàn)實世界物體的運動、天體的運動、流星等現(xiàn)象也會促進他們對軌跡的認識。公元前4世紀，古希臘數(shù)學家阿契塔明確提出了“曲線是點的軌跡”的觀點[5]。

在利用尺規(guī)解決三大幾何難題（化圓為方問題、三等分角問題、倍立方問題）遭遇失敗后，古希臘數(shù)學家開始用新的軌跡來解決問題。公元前5世紀，希皮亞斯利用正方形相鄰兩邊的運動構造了新的軌跡——割圓曲線[6];公元前3世紀，阿基米德則構造了沿射線運動的一點，當射線本身繞端點沿逆時針方向旋轉時的軌跡——阿基米德螺線[7]。割圓曲線和阿基米德螺線都可以用來解決三等分角問題。

《幾何原本》中的一些命題與軌跡也有密切的聯(lián)系。如第一卷命題37：“同底且同位于兩條平行線之間的三角形彼此相等?！钡谝痪砻}39：“同底同側且相等的三角形同位于兩條平行線之間?！盵8]這兩個命題分別體現(xiàn)了直線軌跡的純粹性和完備性。

給定底邊，則以底邊的一條平行線上任一點為頂點的三角形面積彼此相等。

給定底邊，則面積彼此相等的所有同側三角形的頂點都位于底邊的一條平行線上。

《幾何原本》第三卷命題21：“在一個圓中，同一弓形中的（圓周）角彼此相等?！钡谌砻}31的一部分：“半圓上的（圓周）角為直角?！睂氖菆A弧軌跡的純粹性。

以圓的弓形底邊為底邊，圓弧（不含底邊的端點）上的點為頂點的所有三角形的頂角都彼此相等。

以圓的直徑為底邊，半圓（不含直徑的端點）上的點為頂點的所有三角形的頂角都是直角。

如果我們相應地補充完備，可分別得到以下命題。

給定底邊，頂角相等的所有三角形的頂點都位于同一圓弧（不含底邊的端點）上。

給定底邊，頂角為直角的所有三角形的頂點都位于同一半圓（不含直徑的端點）上。

公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在《平面軌跡》中證明了一系列平面軌跡命題[9]，其中與本節(jié)課聯(lián)系密切的有以下命題。

到兩條已知直線（平行或相交）的距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線。

到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓。

到n個定點的距離的平方和等于已知數(shù)的動點軌跡為圓。

17世紀，法國數(shù)學家費馬用運動來刻畫軌跡：取一條固定直線及其上一固定點，當一條變線段的一個端點沿直線移動時，另一端點的運動即形成了軌跡[10]。類似地，法國數(shù)學家笛卡兒通過建立坐標系（單軸、斜坐標）來研究軌跡問題。費馬和笛卡兒成了解析幾何的創(chuàng)始人。有了解析幾何這一新工具，人們得以用代數(shù)方法來研究動點的軌跡。法國數(shù)學家拉希爾將橢圓定義為平面上到兩定點距離之和等于常數(shù)的動點軌跡[11]，這個定義也可以改編為與三角形相關的命題：“給定底邊，周長相等的所有三角形的頂點都位于一個橢圓上（不含橢圓長軸的端點）?！焙商m數(shù)學家舒騰還設計了橢圓的多種機械作圖工具。

在開展“軌跡”概念課例研究之初，教師A和教師B都研讀了上述史料，并將部分史料用于教學設計。

二、宏觀比較

（一）教學重難點及教學目標

教師A和教師B所擬訂的教學重難點基本一致。

教學重點：（1）點的軌跡的意義;（2）軌跡的完備性和純粹性。

教學難點：運用基本軌跡和描點法畫出符合條件的軌跡，并能用數(shù)學語言或文字語言準確描述軌跡。

為突出重點，突破難點，兩位教師對教學目標的定位如下。

教學目標：

（1）依據(jù)生活中的軌跡形象，理解軌跡的概念與現(xiàn)實意義;

（2）經(jīng)歷軌跡的探究活動，會用運動的觀點看待圖形，會從完備性與純粹性（以下簡稱“二性”）的角度分析軌跡，能夠運用基本軌跡和描點法畫出軌跡，提高學生的邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學表達能力;

（3）通過數(shù)學史，了解古代數(shù)學家的思想，提高學生學習數(shù)學的興趣，樹立研究數(shù)學的信心。

教師B還在教學目標（3）中增加“借助數(shù)學史，感受古人的智慧，體會數(shù)學的理性精神”。

（二） 教學流程

由表1可知，兩位教師的教學過程都包含六個環(huán)節(jié)，但進度和安排不同。教師A的設計與已有的教學設計類似，前兩個環(huán)節(jié)通過創(chuàng)設情境引入概念，第三個環(huán)節(jié)直接給出三個基本軌跡并進行二性辨析，第四個環(huán)節(jié)重在習題訓練，第五個環(huán)節(jié)從數(shù)學的軌跡上升到人生的軌跡。

教師B采用翻轉課堂的形式。學生在課前已利用HPM微視頻自學，但他們的理解不一定正確，于是在第一個環(huán)節(jié)教師B針對學生回答的情況，強調運動與集合的觀點，糾正部分學生對軌跡概念存在的錯誤認識;第二個環(huán)節(jié)進入基本軌跡和二性辨析的學習，不同于教師A的直接講授，教師B在此使用幾何畫板，輔助學生直觀理解二性的辨析過程;第三個環(huán)節(jié)運用基本軌跡解決問題;第四個環(huán)節(jié)以小組為單位進行習題探究;第五個環(huán)節(jié)進行小結。另外，在布置作業(yè)環(huán)節(jié)，教師B布置了基于數(shù)學史提出的難度較大的軌跡問題。

兩位教師都使用了HPM微視頻。教師A在第二個環(huán)節(jié)中利用微視頻介紹軌跡的部分歷史，主要包括阿契塔、阿波羅尼奧斯、阿基米德的研究成果，并展示生活中的軌跡實例;教師B讓學生利用微視頻課前自學，主要呈現(xiàn)生活中的軌跡形象，介紹三大基本軌跡以及費馬的軌跡思想，歸納探求軌跡方程的常見方法。

三、微觀比較

（一）史料的適切性

數(shù)學史料的選取需要遵循趣味性、科學性、有效性、可學性、人文性五項原則[12]，兩位執(zhí)教者在各教學環(huán)節(jié)所用歷史素材對比見表2。

教師A和教師B所選用的史料源于原始文獻或專業(yè)數(shù)學史研究文獻，符合科學性。但教師A在介紹阿波羅尼奧斯的《平面軌跡》一書時，使用了圓錐曲線的配圖。在古希臘數(shù)學中，平面軌跡只涉及直線和圓，圓錐曲線屬于立體軌跡，因此，教師A配圖不恰當。

本節(jié)課的落腳點是探求軌跡問題，兩位教師都根據(jù)阿波羅尼奧斯關于平面軌跡的命題和拉希爾的橢圓定義，提出有別于教科書和傳統(tǒng)教輔書中的軌跡問題，促進學生掌握運用基本軌跡和描點法，同時認識軌跡表達的精準性要求，從而實現(xiàn)本節(jié)課教學目標，符合有效性。另外，教師B還選擇了《幾何原本》中的有關命題。

阿波羅尼奧斯關于平面軌跡的命題是三個基本軌跡的來源，對應學生在上節(jié)課所學的三個幾何定理及其逆定理;《幾何原本》中的有關命題則對應學生此前學過的平行線的性質（兩平行線間的距離處處相等）、圓周角的性質（直徑所對的圓周角等于90°）。兩則史料均符合學生認知基礎，有助于加深學生對軌跡的理解，符合可學性。但前者基本局限于三個基本軌跡，后者不僅引出其他軌跡，而且以三角形為背景，在問題解決過程中，學生需要注意排除三角形底邊端點，做到“不重不漏”。因此，教師B的問題更有助于引發(fā)學生的認知沖突，加強學生對二性辨析的意識。

教科書和已有教學設計一般僅從生活實例出發(fā)，讓學生感受幾何中的運動與變化，而教師A在“概念探究”環(huán)節(jié)采用阿契塔關于軌跡的觀點、阿基米德螺線，以及在“變式拓展”環(huán)節(jié)舒騰的橢圓作圖工具的動畫演示，教師B在“檢查自學”環(huán)節(jié)介紹費馬的軌跡思想，都使學生感受到運動對軌跡生成的重要性，領悟軌跡形成過程中存在的不變的關系，這是生活實例無法呈現(xiàn)的效果，既生動有趣，又非老生常談，符合趣味性。

兩位教師都展示了相關數(shù)學家的畫像與數(shù)學貢獻，教師B還介紹了費馬對數(shù)學研究的熱衷與勤勉、阿波羅尼奧斯在軌跡研究上的執(zhí)著與創(chuàng)新，激勵學生努力上進，符合人文性。

（二） 方式的多樣性

兩位教師都展示了相關數(shù)學家的畫像，講述他們的數(shù)學成就，屬于附加式。

教師B通過幾何畫板動態(tài)呈現(xiàn)費馬的軌跡思想，先展示變線段長度固定且垂直于定直線時表示勻速運動的直線軌跡，即費馬軌跡思想中的一類情況，接著調節(jié)變線段的變化規(guī)律，得到兩種不同的曲線軌跡（如圖1），再使變線段與定直線成固定角度，同樣可以得到直線或曲線軌跡（如圖2）。教師B在上述教學過程中借鑒史料并適當對其加以改編，在重現(xiàn)費馬的軌跡思想的同時，融入了自己的理解，屬于順應式。

兩位教師都根據(jù)史料編制了軌跡問題，也屬于順應式。教師A的例1、習題1、習題2、習題3和教師B的問題均源自數(shù)學史料，具體改編方式見表3。由表3可知，教師B更靈活創(chuàng)新地編制了新問題，一方面基于一則史料能形成難度差異較大的不同問題，另一方面問題基本都以△ABC為背景，部分問題之間具備關聯(lián)性和遞進性。另外，教師A和教師B都沒有采用復制式和重構式。

（三） 融入的自然性

在HPM視角下的數(shù)學教學中，數(shù)學史主要充當改善教學的工具，教師需要分析數(shù)學知識點的邏輯序、歷史序以及學生的心理序，只有將三者統(tǒng)一起來，才能達到自然無痕的教學效果。

根據(jù)前面的歷史分析，平面軌跡概念的歷史大致分成以下幾個階段。

萌芽階段：數(shù)學外部因素（物體的運動軌跡）和內部因素（尺規(guī)作圖、問題解決）促進了軌跡概念的產(chǎn)生。

形成階段：靜態(tài)曲線和動態(tài)軌跡有機統(tǒng)一，個別平面軌跡的純粹性和完備性研究。

發(fā)展階段：平面軌跡的系統(tǒng)研究和應用。

關于萌芽階段的歷史融入，兩位教師的教學都從數(shù)學外部因素引入抽象的純數(shù)學概念，既遵循上述歷史序，也符合教科書所呈現(xiàn)的邏輯序（從生活實例到三種基本軌跡），但都未涉及數(shù)學內部因素，無法解釋軌跡概念誕生的歷史動因，更無法指出概念學習的必要性，因而不能激發(fā)學生強烈的學習動機。

關于形成階段的歷史融入，雖然兩位教師都采用了根據(jù)數(shù)學史料改編而成的軌跡問題，但他們未能進行古今聯(lián)系，影響了數(shù)學史融入的自然性。實際上，雖然在軌跡概念的形成階段，古希臘數(shù)學家在個別軌跡上呈現(xiàn)了純粹性和完備性，但在多數(shù)情況下，他們往往只關注純粹性而忽略了完備性，甚至將兩者等價起來。在兩位教師的課堂上也有學生出現(xiàn)類似的錯誤，這種錯誤具有明顯的歷史相似性。如果教師在學生出現(xiàn)錯誤時，提及古希臘數(shù)學家類似的疏忽，數(shù)學史的應用就水到渠成了。

弗賴登塔爾認為，教學不必原原本本地按照歷史發(fā)展的歷程在學生身上重現(xiàn)[13]。從整體上看，兩位教師選用的數(shù)學史基本集中于前兩個階段，教師A將主要的史料按時間順序排列，“打包”式地濃縮在一個微視頻中，但只是 “流水賬”式的敘述，學生在看完視頻后不了了之。教師B沒有完全將歷史的發(fā)展順序作為課堂教學的邏輯順序，而是視教學需要融入歷史，在第一個環(huán)節(jié)剖析軌跡的概念后，鏈接費馬的軌跡思想，在第二個環(huán)節(jié)講解三個基本軌跡后向學生提問“那么大家知道這三個基本軌跡是哪個數(shù)學家研究出的嗎？”，適時地引入相關史料，構建起史料與知識之間的聯(lián)系。但教師B只選用了一個關于軌跡概念本身的史料，且各史料間彼此獨立，無法讓學生認識到概念的發(fā)展過程和數(shù)學家在其中起到的突破性作用。如果教師能使用發(fā)生教學法重構軌跡的演變進程，并注重史料與所學內容之間的對應，更符合學生的心理序，使學生更自然地接受數(shù)學史。

（四）價值的深刻性

在教學中，兩位教師都根據(jù)史料改編了難度不同的軌跡問題，既為學生提供探究之樂，又有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)，幫助教師實現(xiàn)能力之助;還展示了軌跡的歷史片段，體現(xiàn)文化之魅。

課堂中融入數(shù)學文化的根本目的在于育人，本節(jié)課的價值還在于德育之效。一是培養(yǎng)學生數(shù)學學習的信念。數(shù)學史的融入使學生穿越時空與數(shù)學家對話，想數(shù)學家所想，給學生以自信，讓他們覺得自己也能解答古希臘數(shù)學家費盡心思研究的問題，阿波羅尼奧斯可以視為課堂中一名額外的“學生”[14]。而從事律師工作的費馬喜歡數(shù)學，他利用業(yè)余時間始終堅持自己的興趣，在數(shù)學研究上做出了杰出的貢獻，教師以此激發(fā)學生對興趣的堅持和對學術研究的向往之心。二是培養(yǎng)學生良好的道德品質，例如教師B指出費馬為人謙遜敦厚、公正廉明，培養(yǎng)學生謙虛、正直的良好品質。

四、結論與教學啟示

從以上比較分析可見，兩節(jié)課各有特色。共性在于，在史料的選取上都符合科學性、有效性、可學性、趣味性和人文性;運用數(shù)學史的方式都是附加式和順應式;都體現(xiàn)了數(shù)學史在探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效上的教育價值。但兩位教師都未采用重構式重現(xiàn)知識的發(fā)生歷史，沒能揭示“軌跡”在歷史長河中的嬗變過程，缺乏數(shù)學史在構建知識之諧方面的價值，在融入的自然性上也有待改進。差異在于，教師A所選的歷史素材多而廣，多元化地呈現(xiàn)了不同數(shù)學家對軌跡概念的認識與解釋;教師B借鑒歷史素材少而精，將數(shù)學史與信息技術巧妙整合，使數(shù)學史直觀化、可視化，多次借助數(shù)學家的生平趣事調動學生的學習積極性，同時充分利用數(shù)學史提出諸多創(chuàng)新的軌跡問題。通過HPM視角下“軌跡”概念同課異構的比較與分析，得到以下啟示。

（1）重視史料的剖析消化，激發(fā)學生的學習動機。很多教師往往只看到史料的表面內容，而缺乏深度剖析的意識。深究軌跡概念的歷史素材可知，軌跡概念產(chǎn)生的歷史動因是為了解決幾何難題和研究生活實例。

（2）關注史料的多元價值，提供學習的多種渠道。教科書作為知識講述型材料，呈現(xiàn)的是靜態(tài)的事實概要，掩蓋了科學的試探性、數(shù)學概念歷史發(fā)展的曲折性，以及不同數(shù)學家對其解釋的多樣性。而數(shù)學史能克服以上缺陷并且具有多元教育價值。但有的教師會認為史料繁多，而且有的數(shù)學史料對于初中學生理解起來有一定難度，直接扼殺了學生了解史料的機會。實際上，教師可以通過其他方式，例如印發(fā)閱讀材料，提供給學生自主學習的機會，相信學生有能力、有興趣了解知識之源。

（3）營造課堂的探究氛圍，致力系統(tǒng)的問題設計。兩位教師所選用的題目缺乏系統(tǒng)性，沒有完整的邏輯線?；跀?shù)學史編制問題串，教師可以重構知識的發(fā)生過程，讓學生有更清晰的探究思路，并在探究后進行系統(tǒng)總結，而不是就題解題。

參考文獻：

[1]潘關崇.我如何講解初中平面幾何的軌跡問題[J].數(shù)學通報，1955 （7）：39-43.

[2]蔡兆生.增設認知情節(jié) 化解思維障礙：《點的軌跡》探究性教學設計[J].數(shù)學教學研究， 2003 （5）：21-23.

[3]楊冰.初中“軌跡”概念教學的難點剖析與突破策略[J].中國數(shù)學教育， 2018 （12）：38-41.

[4]沈中宇， 李霞， 汪曉勤.HPM課例評價框架的建構：以“三角形中位線定理”為例[J].教育研究與評論（中學教育教學）， 2017 （1）：35-41.

[5]何思謙.數(shù)學辭海：第一卷[M].太原：山西教育出版社， 2002.

[6]MERZBACH? U? C， BOYER? C? B.A history of mathematics[M].New Jersey：Wiley， 2011.

[7]HEATH? T? L.The works of Archimedes[M].New York：Dover Publications， 1959.

[8]EUCLID.The thirteen books of Euclids elements[M].New York：Dover Publications， 1959.

[9]HEATH? T? L.A history of Greek mathematics[M].Oxford：Clarendon Press， 1921.

[10]汪曉勤， 柳笛.平面解析幾何的產(chǎn)生（二）：費馬與解析幾何[J].中學數(shù)學教學參考， 2008（1/2）：122-123.

[11]王鑫，汪曉勤，岳增成.基于數(shù)學史的數(shù)學探究活動設計課例分析[J].中學數(shù)學月刊， 2018 （10）：54-58.

[12]陳晏蓉，汪曉勤.數(shù)學史料的選取原則與案例分析[J].教育研究與評論（中學教育教學）， 2017（12）： 37-43.

[13]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社， 1995.

[14]岳增成， 劉軒如.課堂中一名額外的學生：數(shù)學史融入“兩位數(shù)被一位數(shù)除”的教學[J].小學數(shù)學教師， 2017 （7/8）：89-93.

（責任編輯：陸順演）