文黃志琴

專題復(fù)習(xí)：三角形

領(lǐng) 銜 人：吳粉連

組稿團隊：江蘇省常州市金壇區(qū)初中數(shù)學(xué)吳粉連名師工作室

親愛的同學(xué)：看見“三角形”這三個字，你的大腦里會呈現(xiàn)哪些圖形？你想到哪些相關(guān)的內(nèi)容與方法呢？梳理三角形的內(nèi)容，使其條理化，或許你覺得三角形很簡單。嘗試先思考以下問題，聯(lián)想知識，再提煉一些方法。

問題1 如圖1，點P是⊙O外一點，請找到圓上一點Q，使PQ最短。

答案見圖2。你能說出道理嗎？跟三角形有關(guān)系嗎？

如圖3，在⊙O上任意取點A，連接PA、OA，根據(jù)三角形的性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊”判斷PO最小，從而得到圖2 中的點Q使PQ最短。這條性質(zhì)的實質(zhì)是“兩點之間線段最短”。三角形是以線段、角等為基礎(chǔ)，卻比線段、角更復(fù)雜些的圖形。請聯(lián)想三角形的邊有哪些性質(zhì)，三角形的角又有哪些性質(zhì)。試說明“直徑是最長的弦”，試回答“過圓內(nèi)一點的最短（或最長）的弦是哪一條？為什么？”在圖4 中嘗試解答。

三角形這部分知識的應(yīng)用，還是要從定義及其重要性質(zhì)（邊、角關(guān)系）開始，從一般到特殊。這里主要跟同學(xué)們聊聊一些隱蔽的三角形和三角形隱含的作用，特別是特殊三角形。

問題2 如圖5，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，連接A′C，則A′C的長為 。

同學(xué)們，你們覺得此題的突破點可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常見的處理辦法是連接CC′得到等邊三角形C′BC（如圖6）。把A′C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A′BC′和等邊三角形△C′BC中求解。

三角形考查的重點是特殊三角形：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等?！半[形”三角形是難點，它們還可以“隱形置身”于動態(tài)問題中。把一條線段繞端點旋轉(zhuǎn)任意角度，連接對應(yīng)點可以得到等腰三角形。

問題3 如圖7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，點A落在矩形ABCD的邊CD上的點G處，連接CE，則CE的長是 。

旋轉(zhuǎn)問題中全等或相似會成對出現(xiàn)，通常需要尋找或構(gòu)造相似（或全等）三角形，利用相似（或全等）三角形性質(zhì)（數(shù)量關(guān)系）求解。這里有矩形全等，連接AG得△ABG，由對應(yīng)邊旋轉(zhuǎn)后可得

△ABG∽△CBE。

如果旋轉(zhuǎn)角度為特殊度數(shù)，可以得到更特殊的三角形。反之，看到特殊三角形應(yīng)該盡可能多地聯(lián)想到特殊度數(shù)。

問題4 如圖8，⊙O的半徑OM=1，A為⊙O上一點，點B為直徑MN延長線上的點，OB=3，連接AB，把AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB。連接OC，求OC的最小值。

此題以動態(tài)的眼光來看更容易理解。如圖9，“把AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°”從整體來看，所有點C的集合可以看作把所有點A的集合⊙O，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的⊙O′，問題轉(zhuǎn)化為⊙O′外一點O到⊙O′上點的距離的最小值。以O(shè)B為直角邊，點B為直角頂點，順時針構(gòu)造等腰直角△OBO′。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，△OBO′∽△ABC，△OAB≌△O′CB及⊙O與⊙O′全等。

請同學(xué)們思考：把“AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB”改成“以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠ABC=90°，A、B、C逆時針排列”，從這里的等腰直角三角形可以挖掘哪些信息呢？

我們應(yīng)用整體的眼光看動點問題，用敏銳的大腦覺察特殊三角形邊、角之間的關(guān)系，用靈活的思維應(yīng)對特殊三角形邊角關(guān)系與動態(tài)的一致性，尋找或構(gòu)造特殊關(guān)系（相似或全等）的圖形，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化和解決。

變式1 如圖10，以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠CAB=90°，A、B、C逆時針排列。連接OC，求OC的最小值。

變式2 如圖11，以AB為邊作等邊△ABC，A、B、C逆時針排列。連接OC，求OC的最小值。

變式1 中同是等腰直角三角形，但構(gòu)造不同，帶來邊的關(guān)系A(chǔ)B∶BC由1∶1變?yōu)闃?gòu)造兩對三角形都是相似關(guān)系，把圓按放大。變式2 中三角形不同，∠ABC由90°變?yōu)?0°，因等邊三角形的邊長相等，與問題4 一樣可以構(gòu)造三角形分別相似和全等，兩個圓全等。

我們在解決與三角形有關(guān)的問題時，應(yīng)緊扣其邊與邊、角與角及邊與角之間的關(guān)系，用構(gòu)造三角形說明一些數(shù)量關(guān)系，特別是線段的相等關(guān)系。特殊三角形的條件和特殊三角形帶來的特殊數(shù)量關(guān)系是考查的重點，我們要學(xué)會聯(lián)想：看見特殊三角形要想到它擁有的特殊性質(zhì)，浮現(xiàn)內(nèi)隱的邊或角的關(guān)系。