馮麗萍，韓 琦，周志剛，白增亮

（1. 山西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息學(xué)院，太原030006； 2. 忻州師范學(xué)院計(jì)算機(jī)系，山西忻州034000；3. 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，太原030051； 4. 重慶科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，重慶401331）

（*通信作者電子郵箱fenglp@yeah.net）

0 引言

在網(wǎng)絡(luò)信息時代，網(wǎng)絡(luò)空間安全已經(jīng)成為從國家、組織機(jī)構(gòu)到個人全民關(guān)心的一個重大問題。網(wǎng)絡(luò)空間安全包括網(wǎng)絡(luò)中信息的內(nèi)容安全、傳播安全、管理安全等［1-2］。社交網(wǎng)絡(luò)作為目前流行的社交平臺，已經(jīng)作為人們?nèi)粘９ぷ?、生活、學(xué)習(xí)等活動的重要媒介。尤其是移動終端的普及，極大地提高了微信、QQ、微博等社交軟件使用的時空頻率與效率。與此同時，一些不良信息也會非常容易地通過社交網(wǎng)絡(luò)快速傳播，不良信息的大量傳播不僅會使網(wǎng)絡(luò)安全管理需要更大的經(jīng)濟(jì)投入，也會影響人們的思想價值取向，對社會安全和穩(wěn)定造成極大困擾。本文即是從現(xiàn)實(shí)需求的角度出發(fā)，利用非線性動力學(xué)和控制學(xué)理論探究網(wǎng)絡(luò)空間中的傳播安全問題。

自從1991年Kephart等［3-4］把人類疾病流行病模型引入計(jì)算機(jī)病毒研究，非線性動力學(xué)模型在刻畫網(wǎng)絡(luò)病毒及網(wǎng)絡(luò)不良信息傳播的研究中一直發(fā)揮著重要的作用［5-7］。但是傳統(tǒng)的傳播模型大都假設(shè)影響網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換的參數(shù)為常數(shù)［8-10］，事實(shí)上，在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)管理中，這些參數(shù)是根據(jù)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)前狀態(tài)以及各個時段組織機(jī)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)安全投入的多少等因素變化的［11］。有少量文章考慮了這種現(xiàn)實(shí)情況，建立了控制策略的強(qiáng)度隨時間變化情況下，網(wǎng)絡(luò)中惡意軟件傳播控制模型［12-14］；但是，這些模型只針對同構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中惡意軟件傳播情況，沒有考慮社交網(wǎng)絡(luò)特性。文獻(xiàn)［15］研究了社交網(wǎng)絡(luò)影響的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播控制模型和相應(yīng)的控制策略，可是，該模型假設(shè)管理員采取的控制策略強(qiáng)度是不變的。文獻(xiàn)［16］基于SIR（Susceptible Infected Recovered）模型對微博信息傳播規(guī)律進(jìn)行了仿真分析，沒有從理論分析的角度提出最優(yōu)控制措施。鑒于以上情況，本文構(gòu)建一個新的社交網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的不良信息傳播模型，并基于控制理論提出控制不良信息傳播的最優(yōu)控制策略。

1 模型建立

本文模型建立的基本思想是:同一社交網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間會相互感染，不同社交網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間也可能會間接感染。以目前流行的微信社交網(wǎng)絡(luò)為例，假設(shè)用戶a（a=1，2，…，m）存在某個微信群i（i=1，2，…，n）中，用戶b（b=1，2，…，m）存在某個微信群j（j=1，2，…，n）中，如果用戶a和用戶b是微信朋友關(guān)系，那么用戶a發(fā)送的不良信息既可能直接感染微信群i中的所有成員，也可能通過用戶b間接感染微信群j中的所有成員。社交網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系可以通過全聯(lián)通無向圖1來表示，圖1中無向圖（a）、（b）、…、（n）分別表示不同的社交網(wǎng)絡(luò)群，無向圖中節(jié)點(diǎn)Cnk表示第n個社交網(wǎng)絡(luò)中的第k（k=1，2，…，m）個節(jié)點(diǎn)用戶，邊表示節(jié)點(diǎn)之間會直接相互感染，當(dāng)兩個節(jié)點(diǎn)之間的邊數(shù)大于1時，表示這兩個節(jié)點(diǎn)會間接感染。

圖1 用戶社交網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 User social network structure

根據(jù)流行病建模原理［17］，假設(shè)每個社交網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)用戶分為3種狀態(tài)，分別為:易感染狀態(tài)（Susceptible，S）、已感染狀態(tài)（Infected，I）和免疫狀態(tài)（Recovered，R）。處于S 狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)表示對應(yīng)的用戶缺乏安全意識，容易打開一些來源不明的信息鏈接；處于I 狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)表示對應(yīng)的用戶會傳播不良信息或不良信息的鏈接；處于R 狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)表示對應(yīng)的用戶安全意識高，不會輕易打開來源不明的不安全鏈接。為了清晰，表1列出模型中用到的符號及其對應(yīng)的物理含義。

表1 模型符號及其物理含義Tab. 1 Model symbols and their physical meanings

根據(jù)以上描述，建立相應(yīng)的微分方程動力學(xué)模型，用式（1）表示:

其中:φ(t)的值會隨著社交網(wǎng)絡(luò)中用戶的網(wǎng)絡(luò)安全意識、管理員的信息安全管理強(qiáng)度以及當(dāng)下網(wǎng)絡(luò)安全形勢等因素而變化。當(dāng)社交網(wǎng)絡(luò)個數(shù)n為1，φ(t)的值為常數(shù)時，模型（1）即成為文獻(xiàn)［16］所反映的傳統(tǒng)的不考慮社交網(wǎng)絡(luò)相互感染情況的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型。

2 最優(yōu)控制策略求解

本章的目標(biāo)是找到一個控制函數(shù)滿足如下兩個條件:1）任意一個社交網(wǎng)絡(luò)中的已感染數(shù)達(dá)到最小值（意味著不良信息擴(kuò)散的范圍達(dá)到最?。?）實(shí)施控制策略所需的投資最少。為此，式（1）中控制函數(shù)的優(yōu)化問題可以用求解式（2）的最小值表示:

其中κ是調(diào)節(jié)因子。

顯然，式（1）和式（2）的優(yōu)化控制問題，有拉格朗日方程:

為了得到式（3）的最小值，需要求解φ(t)，為此，定義相應(yīng)的哈密頓方程如式（4）:

證明 容易驗(yàn)證:1）式（1）的控制變量和狀態(tài)變量都大于等于0；2）集合φ是閉區(qū)間上的凸集；3）式（1）右邊是與狀態(tài)變量相關(guān)的線性時變系統(tǒng)；4）L(I，φ)是關(guān)于有界區(qū)域φ的凸函數(shù)；5）存在一個常量?＞1，和兩個正數(shù)ζ1和ζ2滿足L(I，φ) ≥ζ1+ζ2(|φ|)?/2。根據(jù)文獻(xiàn)［18］的結(jié)論，定理1得證。

式（5）需滿足邊界條件:λij（T）=0（j= 1，2，3），而且優(yōu)化控制變量φ*（t）由式（6）給定:

證明 對式（4）各狀態(tài)變量求導(dǎo)，并結(jié)合λij的含義，得:

定理得證。

把式（8）代入式（1），得優(yōu)化系統(tǒng)式（9）:

3 實(shí)驗(yàn)仿真

為了觀察微分方程（1）和（9）反映的不良信息的擴(kuò)散過程，本章采用龍格-庫塔（Runge-Kutta）法對微分方程（1）和優(yōu)化系統(tǒng)（9）進(jìn)行數(shù)值求解，在Matlab 2016R 環(huán)境下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。模型（1）和（9）中的參數(shù)分為兩種類型:系統(tǒng)參數(shù)（Bi和μi）和狀態(tài)轉(zhuǎn)換參數(shù)（除系統(tǒng)參數(shù)之外的其余參數(shù)），其中系統(tǒng)參數(shù)反映社交網(wǎng)絡(luò)中用戶的流動速率，狀態(tài)轉(zhuǎn)換參數(shù)反映社交網(wǎng)絡(luò)用戶行為以及控制措施對不良信息擴(kuò)散的影響程度。另外，系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即Si(0)，Ii(0)和Ri(0)對社交網(wǎng)絡(luò)間不良信息的擴(kuò)散也會產(chǎn)生很大影響。不失一般性，實(shí)驗(yàn)時假設(shè)Ii(0)和Ri(0)的取值較小。仿真實(shí)驗(yàn)主要是:1）比較引入控制策略和不引入控制策略兩種情況，社交網(wǎng)絡(luò)間不良信息的擴(kuò)散過程；2）比較變化的控制策略和固定控制策略對不良信息擴(kuò)散影響的不同；3）對比有交叉感染和沒有交叉感染兩種情況下不良信息擴(kuò)散過程。

1）首先，比較模型引入優(yōu)化控制策略和不引入控制策略時不良信息擴(kuò)散的結(jié)果，也就是對式（1）和式（9）刻畫的不良信息擴(kuò)散過程進(jìn)行數(shù)值模擬。為了比較，式（1）和式（9）中系統(tǒng)參數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換參數(shù)的取值對應(yīng)相同?？紤]只有一個社交網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的成員相互感染的情況，即取n= 1。根據(jù)實(shí)際物理意義，參數(shù)的取值以“小時”為單位，假設(shè)社交網(wǎng)絡(luò)中每小時新加入的成員平均為1，所以取B= 1，社交網(wǎng)絡(luò)用戶退群的用戶比率比較小，假設(shè)為10-3數(shù)量級，取μS=μI=μR= 0.008，已感染節(jié)點(diǎn)的免疫率取α= 0.003，感染率取β= 1×10-6，另外，假設(shè)社交網(wǎng)絡(luò)中活躍用戶數(shù)為m= 50。當(dāng)不引入預(yù)先控制措施時，式（1）中取φ的值為0。式（9）中φ的值是隨時空變化的，其值通過迭代計(jì)算求得，其中，取κ= 10。S，I，R和λ的取值分別為:S(0)= 990，I(0)= 1，R(0)= 1，λ1=λ2=λ3= 0。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)（1）和（9）的比較Fig.2 Comparison of system（1）and（9）

觀察圖2發(fā)現(xiàn)，在不良信息擴(kuò)散的前期（t＜500），有控制策略和無控制策略的傳播速度和規(guī)模沒什么區(qū)別，當(dāng)t＞500時，采取控制措施明顯抑制了不良信息的擴(kuò)散。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，在不良信息擴(kuò)散的前期，控制函數(shù)的φ的值一直持續(xù)為0，隨著時間的推移，控制函數(shù)的取值不斷增大，從而控制策略發(fā)揮作用。圖2對應(yīng)的控制函數(shù)φ的變化曲線如圖3所示。

圖2和圖3表明，控制函數(shù)取值的變化對不良信息擴(kuò)散的控制有顯著效果，說明建立帶有優(yōu)化控制函數(shù)的信息擴(kuò)散模型，可以有效刻畫信息擴(kuò)散過程，而且可以通過調(diào)節(jié)控制函數(shù)的取值隨機(jī)控制信息擴(kuò)散過程。這一結(jié)論揭示了，從理論上可以將自動控制理論和網(wǎng)絡(luò)信息擴(kuò)散模型融合起來，實(shí)現(xiàn)不良信息擴(kuò)散以及控制規(guī)律的建模，從而為不良網(wǎng)絡(luò)信息傳播控制提供理論指導(dǎo)。另一方面，依據(jù)模擬結(jié)果，從現(xiàn)實(shí)管理角度來看，可以根據(jù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀態(tài)采取不同等級的時空控制策略。

2）當(dāng)式（1）中控制策略φ的值固定，且社交網(wǎng)絡(luò)個數(shù)n=1時，本文式（1）就是傳統(tǒng)的SIR模型。將本文引入優(yōu)化控制策略后和傳統(tǒng)模型進(jìn)行比較，取式（1）中φ=0.003，其余參數(shù)取值同圖2，數(shù)值模擬式（1）和式（9），仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 固定控制策略和可變控制策略比較Fig.4 Comparison of fixed control strategy and variable control strategy

從圖4 可以看出，在感染的初始階段（大約t＜250），不管是采用固定控制策略還是可變控制策略，已感染節(jié)點(diǎn)數(shù)都是呈快速上升趨勢，這是因?yàn)?，初始階段社交網(wǎng)絡(luò)中大多數(shù)都是易感染節(jié)點(diǎn)，單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)化為已感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也多。另外，在感染期t＜500時段，采用可變的控制策略反而會導(dǎo)致已感染節(jié)點(diǎn)增長速率和規(guī)模更大，這是因?yàn)榭刂拼胧┰谄鸪醣容^弱的原因（見圖3），隨著時間的推移，控制策略逐漸增強(qiáng)，已感染節(jié)點(diǎn)數(shù)呈明顯下降趨勢。這表明，在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)安全管理中，應(yīng)該結(jié)合安全態(tài)勢感知系統(tǒng)，靈活調(diào)節(jié)控制策略，以達(dá)到安全投入最佳性能。

3）為了比較本文模型和傳統(tǒng)模型的不同（即，考慮交叉感染和不考慮交叉感染），觀察不同社交網(wǎng)絡(luò)間交叉感染對不良信息擴(kuò)散的影響程度，取系統(tǒng)（1）中社交網(wǎng)絡(luò)個數(shù)為1 和2兩種情況進(jìn)行比較，即取n= 1 和n= 2，其余參數(shù)的取值和圖2相同。比較結(jié)果如圖5所示。

圖5 有交叉感染和沒有交叉感染的比較Fig.5 Comparison of condition with cross infection and condition without cross infection

圖5 表明當(dāng)出現(xiàn)交叉感染時，明顯不良信息的擴(kuò)散從速度和規(guī)模上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于沒有交叉感染的情況，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因主要是當(dāng)一個感染源可以感染多個社交網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)時，易感染節(jié)點(diǎn)數(shù)會增多，這種現(xiàn)象與現(xiàn)實(shí)中的認(rèn)識是一致的。而事實(shí)上，在線社交網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)實(shí)社交群體的映射，存在交叉感染是一定的，所以從圖5 的曲線可以看出，傳統(tǒng)不考慮交叉感染的模型（即n=1）存在對不良信息擴(kuò)散規(guī)模與速度偏低估計(jì)的情形。

4 結(jié)語

考慮到在線社交網(wǎng)絡(luò)的形成是現(xiàn)實(shí)社會中人們社交關(guān)系的體現(xiàn)，本文將社交關(guān)系網(wǎng)看作無向連通圖，根據(jù)圖論中節(jié)點(diǎn)間的連通性構(gòu)建了社交網(wǎng)絡(luò)中不良信息擴(kuò)散模型，與已有模型的不同之處是，本文將最優(yōu)控制理論引入模型中，將不良信息擴(kuò)散的控制策略設(shè)置為一個變量，管理員可以根據(jù)當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀態(tài)采取不同程度的控制措施。根據(jù)最優(yōu)理論證明了最優(yōu)控制策略的存在性，并且求出最優(yōu)控制策略的數(shù)學(xué)表達(dá)式，得到了具有最優(yōu)控制策略的不良信息擴(kuò)散控制模型。最后，數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采取優(yōu)化控制策略可以有效抑制不良信息的擴(kuò)散，并且在給定相應(yīng)參數(shù)的情況下，得到了優(yōu)化控制函數(shù)的變化曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，可以通過調(diào)整相關(guān)參數(shù)改變不同時段控制策略的強(qiáng)度。另外，實(shí)驗(yàn)?zāi)M了社交網(wǎng)絡(luò)間相互有信息傳遞和無信息傳遞時，信息擴(kuò)散的快慢和規(guī)模。結(jié)果表明，社交網(wǎng)絡(luò)間如果是相互連通的，也就是說信息可以互相傳遞，那么不良信息擴(kuò)散的規(guī)模和速度都會增大。這一現(xiàn)象與現(xiàn)實(shí)反映的情況是一致的。今后將收集實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的效果。