劉佳星，張 琦

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

多目標(biāo)優(yōu)化理論與方法是數(shù)學(xué)規(guī)劃中的重要分支，且在工程管理、航空航天、交通安全等諸多領(lǐng)域都具有十分廣泛的應(yīng)用.對于多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究已有大量的研究成果[1-3]，其中關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問題解的定義是至關(guān)重要的.早期的研究主要集中于精確解的類型.而在實際的工作生產(chǎn)和生活實踐中，多目標(biāo)優(yōu)化問題的(弱)有效解的集合可能是空集，但近似解在很弱的條件下都可能存在.因此，對于多目標(biāo)優(yōu)化問題近似解的研究是具有十分重要的理論價值和實際意義的.近年來，關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問題近似解的相關(guān)研究已有大量的研究成果出現(xiàn)[4-6].特別地，Gutiérrez等[6]利用Co-radiant集定義了多目標(biāo)優(yōu)化問題的近似有效解和近似弱有效解，并說明了此(C,ε)-近似解包括了目前已知的許多ε-近似解的概念作為其特例.

對多目標(biāo)優(yōu)化問題進行標(biāo)量化刻畫是求解多目標(biāo)優(yōu)化問題時的一個重要途徑.特別地，1983年Haimes[7-8]提出了著名的ε-約束法，并建立了多目標(biāo)優(yōu)化問題(弱)有效解的線性標(biāo)量化結(jié)果.2008年Ehrgott和Ruzika[9]進一步對Haimes提出的標(biāo)量化方法進行了改進，獲得了有效解的線性標(biāo)量化結(jié)果.

受文獻[9-11]等研究工作的啟發(fā)，本文利用改進的ε-約束法標(biāo)量化模型進一步建立了多目標(biāo)優(yōu)化問題在Co-radiant集下的(C,ε)-有效解和(C,ε)-真有效解和E-近似解的一些標(biāo)量化結(jié)果.

1 預(yù)備知識

假定R表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合，Rm表示m-維Euclid空間，0表示m-維零向量.本文考慮如下多目標(biāo)優(yōu)化問題：

(MOP) minf(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)),

s.t.x∈X?Rn.

其中fi:X?Rn→R,X是(MOP)的非空可行集.對任意的1≤i≤m,fi(x)為有上界的函數(shù)，即存在Ui∈R使得fi(x)≤Ui.對于任意的y,z∈Rm,考慮如下的序關(guān)系：y

本文考慮如下的改進的ε-約束法標(biāo)量化模型：

s.t.fi(x)-si≤σi,i≠k,

si≥0,i≠k,

x∈X.

目標(biāo)函數(shù)為第k個目標(biāo)加上關(guān)于剩余變量si的權(quán)和，其中μi≥0,?i≠k是剩余變量si的權(quán)重；當(dāng)μi=0時，(SOP)退化為傳統(tǒng)的ε-約束法.

2 主要結(jié)果

利用改進的ε-約束法標(biāo)量化模型(SOP)建立了(MOP)的(C,ε)-弱有效解、E-弱有效解、(C,ε)-有效解和E-有效解等系列近似解的標(biāo)量化結(jié)果.

注在定理1中，Co-radiant集C的范圍不能放松至C?Rp.

例1考慮如下的多目標(biāo)優(yōu)化問題：(MOP)f(x)=(f(x1),f(x2))=(x1,x2),s.t.x∈X={(x1,x2)∈R2|x1=0,-2≤x2≤0}.C={x∈R2|x1+x2≥1}.此時C為凸的Co-radiant集但C?RP+,取ε=1，μ=(0,1),s=(1,0),則有且所以是(SOP)的-最優(yōu)解，但不是(MOP)關(guān)于C的ε-弱有效解.

例3考慮如下的多目標(biāo)優(yōu)化問題：(MOP)f(x)=(f(x1),f(x2))=(x1,x2),s.t.x∈X={(x1,x2)∈R2|x1+x2≥0,x1≤0,x2≤1}.C={x∈R2|x1+x2≥1;x1≥0;x2≥0}.令ε=1，μ=(1,1),s=(1,1),此時有且所以不僅是(SOP)的-最優(yōu)解，還是(MOP)的(C,ε)-有效解.

注文獻[9]在Euclid空間中對多目標(biāo)優(yōu)化問題的精確解(命題3.1-4.1、定理3.1-定理4.2)進行了標(biāo)量化刻畫，本文利用Co-radiant集和改進集中多目標(biāo)優(yōu)化問題近似解的定義，定理1-定理3對多目標(biāo)優(yōu)化問題(C,ε)-近似解進行了標(biāo)量化刻畫，推論1-推論2對多目標(biāo)優(yōu)化問題E-近似解進行了標(biāo)量化刻畫.

3 結(jié)語

本文主要利用一類改進的ε-約束法標(biāo)量化模型研究了多目標(biāo)優(yōu)化問題幾類近似解的一些標(biāo)量化性質(zhì)，給出了近似解與標(biāo)量化問題近似最優(yōu)解之間的關(guān)系.關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問題及其性質(zhì)研究，特別是多目標(biāo)優(yōu)化問題的近似解及其線性與非線性標(biāo)量化性質(zhì)還有很多問題有待進一步深入研究.例如：目前已有的標(biāo)量化模型與方法均含有大量的參數(shù)，這些參數(shù)如何進行有效確定是值得深入研究的問題；目前已有的各類標(biāo)量化模型與方法中均含有大量的參數(shù)，如何提出新的標(biāo)量化模型與方法、實現(xiàn)用較少的參數(shù)對多目標(biāo)優(yōu)化問題各類精確解或近似解進行等價刻畫也是有待突破和解決的問題.