袁 茵

(安徽省碭山中學(xué) 235300)

題1 如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為M的人站在稱(chēng)盤(pán)上，人拉著一根長(zhǎng)L的輕繩的一端，繩的另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的鉛球，若讓鉛球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A受到繩子的拉力恰好為mg，鉛球可看做質(zhì)點(diǎn).問(wèn)：鉛球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)到何處，稱(chēng)盤(pán)上的讀數(shù)最小值為多少？

解析設(shè)鉛球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度為vA，運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)(如圖2所示)稱(chēng)盤(pán)上讀數(shù)最小，值為N，其中OP與豎直方向夾角為θ，P點(diǎn)速度設(shè)為vP，輕繩對(duì)鉛球的拉力為T(mén)，在A點(diǎn)，有：

鉛球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P，有動(dòng)能定理得：

在P點(diǎn)，在法向上，由牛頓第二定律，得

稱(chēng)盤(pán)上讀數(shù)N=Mg-Tcosθ.

可得N=Mg-4mgcosθ+3mgcos2θ，

在本例題中，秤盤(pán)上的讀數(shù)最小不是小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)候，有的同學(xué)憑著以往解題的經(jīng)驗(yàn)，不假思索，就當(dāng)成小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)候去解題，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

題2 如圖3所示，在質(zhì)量為M的飛輪上固定著一個(gè)質(zhì)量為m的重物，重物到轉(zhuǎn)軸的距離為r,重物隨電動(dòng)機(jī)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，為使電動(dòng)機(jī)不從地面跳起，則電動(dòng)機(jī)的飛輪角速度不超過(guò)多少？若以上述角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面最大壓力是多少？

解析如圖4所示，當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到P處電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最小，OP與豎直方向的夾角為α.由于重物隨電動(dòng)機(jī)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

有F合=Fn=mω2r，

則電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力為

N=Mg+mg-mω2rcosα.

由上式可知，當(dāng)α=0時(shí)，即重物到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最小，電動(dòng)機(jī)不從地面跳起的臨界條件為：N=0.

同理可得，當(dāng)α=π時(shí)，即重物運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最大，最大值為Nmax=2(M+m)g.

在本題中，與題1不同，電動(dòng)機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，重物的速率不變，所以經(jīng)過(guò)推導(dǎo)重物運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最小.

題3如圖5所示，在傾角α=30°的、質(zhì)量為M的斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.8m的細(xì)繩，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=0.2kg的小球，小球沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)繩中的拉力為1N.那么小球運(yùn)動(dòng)到哪里，斜面對(duì)地面的壓力最小？壓力是多大？

解析如圖6所示，設(shè)小球在A點(diǎn)速度為vA，繩中拉力為T(mén)A，沿繩有

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)時(shí)，斜面對(duì)桌面壓力最小，此時(shí)

繩與AB的夾角為θ，速度為vP，繩中拉力為T(mén)P,沿繩有

從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，有動(dòng)能定理有

斜面對(duì)地面的壓力

本題雖不是豎直平面內(nèi)的情形，但是屬于類(lèi)豎直平面內(nèi)變速圓周運(yùn)動(dòng)，分析方法相同，只不過(guò)把豎直平面內(nèi)豎直向下的重力mg等效成了mgsinα，采用類(lèi)比的方法使得問(wèn)題簡(jiǎn)化.

題4如圖7所示，細(xì)線(xiàn)的上端固定，下端系一小球，細(xì)線(xiàn)長(zhǎng)為l，將小球與細(xì)線(xiàn)拉至同一水平位置后從靜止開(kāi)始釋放，求小球的細(xì)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到與水平方向成多大角度時(shí)，小球獲得最大的豎直分速度(用反三角函數(shù)表示，重力加速度為g)

解析設(shè)小球質(zhì)量為m，當(dāng)細(xì)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到與水平方向夾角為θ時(shí)，小球獲得的速度為v，豎直方向的分速度為vy，如圖8所示：由動(dòng)能定理，小球從A運(yùn)動(dòng)到B，有

又vy=vcosθ，

下面考慮函數(shù)f(θ)=sinθ(1-sin2θ)，令sinθ=t,t∈[0,1],

則y=t(1-t2)=t-t3，