張梓喬， 雷建平

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430063)

0 引 言

近十年來,響應(yīng)面法在模型修正方面的應(yīng)用價值不斷提高,對比傳統(tǒng)有限元模型修正方法,響應(yīng)面法以顯示函數(shù)形式表達了輸入變量與響應(yīng)的關(guān)系,無需重復(fù)調(diào)用有限元模型,極大的提高了計算效率,同時基于統(tǒng)計分析指標(biāo)進行從全局進行顯著性參數(shù)篩選,較靈敏度法僅根據(jù)某設(shè)計點的響應(yīng)變化量來判斷參數(shù)的影響性更為科學(xué)。目前有部分學(xué)者基于擬合殘差對響應(yīng)面進行改進[1],但不同響應(yīng)面殘差大小及數(shù)量級會有所不同,部分樣本點雖然擬合殘差較大,響應(yīng)面的擬合卻也已經(jīng)足夠。為判斷樣本點中是否存在響應(yīng)面擬合不足的異常點,并增強響應(yīng)面在該點局部的擬合能力,本文基于內(nèi)學(xué)生化殘差值尋找失擬樣本點,并在該點引入高斯徑向基函數(shù)重新構(gòu)造響應(yīng)面,結(jié)果表明,改進后響應(yīng)面對所有樣本點擬合均良好,基于改進響應(yīng)面修正后的模型滿足實際工程要求。

1 基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元模型修正理論

基于響應(yīng)面的有限元模型修正基本原理:選取適當(dāng)?shù)囊蜃兞?在合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi),通過試驗設(shè)計方法選取有代表性的樣本,通過有限元軟件計算得到對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)值;通過方差分析等方法,篩選與響應(yīng)值顯著相關(guān)的參數(shù);選取合適的響應(yīng)面函數(shù),對樣本進行響應(yīng)面擬合并進行檢驗;以實測數(shù)據(jù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),用響應(yīng)面模型替代原有數(shù)值模型進行參數(shù)優(yōu)化,得到修正后的參數(shù),最終代回有限元模型得到修正后模型。

1.1 試驗設(shè)計

常用的試驗設(shè)計方法有正交設(shè)計(OA)、最優(yōu)設(shè)計(Opt)、均勻設(shè)計(UD)、中心復(fù)合設(shè)計(CCD)及Box-Behnken設(shè)計(BBD)。在擬合二階響應(yīng)面時,CCD由于其良好的正交性及可旋轉(zhuǎn)性,應(yīng)用最為廣泛。CCD在2k全因子設(shè)計的基礎(chǔ)上,增加2k個坐標(biāo)軸點和n個中心點(有限元計算為確定性試驗,n取1),對于k個變量的設(shè)計共需要2k+2k+1個樣本點,當(dāng)待修正參數(shù)過多時,該試驗方法工作量較大,不適合多參數(shù)的試驗設(shè)計。文中所采用的試驗設(shè)計方法為D-最優(yōu)設(shè)計(Opt-D),其回歸模型表達式如下:

ya=β1f1(xa)+β2f2(xa)+…

+βmfm(xa)+εa,a∈(1,2,…,N)

(1)

式中:εa是服從N(0,σ2)的相互獨立的隨機變量;xa是設(shè)計空間內(nèi)的樣本點;f1(xa),f2(xa),…,fm(xa)是設(shè)計空間內(nèi)的連續(xù)函數(shù);β1,β2,…βm為待估計參數(shù),其值通常由β1,β2,…βm表示的密集橢球體體積最小值確定。從數(shù)理統(tǒng)計方面來看,Opt-D的目標(biāo)為使響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計參數(shù)樣本估計方差最小。該法是僅考慮方差而得出的一種準則,忽略了偏差的影響,但當(dāng)參數(shù)限制在關(guān)注區(qū)域內(nèi)時,該準則會顯出很大的優(yōu)越性[2]。

1.2 參數(shù)顯著性檢驗

在數(shù)理統(tǒng)計中,方差分析是研究自變量是否對因變量有顯著性影響的一個重要工具,常用的有F檢驗法[3],其過程總結(jié)如下:首先計算出樣本數(shù)據(jù)中由試驗因素引起的偏差平方和SSE和由各個因素引起的偏差平方和SSA,然后分別除以各自的自由度得到均方殘差(mean-square error,MSE)及均方回歸(mean-square regression,MSR),最終求出F值,其計算公式如下:

(2)

式中:fA為因素的自由度;fE為試驗偏差的自由度。

在求出待檢驗參數(shù)的F值后,與臨界值Fα進行比較,其中α為置信區(qū)間,表示判斷錯誤的概率,常用的判斷標(biāo)準為:當(dāng)F≤0.01,則因素影響高度顯著;0.01

1.3 響應(yīng)面擬合

常用的響應(yīng)面擬合函數(shù)有以下幾種:多項式函數(shù)、徑向基函數(shù)、多元自適應(yīng)回歸樣條、克里格(Kriging)模型。本文響應(yīng)面以完備二次多項式為基礎(chǔ),在異常點處引入高斯徑向基函數(shù)改進局部非線性能力。

完備二次多項式響應(yīng)面函數(shù)表達式如下所示:

(3)

式中:xi、xj為待修正參數(shù)；k為待修正參數(shù)總數(shù)；β0、βi、βii、βij為各項待定系數(shù)。

徑向基函數(shù)通常定義為空間中的任意一點到某個中心之間的單調(diào)函數(shù),其結(jié)構(gòu)靈活、形式簡潔,對解決非線性問題有獨特的優(yōu)勢,高斯徑向基函數(shù)形式為[4]:

(4)

響應(yīng)面擬合后需對其精度進行檢驗,常用的響應(yīng)面精度檢驗指標(biāo)如下[5]:

(5)

(6)

復(fù)相關(guān)系數(shù)R2和相對均方誤差RMSE均屬于[0,1],且R2越接近1,擬合精度越高,RMSE越接近0,擬合誤差越小。統(tǒng)計學(xué)中通常采用內(nèi)學(xué)生化殘差值來判斷擬合異常點,其計算公式如下:

(7)

式中:s為標(biāo)準誤差,hii為帽子矩陣H主對角線元素。若某一點SRSEIDi超出[-3,3]區(qū)間時,可以97%置信度判定為異常點。

1.4 參數(shù)優(yōu)化

有限元模型多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問題可用如下數(shù)學(xué)形式表達[6]:

minF(x)=min(f1(x),f2(x),…,fn(x))

s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,m

(8)

式中:fi(x)為各變量初始目標(biāo)函數(shù);F(x)為轉(zhuǎn)換后的多目標(biāo)函數(shù);gi(x)為約束函數(shù)。

2 神定河大橋有限元模型修正

2.1 神定河大橋初始有限元模型

神定河大橋為66 m+3×120 m+66 m預(yù)應(yīng)力混凝土變截面剛構(gòu)-連續(xù)梁橋,單箱單室截面,橋面寬度為15m。下部結(jié)構(gòu)連續(xù)梁處采用樁柱式墩,剛構(gòu)部分采用雙薄壁墩,橋面鋪裝采用普通瀝青混凝土。設(shè)計荷載為公路-Ⅰ級,人群荷載為為2.65 kN/m3。箱梁采用C55混凝土,雙薄壁墩采用C40混凝土,質(zhì)量密度均按2 600 kg/m3計。箱梁、橋墩均采用實體單元建立,橋面鋪裝部分僅考慮其附加質(zhì)量,不考慮剛度貢獻[7],薄壁墩底部約束全部自由度,墩頂與箱梁固接,箱梁各處支座根據(jù)支座形式對相應(yīng)節(jié)點施加豎向、橫向、縱向約束。

2.2 響應(yīng)面模型建立

以靜載各工況撓度作為響應(yīng)特征值,以各區(qū)段彈性模量作為待修正參數(shù),取0.8倍初值作為低值、1.3倍初值作為高值,采用D-最優(yōu)設(shè)計法進行試驗設(shè)計,代入有限元模型進行計算,A、C、E截面各3個測點,共得到50個樣本點。彈性模量分區(qū)示意圖如1所示。

圖1 參數(shù)修正區(qū)間分段圖

采用F檢驗法分析各待修正參數(shù)對靜力響應(yīng)的顯著性影響,計算各待修正參數(shù)對各靜力響應(yīng)的顯著性水平P值。為節(jié)省篇幅,后續(xù)僅列給出靜力響應(yīng)面Y1的表達式及相關(guān)圖表，如圖2所示。

圖2 Y1參數(shù)顯著性檢驗圖

有圖2可知,Y1靜力響應(yīng)面共有8個待修正參數(shù),利用Design-Expert軟件將所有樣本點數(shù)據(jù)擬合原始二次響應(yīng)面,函數(shù)形式如下式所示,擬合后內(nèi)學(xué)生化殘差圖如圖3所示。

圖3 Y1樣本點內(nèi)學(xué)生化殘差圖

Y1=-21.65311+3.08379E1+0.025070E2

+2.70203E3+0.027664E4+0.012308E8

-0.095298E1E3-0.22618E1E1-0.19576E3E3

(9)

由圖3可知,第50號樣本點內(nèi)學(xué)生化殘差值超限,這表明二次響應(yīng)面對該點的擬合能力存在缺陷,為改進該點局部非線性能力,引入高斯徑向基函數(shù),利用MATLAB對各待定系數(shù)進行重新求解,最終靜力響應(yīng)面Y1函數(shù)表達式如下式所示,改進前后內(nèi)學(xué)生化殘差比較圖如圖4所示。

圖4 Y1響應(yīng)面改進前后內(nèi)學(xué)生化殘差比較圖

Y1′=-21.758 3+3.082 7E1+0.027 2E2+

2.748 2E3+0.029 9E4+0.014 1E8-

0.094 5E1E3-0.226 2E1E1 -0.202 2E3E3-

0.048 7e-[(E1-4.615)2+(E2-4.615)2+(E3-4.091)2+(E4-4.615)2+(E8-4.225)2]

(10)

由圖4可知,改進后響應(yīng)面內(nèi)學(xué)生化殘差值均落入[-3,3]區(qū)間內(nèi),對所有樣本點擬合均良好。Y1～Y3響應(yīng)面改進前后檢驗指標(biāo)見表1。

表1 Y1～Y3響應(yīng)面改進前后檢驗指標(biāo)比較表

2.3 參數(shù)修正

采用響應(yīng)面模型替代有限元模型,基于靜力響應(yīng)實測值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),運用改進雙鏈量子遺傳算法對待修正參數(shù)進行優(yōu)化求解,各區(qū)段彈性模量修正后值較初值都有一定增大,修正幅度最大為12.59%,較為符合工程實際,分析認為是預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中配置了大量的預(yù)應(yīng)力鋼筋及普通鋼筋,結(jié)構(gòu)整體剛度有較大的增強。

將修正后的參數(shù)代回有限元模型重新計算各工況靜力響應(yīng),靜力響應(yīng)最大誤差由12.32%降至3.67%,有限元計算值與實測值吻合較好。筆者用修正后的模型重新計算豎向前三階頻率,發(fā)現(xiàn)在區(qū)段7彈性模量(區(qū)段7的彈性模量對A、C、E的9個撓度測點基本無影響)及各區(qū)段質(zhì)量密度均未修正的情況下,頻率最大誤差由9.12%降至3.99%,修正效果也較為理想,后期以修正后的彈性模量建立動力響應(yīng)面修正區(qū)段7的彈性模量及各區(qū)段質(zhì)量密度后,發(fā)現(xiàn)質(zhì)量密度變化較小,修正后頻率最大誤差降至1.15%,動力修正后的頻率誤差整體較撓度誤差小,分析認為頻率測量誤差較撓度測量誤差小。

3 結(jié) 論

基于動靜力實測數(shù)值,采用改進響應(yīng)面法對一座五跨剛構(gòu)-連續(xù)梁橋進行了有限元模型修正,通過在異常點處引入高斯徑向基插值函數(shù),有效地改善了局部的非線性擬合能力,以實測數(shù)據(jù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并進行參數(shù)優(yōu)化,修正后的結(jié)果與實測值吻合較為良好,修正后的有限元模型對結(jié)構(gòu)的損傷識別及狀況評估具有一定的意義。

完備二次響應(yīng)面擬合精度已經(jīng)較高,但最適宜二次響應(yīng)面建立的中心復(fù)合設(shè)計應(yīng)用于多參數(shù)試驗設(shè)計時,工作量十分巨大,若能在不嚴重影響其正交性及可旋轉(zhuǎn)性的基礎(chǔ)上適當(dāng)減少樣本點,試驗設(shè)計的層次性及響應(yīng)面的準確度能得到進一步改善。