陳國(guó)泰,李金賜,廖延初,張賽男,郭春鳳

（福建技術(shù)師范學(xué)院 a.無(wú)損檢測(cè)技術(shù)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.電子與信息工程學(xué)院,福建福清 350300 ）

非線性相位會(huì)導(dǎo)致各個(gè)頻率的波形到達(dá)的時(shí)間不同,使信號(hào)所表現(xiàn)的效果被破壞.在立體語(yǔ)音、通信以及圖像處理等場(chǎng)合要求濾波器具有線性相位特性,以保證信號(hào)沒(méi)有相位失真或沒(méi)有明顯的相位失真.有限長(zhǎng)沖擊響應(yīng)（Finite Impulse Response, FIR）數(shù)字濾波器在沖擊響應(yīng)序列對(duì)稱(chēng)的條件下具有線性相位特性,因此FIR濾波器得到廣泛的應(yīng)用.

現(xiàn)有文獻(xiàn)[1-4]指出FIR數(shù)字濾波器沖擊響應(yīng)序列的對(duì)稱(chēng)性與線性相位特性之間形成充分必要條件關(guān)系.文獻(xiàn)[1-4]中雖然有涉及線性相位必要條件方面的證明,但是沒(méi)有給出嚴(yán)格和完整的證明過(guò)程.汪芙平等從連續(xù)傅里葉變換的角度,給線性相位必要條件提供了較為嚴(yán)格清晰的證明過(guò)程[5].

本文在沖擊響應(yīng)序列傅里葉變換的基礎(chǔ)上開(kāi)始線性相位必要條件的證明,證明過(guò)程與序列緊密結(jié)合,因此對(duì)序列對(duì)稱(chēng)性的理解更為直觀.本文也將線性相位充分條件的證明做了闡述,使線性相位充分必要條件的證明更為完整.

1 命題描述

FIR數(shù)字濾波器沖擊響應(yīng)序列與線性相位之間的關(guān)系描述如下：

命題1：若N階FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)(n=0,…,N-1)為實(shí)序列,則該濾波器具有線性相位的充分必要條件是h(n)為對(duì)稱(chēng)序列.

2 線性相位的充分條件證明[4]

命題1的充分性很容易證明,很多教材提供了推導(dǎo)過(guò)程.這里為了命題1證明的完整性,對(duì)充分性也進(jìn)行證明.

首先,假設(shè)h(n)是偶對(duì)稱(chēng),即h(n)=h(N-1-n),則序列h(n)的傅里葉變換函數(shù)為

它是以2π為周期的關(guān)于ω的函數(shù).

當(dāng)N為偶數(shù)時(shí),對(duì)式(1)可按對(duì)描述為

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí),式(3)仍成立.

通過(guò)分析N為奇數(shù)或偶數(shù)下,式(4)和式(7)在為0、π和2π下的函數(shù)值和對(duì)稱(chēng)性,可以得到式(4)和式(7)在什么時(shí)候適合設(shè)計(jì)哪種FIR數(shù)字濾波器,如表1所示.

3 線性相位的必要性證明

當(dāng)一個(gè)FIR數(shù)字濾波器具有線性相位,則可將式(1)表示為

表1 不同對(duì)稱(chēng)性和長(zhǎng)度下所適合設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器

整理可得

又因?yàn)闉閷?shí)函數(shù),故其虛部部分為0,即有[6]

下面觀察sin [(α-n)ω+β]在不同n下ω從0到2積分的正交性.

設(shè) n1和 n2,則

前面分析顯示,當(dāng)2α≠(N -1)時(shí),序列h(n)中開(kāi)頭一部分或最后一部分是全零元素,這時(shí)序列h(n)的有些長(zhǎng)度實(shí)際上只有2 N -1-2α或2α+1,因?yàn)?為了真正考慮N階FIR數(shù)字濾波器,那么2α必須為N-1.綜合上述分析,可得如表2的結(jié)果.

表2 不同長(zhǎng)度和β下FIR數(shù)字濾波器序列的對(duì)稱(chēng)性

4 結(jié)論

相比文獻(xiàn)[5],本文的證明篇幅略冗長(zhǎng)一些,但是本文的證明主要是基于序列上,在文獻(xiàn)[5],該文作者將序列構(gòu)成一個(gè)由沖擊脈沖函數(shù)疊加的連續(xù)函數(shù)并在連續(xù)時(shí)間傅里葉變換上對(duì)線性相位的必要性進(jìn)行證明.本文提供另一種證明參考,文獻(xiàn)[6]也對(duì)該問(wèn)題做了簡(jiǎn)要說(shuō)明,而本文提供了詳細(xì)的證明過(guò)程,并將充分必要條件的證明整合在一起,使證明更具完整性.