于艷芹

[摘要]探討數(shù)學應(yīng)用問題的解題策略具有重要的現(xiàn)實意義不僅能讓學生學會分析問題，還能提高學生的解題能力

[關(guān)鍵詞]中考;應(yīng)用題;解決策略

[中圖分類號]

G633. 6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0012-02

在近幾年的中考數(shù)學中，增加了應(yīng)用題，這些應(yīng)用題具有鮮明的特色，它的背景素材取白現(xiàn)實生活，并與熱點鏈接，且涉及面廣.題日通常文字敘述比較冗長，有諸多干擾因素.如果學生不能抓住要害，找出解答的關(guān)鍵信息，就不能正確解題.在解答這類題時，要學會“抽絲剝繭”，聯(lián)系學過的知識，通過觀察、分析、概括，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，利用學過的數(shù)學知識加以解決.

一、應(yīng)用方程或方程組解決二氧化碳排放問題

中考數(shù)學常把方程作為命題的重點，這就要求學生要關(guān)注現(xiàn)實生活，了解現(xiàn)代社會的日常事務(wù)，能夠用方程思想審視和解決一些實際問題.運用方程或方程組解決問題的一般步驟為：一認真審清題意，分清題中的已知量與未知量;二根據(jù)所求量設(shè)出未知數(shù)，要注意統(tǒng)一單位;三是找出等量關(guān)系，使它能夠反映應(yīng)用題的全部意義;四構(gòu)造方程或者列方程組;五解方程（組）;六檢驗并寫出答案.

[例1]近幾年某地在全面推進“兩型社會”建設(shè)方面成效顯著，低碳環(huán)保、生態(tài)節(jié)能的生活方式已成為社會共識.楊先生要從某地到長沙，若乘飛機需要3h，乘汽車需要9h這兩種交通工具每小時排放的二氧化碳總量為70kg，已知飛機每小時二氧化碳的排放量比汽車多44kg.問：

（1）汽車、飛機每小時二氧化碳的排放量各是多少千克？

（2）楊先生若乘汽車來長沙，那么他此行與乘飛機相比將減少二氧化碳排放量多少千克？

解析：（1）設(shè)汽車每小時二氧化碳的排放量是x千克，飛機每小時二氧化碳的排放量是y千克，根據(jù)題意列出方程組.即

故汽車每小時二氧化碳的排放量是57千克，飛機每小時二氧化碳的排放量是13千克.

（2）利用“減少二氧化碳排放量=飛機每小時二氧化碳的排放量×乘飛機所需時間-汽車每小時二氧化碳的排放量×乘汽車所需時間”計算，即57x3-13x9=54（千克）.

評注：本題關(guān)注的熱點是“低碳生活”，通過問題向?qū)W生普及了乘飛機比乘汽車排放的二氧化碳要多得多，鼓勵人們在飛機與汽車之間選擇時，應(yīng)選擇乘汽車.在解決問題的過程中，關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵。

二、應(yīng)用不等式或不等式組解決方案設(shè)計問題

在現(xiàn)實世界里，不僅存在相等的數(shù)量關(guān)系，也存在不相等的數(shù)量關(guān)系.如大于、小于、不等于、至少、至多等.這是因為諸多現(xiàn)實問題有時不容易確定其具體數(shù)值，有時也不需要確定其具體數(shù)值，但是要想對所關(guān)注的問題有一個比較清晰的認識，需要確定這些量的波動范圍，這就是不等式或不等式組所解決的問題.建立不等式或不等式組時，從題意出發(fā)，只設(shè)一個未知數(shù)，弄清問題所描述的實際情況，找出能反映應(yīng)用題全部含義的不等關(guān)系.

[例2]為了改善我市職工生活環(huán)境，完善小區(qū)生活配套設(shè)施，市政府決定在“綜合整治”規(guī)劃中將200噸水泥和120噸外墻涂料運往我市的A鎮(zhèn)，現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水泥和外墻涂料全部運出，已知一輛甲種貨車可裝水泥和外墻涂料各20噸，一輛乙種貨車可裝水泥40噸和外墻涂料10噸.

（l）如果同時使用這兩種貨車，一次性送到A鎮(zhèn)，請設(shè)計一下運輸方案.

（2）如果甲貨車使用一次需要960元，乙貨車使用一次需要1200元，如何運輸費用最少？

解析：（1）設(shè)安排甲貨車x輛，乙貨車（8-x）輛，根據(jù)題意列出不等式組

解得4≤x≤6.又x為整數(shù)，所以x為4，5，6，有三種方案.

方案一：甲貨車4輛，乙貨車4輛.

方案二：甲貨車5輛，乙貨車3輛.

方案三：甲貨車6輛，乙貨車2輛.

（2）根據(jù)（1）得出三種方案的費用，進而比較即可.

方案-：4x960+4x1200=8640（元）.

方案二：5x960+3x1200=8400（元）.

方案三：6x960+2x1200=8160（元）.

8640>8400>8160

評注：本題考查了方案設(shè)計問題.有時解決問題的方案可能不止一種，那么到底有哪幾種方案可供選擇？在這幾種方案中，哪一種是合適的？這里的“合適”需要根據(jù)實際情況而定，有時優(yōu)先考慮時間，有時優(yōu)先考慮費用，有時優(yōu)先考慮事情的方便，等等.此題優(yōu)先考慮費用問題，把它作為方案的首選因素.

三、應(yīng)用二次函數(shù)解決最大利潤問題

函數(shù)及其圖像是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是初中數(shù)學與高中數(shù)學銜接最好的部分.中考數(shù)學一方面考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，另一方面考查函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，函數(shù)的應(yīng)用題常作為中考數(shù)學的壓軸題，難度相對較大，所以應(yīng)把函數(shù)的應(yīng)用作為數(shù)學復(fù)習的重點.解決這類問題首先要審清題意，辨析出問題對應(yīng)的函數(shù)類型，嘗試用一個變量的代數(shù)式表示另一個變量，實際上就是建立函數(shù)關(guān)系式，同時，應(yīng)根據(jù)題意明確自變量的取值范圍，在實際問題里，白變量的取值范圍都有一定的局限性，必須使實際問題有意義.

[例3]母親節(jié)人們常為母親送花，星星鮮花超市采購了一批鮮花，經(jīng)分析上一年的銷售情況，發(fā)現(xiàn)該鮮花禮盒的周銷售量y（盒）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，已知銷售單價為70元/盒時，銷售量為160盒;銷售單價為80元/盒時，銷售量為140盒.

（1）求該周銷售量y（盒）關(guān)于銷售單價x（元）的一次函數(shù)解析式;

（2）若按去年方式銷售，已知今年該鮮花禮盒的進價是每盒50元，商家要求該周至少要賣110盒，請你幫店長算一算，要完成商家的銷售任務(wù)，銷售單價不能超過多少元？

（3）在（2）的條件下，銷售單價x為何值時，花店該周銷售鮮花禮盒獲得的利潤最大？并求出獲得的最大利潤.

解析：（l）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b，把x=70、y=160和x=80、y=140代入求出k、b的值即可.設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kX+b，

（2）由y≥ll0列出關(guān)于x的不等式，解之可得.由題意可得v≥ll0， -2x+300≥110，解得x≤95， 銷售單價不能超過95元.

（3）設(shè)銷售利潤為w元，根據(jù)“總利潤=單價利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，配方成頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.即設(shè)銷售利潤為w元，

則w=（x-50）（-2x+300）=-2x2+400x-15000=-2（x-100）₂+5000.

∵-2<0，對稱軸為x=100，∴當50≤x≤95時，w隨x的增大而增大，

∴當x=95時，w取得最大值，最大值為4950.

評注：本題的銷售量與銷售單價成一次函數(shù)，銷售利潤與銷售單價成二次函數(shù).確定一次函數(shù)關(guān)系式時采用待定系數(shù)法，確定二次函數(shù)關(guān)系式時采用列代數(shù)式的方法.二次函數(shù)中自變量的取值范圍來自一次函數(shù)，兩個函數(shù)緊密聯(lián)系在一起.一般地，求最值的實際問題，常需要建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)去求.

四、應(yīng)用統(tǒng)計了解中學生的課余生活

統(tǒng)計數(shù)學模型比其他數(shù)學模型有著更豐富的生活背景，它的應(yīng)用價值也更強，也是中考數(shù)學的熱點問題，它主要考查學生的統(tǒng)計思想、用樣本估計總體的思想等，另一方面也考查了學生的數(shù)學應(yīng)用意識、分析處理數(shù)據(jù)的能力.

[例4]為了解某中學學生課余生活情況，包括看課外書、體育鍛煉、觀看視頻、參與社會活動，調(diào)查時抽取幾名學生，并將得到的數(shù)據(jù)進行了收集整理，并制成了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖（如圖1），根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，解答：

（1）n=____，扇形統(tǒng)計圖中看課外書的扇形網(wǎng)心角為

;

（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整;

（3）已知這所中學有學生1200個，那么這所中學喜歡看電視的有多少人？

解析：（1）根據(jù)社會實踐的學生數(shù)和所占的百分比可以求得本次調(diào)查的人數(shù)和扇形統(tǒng)計圖中看課外書的扇形網(wǎng)心角的度數(shù).即n=5÷10%=50，扇形統(tǒng)計圖中看課外書的扇形網(wǎng)心角為360°×15/50=108°，故答案為50，108.

（2）根據(jù)（1）中n的值可以得到看電視的學生數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整.即：選擇看電視的學生有：50-15-20-5=10，補全的條形統(tǒng)計圖如圖2所示.

（3）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計算出該校喜愛看電視的學生人數(shù)1200×10/50= 240（人）.

數(shù)學知識來自于生活，又高于生活，是對客觀現(xiàn)實的提煉與概括，是實際問題的一般形式，揭示了事物的本質(zhì)特征.我們掌握了數(shù)學知識后，反過來可以應(yīng)用數(shù)學知識分析現(xiàn)實問題，指導我們的生活，這就是數(shù)學與生活的相互聯(lián)系.在解決實際問題時，首先要分析出它對應(yīng)的數(shù)學模型，是方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計還是幾何圖形，然后應(yīng)用數(shù)學模型的相關(guān)知識解答，也就將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過數(shù)學問題的解決，從而解決實際問題.