牛韜，嵇道揚(yáng)，馬晨波，孫見君

（1.江蘇速力達(dá)精密科技有限公司， 江蘇 南京 211299）

（2.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 江蘇 南京 210037）

機(jī)械手的軌跡規(guī)劃作為軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)[1]，是通過給定的路徑點(diǎn)，在滿足相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束的條件下，得到通過路徑點(diǎn)的軌跡，并計(jì)算出機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過程中的位移、速度、加速度等參數(shù)，其優(yōu)劣對(duì)機(jī)械手的工作效率、運(yùn)行平穩(wěn)性等起著決定性作用。由于路徑點(diǎn)之間的軌跡復(fù)雜繁多，人們希望從中找到一條最優(yōu)的軌跡。其中，注重效率的時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的研究開展最早[2-3]，也最為熱門。張紅強(qiáng)[4]采用B樣條曲線構(gòu)造機(jī)器人的軌跡，提出了一種基于改進(jìn)混沌優(yōu)化算法的機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)方法，并在關(guān)節(jié)空間與笛卡爾空間對(duì)PUMA560前三關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算。付榮[5]等人根據(jù)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，提出了關(guān)節(jié)空間基于粒子群優(yōu)化（PSO）的時(shí)間最優(yōu)3-5-3多項(xiàng)式插值軌跡規(guī)劃算法。但是，時(shí)間最優(yōu)的軌跡往往具有較大的脈動(dòng)，脈動(dòng)過大對(duì)機(jī)械手有不利的影響，會(huì)帶來振動(dòng)、機(jī)械磨損、壽命縮短、軌跡跟蹤誤差增大等問題[6-7]。機(jī)械手最優(yōu)脈動(dòng)軌跡的研究應(yīng)運(yùn)而生，楊錦濤[8]等人用S形速度曲線代替梯形速度曲線，對(duì)B樣條進(jìn)行插補(bǔ)，插補(bǔ)后得到笛卡爾空間的位置、速度、加速度參數(shù)，得到脈動(dòng)最優(yōu)的軌跡曲線，并反推到關(guān)節(jié)空間進(jìn)行仿真驗(yàn)證。隨著現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)要求的提高，單獨(dú)一種目標(biāo)的最優(yōu)軌跡規(guī)劃很難滿足應(yīng)用中的綜合要求，考慮兩種或者兩種以上性能的優(yōu)化可以得到更適合實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用、綜合性能更優(yōu)的軌跡規(guī)劃方案[9-12]。

本文提出了一種基于遺傳算法的機(jī)械手時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。采用三次B樣條曲線對(duì)關(guān)節(jié)坐標(biāo)內(nèi)路徑點(diǎn)的位移時(shí)間序列進(jìn)行插值，得到待優(yōu)化的軌跡曲線；以相鄰路徑點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為設(shè)計(jì)變量，以機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束為約束條件，使用加權(quán)系數(shù)法定義目標(biāo)函數(shù)，涵蓋機(jī)械手運(yùn)行時(shí)間和機(jī)械手軌跡脈動(dòng)兩個(gè)部分，基于遺傳算法求解帶約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題，得到運(yùn)行時(shí)間和脈動(dòng)綜合最優(yōu)的軌跡，并通過仿真分析進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 問題描述

機(jī)械手的軌跡規(guī)劃按規(guī)劃空間不同分為笛卡爾空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃。笛卡爾空間軌跡規(guī)劃在機(jī)械手的工作坐標(biāo)系中進(jìn)行，規(guī)劃對(duì)象是末端執(zhí)行器的軌跡曲線，經(jīng)過規(guī)劃后末端執(zhí)行器沿著規(guī)劃好的曲線運(yùn)動(dòng)。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃在機(jī)械手的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中進(jìn)行，規(guī)劃對(duì)象是各個(gè)關(guān)節(jié)的角度，規(guī)劃后各個(gè)關(guān)節(jié)按照規(guī)劃方式運(yùn)動(dòng)，從而帶動(dòng)機(jī)械手在工作空間中完成各種運(yùn)動(dòng)。

機(jī)械手的軌跡規(guī)劃按照規(guī)劃方式不同分為連續(xù)路徑軌跡規(guī)劃和點(diǎn)到點(diǎn)軌跡規(guī)劃[13]。在機(jī)械手末端執(zhí)行器的位姿有瞬時(shí)變化，如焊接、噴涂等作業(yè)中，機(jī)械手多采用連續(xù)路徑軌跡規(guī)劃。而在路徑簡(jiǎn)單，對(duì)精度要求不高的工作中，如搬運(yùn)、碼垛等作業(yè)中，則會(huì)采用點(diǎn)到點(diǎn)的方式進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

本文以ABB公司的IRB6640型機(jī)械手作為研究對(duì)象，此機(jī)械手有六個(gè)自由度，承載能力為180kg，在輪轂加工的過程中承擔(dān)將汽車輪轂在數(shù)控機(jī)床間的搬運(yùn)工作，路徑較為簡(jiǎn)單，因此，選擇在關(guān)節(jié)空間進(jìn)點(diǎn)到點(diǎn)軌跡規(guī)劃。

在進(jìn)行軌跡規(guī)劃的過程中，根據(jù)機(jī)械手要完成的工作，設(shè)定個(gè)路徑點(diǎn)和個(gè)與之對(duì)應(yīng)時(shí)刻，給定機(jī)械手末端執(zhí)行器的位置時(shí)間序列（Pi，ti），其中，i=1，2，…，m。通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)算，得到六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角位移時(shí)間序列（Qij，ti），其中，i=1，2，…，m，j=1，2，…，6，Qij表示與第i個(gè)路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的第j關(guān)節(jié)的角位移。用三次B樣條曲線，對(duì)六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角位移進(jìn)行插值，得到關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)qj(t)，其中，j=1，2，…，6，qj(t)表示第j個(gè)關(guān)節(jié)角位移-時(shí)間函數(shù)。相應(yīng)的，角速度、角加速度、脈動(dòng)函數(shù)表示如下：

在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，每一組不同的時(shí)間序列T=[t1，t2…tm]（或者表達(dá)成時(shí)間間隔序列△T=[△t1，△t2…△tm-1]，△Ti=ti+1-ti，i=1，2，…，m-1），都會(huì)得到不同的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡。為實(shí)現(xiàn)對(duì)不同軌跡的評(píng)價(jià)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)軌跡優(yōu)化，從機(jī)械手的工作效率和運(yùn)行平穩(wěn)的角度出發(fā)，定義如下的評(píng)價(jià)指標(biāo)：

其中，E1為機(jī)械手按某一軌跡運(yùn)行的總時(shí)間，用來衡量機(jī)械手的工作效率，E2為機(jī)械手按某一軌跡運(yùn)行的總脈動(dòng)。本文旨在找出一組時(shí)間序列，得到一條時(shí)間-脈動(dòng)綜合最優(yōu)的機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡。

2 三次B樣條曲線構(gòu)造關(guān)節(jié)軌跡

B樣條曲線是一類分段光滑，且在各段交接處也有一定光滑性的函數(shù)曲線。B樣條曲線具有導(dǎo)數(shù)連續(xù)性、局部支撐性、可拓展性等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)械手的軌跡規(guī)劃中[14-15]。本文采用三次B樣條曲線對(duì)關(guān)節(jié)空間的路徑點(diǎn)進(jìn)行插值。

n次B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，0≤t≤1，Ni為控制點(diǎn)，F(xiàn)i,n(t)為n次B樣條基函數(shù)，其表達(dá)式為：

由n次B樣條曲線插值得到的第k段關(guān)節(jié)軌跡：

當(dāng)n=3時(shí)，將式（8）整理成矩陣形式，表達(dá)式如下：

其中，k=1，2，…，m-1，m≥2。

已知機(jī)械手的某關(guān)節(jié)需要經(jīng)過m個(gè)路徑點(diǎn)qi（i=1，2，…，m），完整的軌跡需要由m-1段曲線連接組成，曲線方程由m+2個(gè)未知的控制點(diǎn)Ni（i=1，2，…，m+1）所唯一控制。將已知條件m個(gè)路徑點(diǎn)qi帶入式（9），可以列出m個(gè)方程。若想求出所有的控制點(diǎn)Ni的解還需要增加兩個(gè)邊界條件，可以根據(jù)軌跡曲線的需要給定，一般是設(shè)置機(jī)械手關(guān)節(jié)的第一段軌跡的起始點(diǎn)和最后一段軌跡的終止點(diǎn)的速度為零。由已知的m+2個(gè)方程，可以求出m+2個(gè)控制點(diǎn)的確定解。

求得控制點(diǎn)后，根據(jù)式（8）能夠得到關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求導(dǎo)可以得到關(guān)節(jié)的角速度、角加速度、角加加速度曲線。

3 基于遺傳算法的最優(yōu)時(shí)間-脈動(dòng)求解

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是一種進(jìn)化算法，其基本原理是仿效生物界中的“物競(jìng)天擇、適者生存”的演化法則，從代表問題可能潛在的解集的一個(gè)種群開始的，而一個(gè)種群則由經(jīng)過基因編碼的一定數(shù)目的個(gè)體組成[16]。初代種群產(chǎn)生之后，按照適者生存和優(yōu)勝劣汰的原理，逐代演化產(chǎn)生出越來越好的近似解，在每一代，根據(jù)問題域中個(gè)體的適應(yīng)度大小選擇個(gè)體，并借助于自然遺傳學(xué)的遺傳算子進(jìn)行組合交叉和變異，產(chǎn)生出代表新的解集的種群。這個(gè)過程將使得種群像自然進(jìn)化一樣，后生代種群比前代更加適應(yīng)環(huán)境，末代種群中的最優(yōu)個(gè)體經(jīng)過解碼，可以作為問題近似最優(yōu)解。在給定的搜索空間內(nèi)，遺傳算法對(duì)多個(gè)解進(jìn)行同時(shí)搜索，能夠避免解停滯在局部最優(yōu)的區(qū)間，適用于多目標(biāo)，非線性，多模型的復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化問題。

采用加權(quán)系數(shù)法，將多目標(biāo)E1與E2的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)優(yōu)化問題，定義算法所需的適應(yīng)度函數(shù)如下：

軌跡的優(yōu)化以機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束作為約束條件，即以角速度、角加速度、角加加速度的最大值為約束條件。角速度約束如下：

基于遺傳算法的機(jī)械手時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃優(yōu)化計(jì)算，其流程如下：

(1)編碼：遺傳算法在進(jìn)行搜索之前先將解空間的解數(shù)據(jù)表示成遺傳空間的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，這些串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的不同組合便構(gòu)成了不同的點(diǎn)。

(2)生成初代種群：隨機(jī)產(chǎn)生20組時(shí)間序列，一組時(shí)間序列對(duì)應(yīng)一條軌跡，對(duì)應(yīng)每組時(shí)間序列稱為一個(gè)個(gè)體，20個(gè)個(gè)體構(gòu)成了初代種群。

(3)適應(yīng)度計(jì)算：適應(yīng)度表明個(gè)體或解的優(yōu)劣性，20組時(shí)間序列帶入式（11）的適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算適應(yīng)度。

(4)選擇、交叉、變異：選擇的目的是為了從當(dāng)前群體中選出適應(yīng)度高的個(gè)體，使它們有機(jī)會(huì)作為父代為下一代繁殖子孫。被選作父代的個(gè)體，通過交叉和變異獲得新的下一代的個(gè)體，新的20個(gè)個(gè)體組成新一代的種群。設(shè)置交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.1。

(5)判斷是否滿足終止條件：設(shè)置終止條件迭代代數(shù)為100代。若滿足，進(jìn)行步驟（6）；若不滿足，循環(huán)執(zhí)行步驟（3）和步驟（4），直至滿足終止條件。

(6)解碼：對(duì)末代種群做逆編碼操作，選擇其中的最優(yōu)時(shí)間序列，即為解得的最優(yōu)解。最優(yōu)時(shí)間序列對(duì)應(yīng)的機(jī)械手軌跡則為時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡。

4 仿真與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證該軌跡規(guī)劃方法的可行性，本文以IRB6640型機(jī)械手為研究對(duì)象，預(yù)設(shè)7個(gè)在工作過程中需要經(jīng)過的路徑點(diǎn)（見表1），考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)約束（見表2），在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃。因?yàn)镮RB6640型機(jī)械手前三個(gè)關(guān)節(jié)為大關(guān)節(jié)，且前三個(gè)關(guān)節(jié)就能控制末端執(zhí)行器的位置，故本文僅以前三個(gè)關(guān)節(jié)為例，考慮脈動(dòng)也僅考慮前三個(gè)關(guān)節(jié)的脈動(dòng)。

表1 關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

J2 90 50 70 J3 90 45 70

設(shè)置機(jī)械手7個(gè)路徑點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為1s，2s，3s，3s，2s，1s；調(diào)整系數(shù)k=50；加權(quán)系數(shù)取值如下，α=0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2，相應(yīng)的，β=0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8。分別對(duì)這七種情況進(jìn)行優(yōu)化，得到的結(jié)果如表3所示。

由表3可知，當(dāng)α值越大時(shí)，運(yùn)行時(shí)間評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重越大，得到的軌跡曲線，運(yùn)行時(shí)間就越短，但是前三個(gè)關(guān)節(jié)的脈動(dòng)總和就越大；相反的，當(dāng)β值越大時(shí)，脈動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重越大，得到的軌跡曲線，脈動(dòng)很小，但是運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。具體的，當(dāng)α從0.8降到0.5，再降到0.2，運(yùn)行時(shí)間從6.92s上升到9.57s，再上升到11.51s，分別上升了38.3%和66.3%；前三個(gè)關(guān)節(jié)的脈動(dòng)總和從507.51下降到238.49，再降到176.72，分別下降了53.0%和65.2%。

當(dāng)α為0.8、0.5、0.2時(shí)，對(duì)前三關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃進(jìn)行了仿真，仿真的結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 關(guān)節(jié)1軌跡規(guī)劃對(duì)比

圖2 關(guān)節(jié)2軌跡規(guī)劃對(duì)比

圖3 關(guān)節(jié)3軌跡規(guī)劃對(duì)比

在圖1、圖2、圖3中，各個(gè)關(guān)節(jié)的角速度、角加速度、角加加速度均在約束條件范圍內(nèi)；各個(gè)關(guān)節(jié)的啟停角速度均為0；各個(gè)關(guān)節(jié)的角位移、角速度、角加速度連續(xù)，而角加加速度存在數(shù)值突變的情況。當(dāng)α=0.8，β=0.2時(shí)，所得軌跡接近時(shí)間最優(yōu)軌跡，運(yùn)行時(shí)間短，脈動(dòng)大；當(dāng)α=0.5，β=0.5時(shí)，運(yùn)行時(shí)間和脈動(dòng)的權(quán)重相同，軌跡為同等考慮運(yùn)行時(shí)間和脈動(dòng)的軌跡；當(dāng)α=0.2，β=0.8時(shí)，所得軌跡接近脈動(dòng)最優(yōu)軌跡，運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)，脈動(dòng)小。

5 結(jié)論

本文運(yùn)用了三次B樣條曲線對(duì)機(jī)械手進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃，該方法保證了關(guān)節(jié)位移、速度、加速度的連續(xù)，克服了多項(xiàng)式插值法的只能進(jìn)行較少點(diǎn)之間插值的不足；采用加權(quán)系數(shù)法定義目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法求解滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件下的時(shí)間-脈動(dòng)軌跡，仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性；在實(shí)際生產(chǎn)的過程中，可根據(jù)應(yīng)用情況的不同，采用不同的加權(quán)因子和優(yōu)化策略，得到滿足生產(chǎn)要求的機(jī)械手優(yōu)化軌跡。

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