魏小華，徐文俊，徐雪雅

(1.衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 衢州 324000；2.杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

1 引 言

數(shù)字光處理(digital light procession，DLP)技術(shù)由于其靈活性，已應(yīng)用于非接觸式的光學(xué)測(cè)量來(lái)對(duì)待測(cè)物進(jìn)行三維的輪廓重建[1]。傳統(tǒng)DLP技術(shù)利用計(jì)算機(jī)生成正弦光柵進(jìn)一步發(fā)送到投影儀，由于它通常需要8位表示一個(gè)正弦光柵，測(cè)量速度通常限制在120 Hz(投影儀刷新頻率)[2];此外，由于大多數(shù)商用投影儀是非線性，在投影儀沒(méi)有非線性補(bǔ)償?shù)那闆r下，會(huì)引入額外的測(cè)量誤差，且電荷耦合器件(CCD)采集的光柵圖像不具備良好的正弦性[3]。為解決傳統(tǒng)DLP技術(shù)帶來(lái)的問(wèn)題，二值光柵離焦測(cè)量技術(shù)被提出[4]，它所能達(dá)到的測(cè)量速度及正弦性均進(jìn)一步提高[5]，由于投影儀接受的不是灰度圖而是二值圖像，當(dāng)投影儀處于離焦?fàn)顟B(tài)時(shí)，就可以投影出具備良好正弦性的光柵圖。然而，由于二值光柵存在高頻諧波，測(cè)量準(zhǔn)確性受到極大的影響。脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation，PWM)技術(shù)本質(zhì)上調(diào)節(jié)二進(jìn)制模式的高頻諧波，可以更容易得到抑制，或消除離焦，但是PWM技術(shù)往往適用于處理窄條紋的二值光柵，在光柵條紋較寬的條件下，結(jié)果不是很理想。基于面積編碼的二值化算法，李平平等[6]提出了進(jìn)一步的改進(jìn)，即在對(duì)二值化模板進(jìn)行填充時(shí)，用分散的、盡可能等間距的填充方法代替分塊的、非等間隔的填充方法，并將此光柵制作出來(lái)用于三維形貌測(cè)量。田紫霞等[7]利用誤差擴(kuò)散方法產(chǎn)生二元編碼正弦光柵，并針對(duì)該編碼正弦光柵較差的正弦性，提出了兩種改進(jìn)技術(shù)；Ayubi G A等[8]提出一個(gè)正弦條紋生成技術(shù)，即正弦脈寬調(diào)制(sinusoidal pulse width modulation，SPWM)，利用微離焦二進(jìn)制邊緣投影，鑒于使用現(xiàn)成的投影儀SPWM很容易實(shí)現(xiàn)，該方法可以克服投影儀的Gamma畸變效應(yīng)；Wang Y等[9]提出的二進(jìn)制離焦技術(shù)來(lái)人工紋理和細(xì)節(jié)丟失的問(wèn)題，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明相位誤差低于0.6%；Dai J F等[10]提出Bayer-dithering技術(shù)為可以大幅度提高3D測(cè)量質(zhì)量的二進(jìn)制離焦方法；文獻(xiàn)[11，12]分析了Floyd-steinberg dithering算法誤差擴(kuò)散非對(duì)稱性對(duì)離焦正弦結(jié)構(gòu)光投影誤差的影響，使用平行于條紋方向掃描的Floyd-steinberg dithering算法將使離焦結(jié)構(gòu)光圖像在不同離焦?fàn)顟B(tài)、不同相移步數(shù)情況下的相位提取結(jié)果更加一致、誤差更?。籊horayeb S R等[13]利用最優(yōu)脈寬調(diào)制(optimal pulse width modulation，OPWM)和基于Stucki抖動(dòng)算法來(lái)生成光柵條紋，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)三維輪廓測(cè)量，但Stucki誤差擴(kuò)散抖動(dòng)算法的計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜。

以上幾種方法雖能生成高質(zhì)量的正弦光柵條紋，但測(cè)量速度和精度仍有提高的空間。在三維輪廓測(cè)量過(guò)程中，光柵條紋的正弦性直接會(huì)影響相位測(cè)量的精度，因此，為降低高次諧波的影響、抑制投影儀非線性Gamma效應(yīng)及提高測(cè)量效率等，提出基于蛇形掃描的改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法，該算法既能夠顯著提高光柵的質(zhì)量，又具備更好的正弦性。同時(shí)，在投影儀處于微離焦?fàn)顟B(tài)下，與Bayer有序抖動(dòng)算法、Sierra抖動(dòng)算法和Floyd-Steinberg誤差擴(kuò)散抖動(dòng)算法等比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明：基于投影系統(tǒng)微離焦的改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法具備更好的適應(yīng)性，能夠更大程度地提高測(cè)量速度，降低相位誤差，提高光柵投影三維輪廓測(cè)量精度。

2 算法基本原理

2.1 相移算法

圖1 測(cè)量系統(tǒng)原理圖

圖1為測(cè)量系統(tǒng)原理圖。由投影儀投射出條紋圖案至待測(cè)物體表面，接著由CCD攝影系統(tǒng)獲取影像，而投影儀與CCD攝像系統(tǒng)中心距離為d，數(shù)字投影儀光心或攝像系統(tǒng)(CCD)光心到參考面距離l。由于光柵的條紋被凹凸不平的物體表面所調(diào)制，使得原本A點(diǎn)相位移動(dòng)到C點(diǎn)，相移值為φ(x，y)。設(shè)光柵頻率為f0，周期為p，則φ(x，y)=2πf0|AC|。由于受到光柵調(diào)制發(fā)生形變，以此方式擴(kuò)張成整個(gè)投影面則會(huì)發(fā)現(xiàn)原本的直條紋產(chǎn)生了扭曲，由CCD攝像系統(tǒng)獲取的變形光柵可寫為

I(x，y)=A(x，y)+B(x，y)cos[φ(x，y)+kπ/2]

(1)

式中：I(x，y)表示攝像機(jī)接收到的光強(qiáng)值；A(x，y)表示投射光場(chǎng)中緩慢變化的背景分量；B(x，y)表示條紋幅度；f0表示光柵條紋頻率；φ(x，y)是表示相位變化值；k表示第k幀條紋圖(k=0，l，…，k-1)，即光柵每次移動(dòng)1/k周期，條紋相位被移動(dòng)2π/k。假設(shè)光場(chǎng)分布為Ik(x，y)，用3個(gè)或者更多不同相移值光場(chǎng)分布條紋圖，求得物面上的相位分布[14]可表示為：

(2)

由式(2)計(jì)算獲取不連續(xù)的相位分布φ(x，y)，即±kπ(k=1，2，…)處不連續(xù)，使用去包裹算法[15]可以恢復(fù)原來(lái)連續(xù)分布相位φ(x，y)。根據(jù)相似三角形關(guān)系可得相位和高度的轉(zhuǎn)換式，來(lái)得到物體的三維輪廓，其高度計(jì)算式表示為

(3)

2.2 抖動(dòng)算法

圖像抖動(dòng)算法是將正弦光柵經(jīng)算法處理生成的二值抖動(dòng)光柵，二值抖動(dòng)光柵經(jīng)過(guò)投影儀離焦投射到被測(cè)物體表面，從而實(shí)現(xiàn)離焦光柵投影測(cè)量。誤差擴(kuò)散抖動(dòng)法的基本思想是將原始灰度圖像的當(dāng)前像素值與固定閾值相比較，一般情況下，選取最大灰度值的一半作為閾值，得到一個(gè)二值輸出，然后將輸入與輸出的像素值差以一定的方式擴(kuò)散到未經(jīng)處理的鄰近區(qū)域，圖2為誤差擴(kuò)散算法原理圖。圖2中，Q[*]表示閾值量化器；g(m，n)為原灰度圖像；e(m，n)為量化誤差，即u(m，n)-b(m，n)；w(k，l)為誤差擴(kuò)散系數(shù)，誤差擴(kuò)散算法所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為

(4)

圖2 誤差擴(kuò)散算法原理圖

根據(jù)閾值κ=128，將u(m，n)像素二值化，最終獲得抖動(dòng)圖像像素b(m，n)，即：

(5)

(6)

由上述公式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前像素量化誤差u(m，n)不僅由當(dāng)前位置輸入輸出像素值決定，同時(shí)也依賴于已處理區(qū)域像素對(duì)當(dāng)前像素的影響，誤差擴(kuò)散法實(shí)質(zhì)上也是一種基于區(qū)域的半色調(diào)算法，掃描順序(或掃描路徑)也是影響半色調(diào)圖像質(zhì)量一個(gè)因素，重復(fù)以上過(guò)程，逐行處理，最終獲取二值抖動(dòng)圖像。

2.3 改進(jìn)的抖動(dòng)算法

核函數(shù)w(k，l)是各種誤差擴(kuò)散中的關(guān)鍵參數(shù)及區(qū)別所在，它是誤差擴(kuò)散中最重要的參數(shù)。其中，對(duì)于Sierra抖動(dòng)算法，其核函數(shù)為

(7)

式中：“-”表示已處理過(guò)的像素；“*”表示當(dāng)前正在處理的像素；誤差擴(kuò)散核函數(shù)矩陣中右邊緊鄰像素獲得1/2的權(quán)重，正下方像素獲得1/4的權(quán)重，左下角像素獲得1/4的權(quán)重。

由于傳統(tǒng)的誤差擴(kuò)散為從左到右、從上往下計(jì)算，誤差在擴(kuò)散時(shí)會(huì)引起誤差累積，影響抖動(dòng)圖像的質(zhì)量。因此，本文提出一種改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法(簡(jiǎn)稱：改進(jìn)Sierra算法)，基于蛇形掃描，即奇數(shù)行從左向右掃描，偶數(shù)行從右向左掃描，則偶數(shù)行的誤差擴(kuò)散核函數(shù)為

(8)

式中：偶數(shù)行的誤差擴(kuò)散核函數(shù)矩陣中右邊緊鄰像素獲得1/2的權(quán)重，正下方像素獲得1/4的權(quán)重，右下角像素獲得1/4的權(quán)重。

采用改進(jìn)Sierra算法誤差擴(kuò)散過(guò)程如圖3所示，其中α、β和γ為誤差擴(kuò)散系數(shù)，即核函數(shù)中所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值α=1/4、β=1/4和γ=1/4。

圖3 蛇形掃描和誤差擴(kuò)散原理圖

通過(guò)理論分析可知，該算法避免將誤差傳遞給下一級(jí)周圍的像素，因此基于改進(jìn)算法的抖動(dòng)圖像具備更好的對(duì)稱性和更高的圖像質(zhì)量。為更清楚且直觀表達(dá)兩種抖動(dòng)算法的光柵圖，如圖4所示為基于Sierra誤差擴(kuò)散抖動(dòng)離焦前后光柵條紋圖，圖5給出了基于improved Sierra誤差擴(kuò)散抖動(dòng)離焦前后光柵條紋圖。

圖4 Sierra誤差擴(kuò)散抖動(dòng)條紋圖

圖5 Improved Sierra誤差擴(kuò)散抖動(dòng)條紋圖

為了進(jìn)一步描述4種抖動(dòng)算法生成光柵的正弦性，基于低通濾波器模擬微離焦投影，取微離焦光柵圖中的某一行，并且與標(biāo)準(zhǔn)的正弦光柵圖某行截面曲線進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知：Bayer抖動(dòng)生成正弦性較差，F(xiàn)loyd-steinberg和Sierra抖動(dòng)生成正弦與標(biāo)準(zhǔn)正弦有明顯偏差，而Improved Sierra抖動(dòng)生成正弦性最好，質(zhì)量較高。

圖6 正弦與標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線結(jié)果比較

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步分析Improved Sierra誤差擴(kuò)散抖動(dòng)算法在相位測(cè)量中的精度，與典型的3種誤差抖動(dòng)算法做比較。圖7所示為基于不同條件下的均方根(RMS)誤差比較結(jié)果。

圖7 基于不同條件下的RMS誤差比較

圖7(a)為不同相位移動(dòng)步數(shù)(S=3，4，5，…)誤差圖，周期T=50 pixel，高斯濾波器f=15 pixel，由該數(shù)據(jù)分析可知，4種算法的相位誤差隨步數(shù)增加，減少十分微弱，且誤差基本趨于穩(wěn)定，這是由于抖動(dòng)后的條紋具有相當(dāng)穩(wěn)定的正弦性；圖7(b)為不同條紋周期下的相位誤差比較圖，相移S=3，高斯濾波器f=15 pixel，4種算法的相位誤差隨著周期的增加而減少；圖7(c)和圖7(d)分別為不同離焦程度的相位誤差比較圖和不同離焦度亮度誤差比較圖，相移S=3步，周期T=50 pixel，可以看出，4種算法都在離焦度合適時(shí)才具備更小的相位誤差，且亮度誤差和相位誤差一致的。從圖7中的4幅圖可得出，與其它常用的有序抖動(dòng)算法相比，采用Improved Sierra誤差擴(kuò)散抖動(dòng)算法所獲得的正弦光柵條紋的相位誤差均小于其它3種誤差擴(kuò)散抖動(dòng)算法，Improved Sierra抖動(dòng)圖像的質(zhì)量更好，基于適度離焦?fàn)顟B(tài)，更加適合物體三維輪廓測(cè)量。

3 實(shí)驗(yàn)分析

該測(cè)量系統(tǒng)包括一個(gè)DLP投影儀和CCD(JaiPulnixtm-6740-cl)。相機(jī)連接于一個(gè)16 mm焦距像素鏡頭(Computar M1614-MP)。相機(jī)的分辨率640 pixel×480 pixel，和投影儀分辨率為800 pixel×600 pixel，投影距離為0.49 ～2.80 m，周期T=50 pixel，高斯濾波器f=15 pixel。以白板為參考平面，測(cè)量并計(jì)算相對(duì)相位誤差，由于在投影儀充分離焦?fàn)顟B(tài)下，二值化光柵和標(biāo)準(zhǔn)正弦光柵的投影效果趨于一致，因此實(shí)驗(yàn)基于投影儀輕微離焦?fàn)顟B(tài)。圖8為基于Improved Sierra離焦光柵測(cè)量結(jié)果，圖8(a)為相機(jī)采集到的周期為100 pixel的離焦投影圖；圖8(b)為包裹相位圖；圖8(c)為未去包裹的第220行相位圖；如圖8(d)為去包裹相位圖。由于微離焦的抖動(dòng)光柵正弦性更好，致使獲得更高質(zhì)量的相位。

圖8 基于Improved Sierra離焦光柵測(cè)量結(jié)果

同時(shí)，在投影儀離焦程度較低的情況下，測(cè)量并計(jì)算了Improved Sierra抖動(dòng)算法生成的不同周期光柵的相位誤差，與Bayer、Floyd-steinberg、Sierra等幾種算法進(jìn)行了比較[16～18]，如圖9所示?？梢钥闯?，該實(shí)驗(yàn)與理論分析結(jié)果相一致，改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法無(wú)論在條紋周期較小還是條紋周期較大的時(shí)刻均可以保持較低的相位誤差。

為了進(jìn)一步計(jì)算相對(duì)相位誤差，利用該實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)曲面更加復(fù)雜的心形石膏模型進(jìn)行三維重建，調(diào)整投影儀處于輕微離焦?fàn)顟B(tài)，分別使用典型Bayer、Floyd-steinberg、Sierra及Improved Sierra抖動(dòng)光柵進(jìn)行三維重建結(jié)果，如圖10所示。

圖9 不同周期下的相位誤差比較

圖10 基于微離焦投影技術(shù)的三維重建結(jié)果

采用RMS誤差σ來(lái)評(píng)判測(cè)量精度：

(9)

式中：Hr(x，y)為三坐標(biāo)測(cè)量的真值；Hm(x，y)為觀測(cè)值；m為觀測(cè)數(shù)。

采集圖10中4種方法獲取的三維物體第160～167行數(shù)據(jù)，計(jì)算σ如表1所示，抽取觀測(cè)數(shù)m=50，本文提出基于蛇形掃描改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法的σ總體略小于其它算法；實(shí)驗(yàn)表明該算法具有較高的測(cè)量精度。

表1 4種算法的σ比較

Tab.1 Comparison ofσusing four kinds of algorithms mm

組別BayerFloyd-steinbergSierraImprovedSierra10.02790.01560.01520.014120.03850.02270.01970.017530.02960.01290.01130.010940.03270.02240.01930.012150.02280.02190.01530.013760.02060.02450.01430.015870.02270.01240.01930.002180.02630.02190.02820.0164

表2為4種算法的運(yùn)算時(shí)間比較，Improved Sierra抖動(dòng)算法與其它3種算法比較，運(yùn)行速度最快。

表2 4種算法的運(yùn)算時(shí)間比較

Tab.2 Comparison of operation time of 4 algorithms s

序號(hào)算法時(shí)間1Bayer4.2382Floyd-steinberg3.9073Sierra2.9364改進(jìn)Sierra2.715

4 結(jié) 論

本文提出基于蛇形掃描改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法獲取的投影光柵，能夠顯著提高光柵的質(zhì)量，具有更好的正弦性。在投影儀適度離焦時(shí)，與Bayer有序抖動(dòng)算法、Sierra抖動(dòng)算法和Floyd-steinberg誤差擴(kuò)散抖動(dòng)算法相比，仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明：基于微離焦投影的改進(jìn)Sierra抖動(dòng)算法具備更好的適應(yīng)性，抖動(dòng)光柵由于不受非線性影響，既能保持相移輪廓術(shù)至少需要3幅畸變光柵就可以獲取相位的特點(diǎn)，且降低了誤差，運(yùn)算速度快，從而改善光柵投影三維輪廓測(cè)量精度。