金 濤，唐一揆，樂燕芬，劉芳芳，雷李華

(1.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093；2.上海市計量測試技術研究院，上海 201203)

1 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)技術的不斷進步，工業(yè)加工制造業(yè)和科學研究對精密測量的要求越來越高，眾多測量物理量中，長度是最基本的測量對象之一。激光干涉由于測量分辨力高，測量結果可直接溯源被廣泛應用到長度相關的測量中[1]。然而，無論雙頻干涉儀還是單頻干涉儀均存在非線性誤差[2，3]。該誤差限制了干涉儀的測量精度，因此對非線性誤差修正和補償是激光干涉儀研究的重點和熱點。

單頻激光干涉儀非線性誤差修正的方法有很多，其中研究最多的是基于正交干涉信號的相位補償法。1981年，Heydemann首次提出了正交干涉信號的相位誤差修正模型[4]，使用最小二乘法的非線性擬合方式消除非線性誤差;Wu和Eom對單頻干涉儀非線性誤差進行了詳細的分析，非線性誤差是由光源和光學元件的性能以及干涉儀調(diào)整誤差等原因引起，反應到信號中即為干涉信號幅度不等、相位非正交和直流偏移引起的相位計算的誤差[5];黎永前等提出了混頻諧波分析法，對兩路干涉信號進行諧波分析得到幅度比、相位差和直流偏置并進行非線性誤差修正,該方法精度高，數(shù)學運算相對復雜[6～8];盧明臻等提出了一種諧波分離的修正方法，在最小二乘法的基礎上，引入了傅里葉級數(shù)，進一步消除了非線性誤差中的各種諧波成分[9];胡紅波等通過對直流與幅度整形操作基本消除幅度不一致與零漂兩個參數(shù)的影響，再通過最小二乘法實現(xiàn)對正交干涉信號非線性誤差進行修正[10，11];胡鵬程等人用渥拉斯特棱角巧妙地抑制了由于消光比引入的偏振態(tài)混疊，并通過兩兩相互正交的信號的四路干涉信號實現(xiàn)任意直流偏置情況下的非線性修正[12];K?ning等為解決最小二乘法Heydemann修正無法評估修正誤差問題，提出了基于幾何距離最小的正交干涉相位補償方法[13]。

本文研究了幾何距離的計算模型，利用英國國家物理實驗室(NPL)的Jamin干涉儀和德國PI(S-310k002)的納米位移臺搭建了驗證性實驗。所用Jamin干涉儀通過X-ray干涉儀標定后非線性誤差最大不高于800 pm，最小可以達到40 pm[14]。通過與Jamin干涉儀和納米位移臺的電容式傳感器的位移進行比較，實驗結果顯示，基于幾何距離最小的修正算法的修正精度高于NPL的Jamin干涉儀的解算結果。

2 Jamin干涉儀測量原理

Jamin差分平面鏡干涉儀(DPMI)由偏振分光板(PSP)、偏振分光棱鏡(PBS)、1/4波片、直角棱鏡和反光鏡組成，其光路結構如圖1所示。

圖1 基于差分平面鏡的Jamin干涉儀測量光路結構圖

氦氖激光器發(fā)出的線偏振光(P光)射入PSP，經(jīng)過鍍在PSP表面反射透射率為50%的半反膜后，被分為能量相同的兩束光線。一束光(圖中用實線表示)直接透射通過PSP表面的分光膜，另一束光(圖中用虛線表示)經(jīng)兩次反射后從另一光路透射出PSP。這兩束P光射入PBS后，直接透射通過偏振分光膜，在兩次通過1/4波片后，振動方向改變了90°，偏振態(tài)發(fā)生改變，由P光轉變?yōu)镾光，并由反射鏡原路反射回PBS，S光被偏振分光膜反射，垂直入射直角棱鏡，經(jīng)兩個直角面反射后，射向偏振分光膜并被反射。兩束S光，再次通過1/4波片和反射鏡，偏振態(tài)發(fā)生改變，轉變回P光，并射回PSP，鍍在PSP表面的偏振膜將引入90°的相位差，得到光強相近的正弦和余弦干涉信號，兩個光電探測器分別接收探測正弦和余弦信號。這兩路信號經(jīng)過信號處理后用于位移測量和非線性誤差修正?；诓罘制矫骁R結構的Jamin干涉儀具有結構緊湊、共光路、光學分辨率高的特點。

3 基于幾何距離的Heydemann修正

如圖1所示，光電探測器接收到的相位相差90°的兩路干涉信息，其數(shù)學表達式可以定義為：

x(t)=α0+α1cosφ(t)+εx

y(t)=β0+β1sin[φ(t)+φ0]+εy

(1)

式中：α0和β0為橢圓中心坐標；α1和β1為信號的振幅；εx和εy為滿足高斯分布且相互獨立的隨機噪聲，其數(shù)學期望為0；φ0表示初始相位；φ(t)是由于光程變化(當被測物體移動時)引起的相位變化。通過式(1)可計算出φ(t)如式(2)所示：

(2)

顯然，為了計算φ,需要確定式(2)中的5個參數(shù)α0，α1，β0，β1，φ0。根據(jù)經(jīng)典的Heydemann修正理論模型[4]，將相互正交的兩路信號分別作為X和Y可以繪制出一個圓或橢圓。輸入至示波器的將橢圓軌跡方程表示為：

F(x，y;γ)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F

γ=(A，B，C，D，E，F(xiàn))

(3)

式中：γ=(A，B，C，D，E，F(xiàn))為橢圓參數(shù)矢量。在此模型上改進的幾何距離最小化計算理論模型，能夠引入更多參數(shù)信息，因此可以進一步提高測量精度，實現(xiàn)高效穩(wěn)定的測量目的。忽略測量誤差和干擾因素的影響，式(1)可以簡化為[14]：

μs=α0+α1cosφ

νs=β0+β1sin(φ+φ0)

(4)

式中：μs和νs表示理想條件下的正交干涉信號。同理，式(3)也可轉化為：

(5)

李薩如圖形受2n+5個參數(shù)的非線性約束，因此需要對參數(shù)的計算進一步簡化，從而使計算步驟更加高效，其簡化結果如下：

(6)

一旦橢圓參數(shù)矢量θ=(B，C，D，F(xiàn)，G)確定，那么將式(6)中的5個參數(shù)代入到式(2)中，即可推算得出干涉相位φ的值。

以預估參數(shù)μ0，ν0，θ0的一階泰勒展開式為條件，線性化非線性約束條件Bθ+b=0，可以得到：

Bθ+b=A0(

μΔ

νΔ

)+B0θΔ+c0

A0=[Diag((0?ν0?1?0?0)θ0+2μ0)?

Diag((2ν0?μ0?0?1?0)θ0)]

μΔ=μ-μ0，νΔ=ν-ν0，θΔ=θ-θ0，

(7)

(8)

(9)

式中：Qxy，0表示矩陣Q0第x行第y列的分塊矩陣。之后，進行幾何距離最小化的循環(huán)迭代算法[15]，具體步驟如下：

(1)設置初始值

(2)判別收斂性

檢驗收斂性判別依據(jù)是否成立：crit<εtol或k≥kmax，若成立，則終止迭代算法，反之，則進入步驟3。

(3)線性化

(10)

(4)預估參數(shù)值

由式(7)所得的線性化約束條件Bθ+b=0，建立含線性約束的一階近似線性回歸模型，作為迭代修正估值的約束條件，如式(11)所示：

(11)

式中：xΔ=x-μ0，yΔ=y-ν0，再根據(jù)式(7)與式(10)，對信號參數(shù)值進行迭代估值：

(12)

(5)更新判別函數(shù)值

(13)

更新迭代次數(shù)k=k+1，并重新回到步驟(2)進行計算處理。

最終，當?shù)Y束時，該算法將輸出信號參數(shù)的預估值，如式(14)所示：

(14)

通過計算得到式(14)中3個信號參數(shù)的預估值，即可得到橢圓參數(shù)矢量θ=(B，C，D，F(xiàn)，G)的確定值，代入式(2)中后，計算得到相應的干涉相位φ，從而實現(xiàn)相位的修正與李薩如圖形的擬合。

4 實驗結果與分析

在壓電陶瓷驅動電壓為1、2、5 V時，分別采集了Jamin干涉儀輸出的相應的正交干涉信號。

根據(jù)改進后的基于幾何距離最小化的Heydemann修正計算理論模型，在Matlab中對該修正模型的數(shù)學算法進行仿真實驗，并對二次曲線進行平滑處理，得到了修正后的圖形。

圖2(a)顯示了驅動電壓為1 V時采集的李薩如圖形、本文修正算法修正的干涉圓和Jamin干涉儀修正的干涉圓。修正后的干涉圓與Jamin干涉儀的干涉圓幾乎重合，結果相近。

圖2(b)表示了兩種方法修正后的干涉圓的半徑偏差。該偏差為周期變化，表明了兩種修正算法在所有點的修正結果不完全相同，偏差的平均值為3.41 mV，約占干涉儀圓半徑的3‰，偏差的峰-峰值約為0.1 mV，僅為干涉儀半徑的萬分之一。

圖2 修正李薩如圖形及解相后擬合相位(1 V)

說明兩種修正算法得到的干涉圓非常接近，驗證了修正算法的有效性。由于正切函數(shù)在其每個周期節(jié)點[-π/2，π/2]會產(chǎn)生跳變，在進行反正切計算后將導致擬合相位函數(shù)變?yōu)殚g斷函數(shù)，因此需要對擬合相位進行解相，使其由間斷函數(shù)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)，解相后的擬合相位結果如圖2(c)所示。

圖3是驅動電壓為1、2、5 V條件下的修正位移-理論位移圖，用以校準修正后位移的精確度，驗證幾何距離最小化計算模型下的修正準確性與穩(wěn)定性。采樣點數(shù)同為401個，位移臺往返運動1次，位移臺位移行程隨電壓增大而增大，通過計算不同位移行程下的修正后位移-電壓函數(shù)斜率，能夠發(fā)現(xiàn)，這些一次函數(shù)的斜率幾乎相同，約為-1.000 0，同樣的，不同位移行程下的修正位移-Jamin干涉儀解算位移曲線的斜率也看作幾乎相等。說明基于幾何距離最小化計算模型的擬合結果能夠保證較高的測量精度，可適應納米級別的測量需求，且算法表現(xiàn)出有較強的適用性與穩(wěn)定性。

圖3 擬合位移校準圖

修正后位移曲線的擬合優(yōu)度分析如表1所示。由于壓電陶瓷存在遲滯效應，因此應分別計算位移臺去程與回程時的相關參數(shù)。

結果表明，擬合優(yōu)度與Jamin干涉儀數(shù)據(jù)基本相同。在1、2、5 V這3種不同電壓條件時，相同去回程下的修正后位移曲線與Jamin干涉儀解算結果曲線的斜率偏差為1×10-3，去程與回程的修正后位移曲線的決定系數(shù)R2基本保持穩(wěn)定，近似約等于1，且其標準差較小，顯示出修正算法的穩(wěn)定性較強，擬合優(yōu)度較好[15，16]。

表1 修正后的位移曲線擬合優(yōu)度檢驗表

為了進一步驗證修正結果的準確性，可根據(jù)電容式傳感器的靈敏系數(shù)與電壓值，換算得出相同條件下納米位移臺的理論位移量，繪制出修正后位移、Jamin干涉儀與納米位移臺電容式傳感器理論位移值的殘差曲線圖，如圖4所示。

圖4 修正位移和Jamin干涉儀與電容式傳感器殘差對比圖

由圖4中的曲線對比可知，經(jīng)基于幾何距離最小化的Heydemann修正算法修正后的位移曲線更接近位移臺的理論位移量，其修正精度高于基于代數(shù)距離最小化的Heydemann修正算法(NPL)。本文算法的修正位移與電容式傳感器理論位移的平均殘差如表2所示。電壓為1、2、5 V時，使用本文提出的基于幾何距離最小化的Heydemann算法修正后的位移值與電容式傳感器理論位移曲線的平均位移殘差分別為0.067、0.324、4.360 nm，同時，將修正后位移與Jamin干涉儀解算結果進行對比，可以發(fā)現(xiàn)，相同條件下，Jamin干涉儀解算結果的殘差較大，電壓為1、2、5 V時的平均位移殘差分別約為0.591、0.410、7.340 nm。以上對比結果可以說明，經(jīng)本文算法修正后的位移值較Jamin干涉儀解算算法具有更高的修正精度，其修正結果準確可靠。

表2 與電容式傳感器理論位移的平均殘差

5 結 論

本文針對單頻激光干涉儀在位移測量中所存在的非線性誤差問題，研究了一種基于幾何距離最小化的Heydemann修正數(shù)學理論模型；利用Jamin干涉儀采集了不同位移行程下的正余弦信號數(shù)據(jù)，并使用Matlab對修正算法的數(shù)學理論模型進行了實驗仿真；通過解相，得到了修正后的相位值與位移值，并將修正后的位移與NPL所使用的Jamin干涉儀解算結果進行了詳盡的數(shù)據(jù)對比，完成了修正算法的驗證實驗。實驗結果表明，在不同電壓驅動情況下，采用幾何距離最小化的修正算法計算得到的位移與納米位移臺電容式傳感器理論位移量的平均殘差均優(yōu)于Jamin干涉儀修正結果，且修正位移擬合曲線的擬合優(yōu)度高，標準差較小，決定系數(shù)約等于1，驗證了算法模型的修正精度。