寧林飛, 李美求, 羅競波

(長江大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動研究所，荊州 434023)

隨著航空航天、機(jī)器人工業(yè)、石油鉆井以及交通運(yùn)輸?shù)裙I(yè)領(lǐng)域的高速發(fā)展，工業(yè)領(lǐng)域?qū)铨X傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸、承載能力、傳動效率、傳動比范圍提出了更高的要求[1-2]。目前，中外學(xué)者針對活齒傳動機(jī)構(gòu)的傳動性能[3-6]、強(qiáng)度計(jì)算[7-9]、模態(tài)分析[10-12]、力學(xué)特性[13-15]及動力學(xué)仿真[16-17]等方面進(jìn)行了深入的研究。

其中，韓國學(xué)者Nam等[5]為機(jī)器人設(shè)計(jì)了一種球齒薄板減速器，通過分布在凹槽中的兩排滾珠來降低減速器工作過程中的壓應(yīng)力，從而提高機(jī)器人的工作性能。李沖等[11]設(shè)計(jì)了一種大傳動比微型活齒傳動機(jī)構(gòu)，兼顧考慮了嚙合齒數(shù)變化引起的非線性效應(yīng)，建立了活齒傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程。曹富林等[14]根據(jù)半無窮空間理論，應(yīng)用范德華勢函數(shù)，推導(dǎo)出活齒受范德華力的公式，建立了微型集成活齒傳動系統(tǒng)中任一活齒不同嚙合位置處的靜力學(xué)方程。袁新梅等[15]研究了圓柱正弦活齒傳動中主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對嚙合副接觸力的影響，總結(jié)出嚙合副接觸力大小和周期的變化規(guī)律。

上述研究成果不僅豐富了活齒減速器的類型，而且進(jìn)一步完善了活齒傳動機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論體系，拓寬了活齒傳動機(jī)構(gòu)在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用范圍。然而，關(guān)于平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)接觸力影響因素的研究卻很少，使其在石油鉆井行業(yè)中的應(yīng)用缺少科學(xué)的理論依據(jù)。因此，以鋼球接觸力的影響因素為研究對象，建立力學(xué)模型，采用控制變量的方法，研究平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸力特性的影響，并以此為基礎(chǔ)歸納出平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)遵循的規(guī)律。

1 平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)受力分析

平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)的主要零部件有殼體、主動圓盤、保持架、從動圓盤以及鋼球等，如圖1所示。主動圓盤與從動圓盤在沿圓周方向上分布著平面正弦曲線槽。鋼球活動槽均勻地分布在保持架上，并且處于主動圓盤與從動圓盤兩個平面正弦曲線槽的交匯處。由于活動槽在保持架上均勻排布，每個活動槽中鋼球的運(yùn)動學(xué)特性和力學(xué)特性完全相同，因此分析該傳動機(jī)構(gòu)的受力情況時可取任一活動槽中的鋼球?yàn)檠芯繉ο蟆?/p>

圖1 平面正弦鋼球減速器結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 鋼球受力分析平衡方程

鋼球局部坐標(biāo)系為(O，i，j，k)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O為鋼球的球心，i、j、k軸分別代表鋼球運(yùn)動的軸向、周向及徑向。鋼球運(yùn)動過程中處于動平衡狀態(tài)，受力如圖2所示，根據(jù)各個力的空間平衡關(guān)系有[13]：

F3cosα2-F1cosα1=0

(1)

F3sinα2cosμ2-F1sinα1cosμ1-F2=0

(2)

F3sinα2sinμ2-F1sinα1sinμ1-Fc=0

(3)

式中：F1為主動圓盤的正弦軌道對鋼球的接觸力；F2為保持架的活動槽對鋼球的接觸力；F3為從動圓盤的正弦軌道對鋼球的接觸力；α1、α2分別為F1、F3與坐標(biāo)軸i的夾角；μ1、μ2分別為F1、F3在鋼球坐標(biāo)系jOk平面上的投影與周向的夾角；Fc為鋼球的慣性力。

圖2 鋼球受力分析圖

主動圓盤、從動圓盤與鋼球的嚙合方程為

(4)

(5)

式中：A為正弦曲線振幅；R為法線圓半徑；主動圓盤上的平面正弦曲線槽周期N1；從動圓盤上的平面正弦曲線槽周期N2；φ1為主動圓盤相對于固定保持架的轉(zhuǎn)動角度；φ2為從動圓盤相對于固定保持架的轉(zhuǎn)動角度。

1.2 變形協(xié)調(diào)方程和幾何方程

假設(shè)鋼球與主動圓盤、從動圓盤、保持架這三者之間均為彈性小變形范圍的接觸，可建立出如下變形協(xié)調(diào)方程：

(6)

式(6)中：T為從動圓盤的負(fù)載力矩。

同時，鋼球在運(yùn)動過程中滿足如下幾何關(guān)系：

(ro-r)cosα1+(ro-r)cosα2+2r=H

(7)

式(7)中：ro為主動圓盤及從動圓盤的正弦軌道截面圓半徑；r為鋼球半徑；H為主動圓盤正弦軌道最低點(diǎn)到從動圓盤正弦軌道最低點(diǎn)之間的垂直距離。

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸力影響分析

在平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，為了確保設(shè)計(jì)出科學(xué)合理和優(yōu)化可靠的傳動機(jī)構(gòu)，有必要研究平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)中鋼球接觸力的變化規(guī)律。將實(shí)際應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)與力學(xué)理論相結(jié)合，可得出如下研究準(zhǔn)則。

為了便于加工制造，取主動圓盤上的平面正弦曲線槽周期N1=1，因此只需要考慮從動圓盤上的平面正弦曲線槽周期N2對傳動機(jī)構(gòu)接觸力的影響；正弦曲線振幅A、平面正弦曲線槽周期N2、法線圓半徑R以及正弦軌道截面圓半徑ro不僅決定了平面正弦鋼球減速器結(jié)構(gòu)的緊湊性和加工工藝的復(fù)雜程度，而且還對主動圓盤的正弦軌道對鋼球的接觸力F1、保持架的活動槽對鋼球的接觸力F2及從動圓盤的正弦軌道對鋼球的接觸力F3的數(shù)值大小和變化特性有著顯著地影響；慣性力Fc數(shù)值很小，幾乎不影響實(shí)際工程問題，可忽略A、N2、R及ro對慣性力Fc的影響。因此，可初步確定以A、N2、R及ro為主要研究對象，分析其對接觸力Fi(i=1，2，3)的影響因素。

采用控制變量的方法，研究參數(shù)A、N2、R及ro單獨(dú)變化時對接觸力Fi(i=1，2，3)的影響規(guī)律，接觸力的數(shù)值求解可在MATLAB中使用Newton-Ra-phson迭代的方法得以實(shí)現(xiàn)。A、N2、R及ro在3個水平上的取值與原始數(shù)據(jù)取值如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)與取值

2.1 正弦曲線振幅A對接觸力的影響

正弦曲線振幅A不僅影響接觸力的曲線特性而且還決定該機(jī)構(gòu)的徑向幾何尺寸。根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)A一般不能低于3.5 mm，而A超過6.5 mm時，會極大地影響接觸力F1的特性，不利于鋼球在活動槽中的平穩(wěn)運(yùn)動。因此，A分別取為4.5、5.5、6.5 mm，繪制出如圖3所示的接觸力隨主動圓盤轉(zhuǎn)角φ1的變化曲線。

由圖3可知，隨著正弦曲線振幅A的增大，接觸力Fi(i=1，2，3)隨之增大；當(dāng)A=6.5 mm時，接觸力F1的曲線特性發(fā)生改變，在波峰處出現(xiàn)畸形；接觸力Fi(i=1，2，3)的最小值Fi，min均為0且不隨A的值發(fā)生變化。

N2=4，R=23.5 mm，ro=5.4 mm

2.2 平面正弦曲線槽周期N2對接觸力的影響

平面正弦曲線槽周期N1、N2是該機(jī)構(gòu)中的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)，決定了機(jī)構(gòu)的傳動比和鋼球活動槽的數(shù)量。當(dāng)N2取值過小時，傳動機(jī)構(gòu)的傳動比較小；當(dāng)N2取值過大時，會加大主動圓盤與從動圓盤加工時的切削量，從而降低傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。根據(jù)平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，N2可取3、4、5，繪制出如圖4所示的接觸力隨主動圓盤轉(zhuǎn)角φ1的變化曲線。

由圖4可知，隨著平面正弦曲線槽周期N2的增大，接觸力Fi(i=1，2，3)也隨之增大且周期不發(fā)生改變；當(dāng)N2分別為3、4、5時，與之相對應(yīng)的傳動比n為3、4、5，這就意味著增大傳動機(jī)構(gòu)的傳動比會導(dǎo)致接觸力的增大。

A=4.5 mm，R=23.5 mm，ro=5.4 mm

2.3 法線圓半徑R對接觸力的影響

法線圓半徑R決定了活動槽在徑向方向的分布位置，從而影響了該機(jī)構(gòu)徑向幾何尺寸的大小。由于平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)用于小井眼鉆井作業(yè)中，其結(jié)構(gòu)的公稱外徑不能過大，并且一定要小于井壁內(nèi)徑；同時，適當(dāng)?shù)丶哟蠓ň€圓半徑R有利于降低接觸力Fi(i=1，2，3)的值。所以，根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)R分別取為22.5、23.5、24.5 mm，繪制出如圖5所示的接觸力隨主動圓盤轉(zhuǎn)角φ1的變化曲線。

A=4.5 mm，N2=4，ro=5.4 mm

由圖5可知，隨著法線圓半徑R的增大，接觸力Fi(i=1，2，3)隨之減小，但減少幅度很??；接觸力曲線特性幾乎不發(fā)生變化，只是在波峰附近有略微的差異。

2.4 正弦軌道截面圓半徑ro對接觸力的影響

正弦軌道截面圓半徑ro決定了鋼球沿周向方向的運(yùn)動狀態(tài)和接觸力與坐標(biāo)軸的夾角，從而在一定程度上影響了接觸力的曲線特性。由于鋼球半徑為5 mm，正弦軌道截面圓半徑ro必須大于鋼球半徑，又考慮到ro的微小變化對機(jī)構(gòu)與接觸力在周向以及徑向方向上的夾角影響甚大。所以，ro分別取為5.4、5.9、6.4 mm。當(dāng)ro分別為5.4、5.9、6.4 mm 時，繪制出如圖6所示的接觸力隨主動圓盤轉(zhuǎn)角φ1的變化曲線。

A=4.5 mm，N2=4，R=23.5 mm

由圖6可知，正弦軌道截面圓半徑ro由 5.4 mm 增大到5.9 mm時，F(xiàn)1和F3的值均有所減少，當(dāng)ro由5.9 mm增大到6.4 mm時，F(xiàn)1和F3幾乎不發(fā)生改變；F2的值與正弦軌道截面圓半徑ro的變化無關(guān)。

為了便于直觀研究接觸力數(shù)值大小的變化情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出接觸力Fi,max(i=1，2，3)在不同參數(shù)水平下的值，其結(jié)果如表2所示。比較上述4項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸力Fi(i=1，2，3)的影響，可以發(fā)現(xiàn)鋼球接觸力存在以下規(guī)律。

曲線槽周期N2對接觸力的影響最為顯著，正弦曲線振幅A、正弦軌道截面圓半徑ro及法線圓半徑R次之，且均不影響接觸力周期的變化。接觸力隨著正弦曲線振幅A和曲線槽周期N2的增大而增大，隨著法線圓半徑R的增大而減??；F1和F3隨著正弦軌道截面圓半徑ro的增大而減小，F(xiàn)2不隨之變化。

表2 不同參數(shù)水平下的接觸力Fi，max

適當(dāng)降低A可以減小活動槽鋼球接觸力的大小，但是為了確保機(jī)構(gòu)的傳動特性和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度一般取A≥4.5 mm。在確定傳動比n的前提下，取N1=1，N2越小接觸力越小，并且活動槽的數(shù)量也越少，從而提高了保持架的剛度。法線圓半徑R的值對接觸力大小影響最小，增大R雖然可以降低接觸力的值；當(dāng)R由22.5 mm增大到23.5 mm以及由 23.5 mm 增大到24.5 mm時，其接觸力Fi，max(i=1，2，3)的變化量均為超過6%。增大正弦軌道截面圓半徑ro會加大鋼球與活動槽之間的間隙，不利于鋼球在曲線槽中平穩(wěn)運(yùn)動，由于F2是活動槽對鋼球沿周向方向上的力，所以F2不受ro的影響；ro由5.4 mm 增大到5.9 mm時接觸力F1,max和F3,max分別降低了13.3%和9.3%，但是當(dāng)ro由5.9 mm增大到 6.4 mm 時接觸力F1,max和F3,max的變化量均未超過2%。

為了有效地降低接觸力的值，確保機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定傳動。將上述分析結(jié)果與原始數(shù)據(jù)做比對，可得出如下所示的結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)：A=4.5 mm，N2=3、4、5，R=22.5 mm,ro=5.9 mm。

3 結(jié)論

(1)總結(jié)出鋼球接觸力曲線特性和數(shù)值大小隨4項(xiàng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)單獨(dú)改變時的變化規(guī)律。

(2)在原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上得出一組結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)，有效地降低了鋼球接觸力的值，從而提高了該機(jī)構(gòu)的傳動性能。

(3)綜合分析鋼球接觸力曲線特性的變化規(guī)律，歸納出平面正弦鋼球傳動機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面應(yīng)當(dāng)遵循的一般設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。