闕仁波 （廈門(mén)大學(xué)嘉庚學(xué)院土木工程分院，福建 漳州 363105）

0 前言

矩-面積第一定理和第二定理是直接從梁的撓曲線近似微分方程出發(fā)，將積分表達(dá)式從梁的撓曲線幾何性質(zhì)角度進(jìn)行解釋?zhuān)瑥亩郧髲澗貓D面積和面積矩來(lái)代替直接求積分而求解兩截面間由于彎曲所引起的相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)撓度的方法。若兩截面中其中一個(gè)的絕對(duì)轉(zhuǎn)角或絕對(duì)撓度為已知，則可以之為參考點(diǎn)，其絕對(duì)轉(zhuǎn)角和絕對(duì)撓度為兩截面之間的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體平動(dòng)，容易求得由它們所引起的、待求截面處的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)，再疊加上相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)撓度，即可得待求截面處的絕對(duì)轉(zhuǎn)角和絕對(duì)撓度[1-4]。

位移法以結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移為基本未知量，求解可得結(jié)點(diǎn)角位移、結(jié)點(diǎn)線位移、彎矩和彎矩圖[5]。

結(jié)合矩-面積定理和位移法的特點(diǎn)，本文將兩者聯(lián)合應(yīng)用，以位移已通過(guò)位移法求解得到的結(jié)點(diǎn)作為參考點(diǎn)，利用已通過(guò)位移法求解得到的彎矩圖，采用矩—面積定理求得兩結(jié)點(diǎn)之間指定點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)撓度，再由參考點(diǎn)處的角位移和垂直于桿軸向的結(jié)點(diǎn)線位移，即可求得指定點(diǎn)處的角位移和垂直于桿軸向的線位移。

1 矩-面積定理簡(jiǎn)介

1.1 矩—面積第一定理[1-4]

光滑連續(xù)彈性撓曲線上任意兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)角之差，等于M/（EI）圖中這兩點(diǎn)間曲線所圍的面積。

如圖 1（a）和（b）所示：

其中AAB表示M/（EI）圖中AB段的面積，它前面的負(fù)號(hào)表示正的彎矩面積將引起兩點(diǎn)間產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较虻南鄬?duì)轉(zhuǎn)角，即B點(diǎn)切線相對(duì)于A點(diǎn)切線逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2 矩—面積第二定理[1-4]

光滑連續(xù)彈性撓曲線上B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)切線的偏移量tB/A，等于M/（EI）圖中A、B兩點(diǎn)間曲線所圍的面積對(duì)過(guò)B點(diǎn)鉛垂線的靜矩。

如圖 1（a）和（b）所示：

為研究問(wèn)題的方便，對(duì)圖1中的坐標(biāo)系作如下規(guī)定：從A點(diǎn)到B點(diǎn)為x軸正向，按右手螺旋法則，從x軸正向順時(shí)針轉(zhuǎn)90°為軸正向。按此規(guī)定，以后只需將y軸正向用箭頭指示出來(lái)即可知道其坐標(biāo)系的規(guī)定，如圖1（c）所示。

圖1 撓曲線、圖和坐標(biāo)系的規(guī)定

2 矩-面積定理與位移法的聯(lián)合應(yīng)用

根據(jù)前述的正負(fù)號(hào)的規(guī)定，由圖1（a）可得：

由式（3）～（4）可知，若已知參考點(diǎn)處的θA和ωA，則可進(jìn)一步通過(guò)式（3）～（4）求得點(diǎn)處的絕對(duì)轉(zhuǎn)角和絕對(duì)撓度。

若以位移已通過(guò)位移法求解得到的結(jié)點(diǎn)作為參考點(diǎn)，利用已通過(guò)位移法求解得到的彎矩圖，采用矩-面積定理求得兩結(jié)點(diǎn)之間指定點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)撓度，如式（1）和（2）所示；再由參考點(diǎn)處的角位移和垂直于桿軸向的結(jié)點(diǎn)線位移，即可求得指定點(diǎn)處的角位移和垂直于桿軸向的線位移，如式（3）和（4）所示。

上述即本文的主要思想，下面通過(guò)示例來(lái)給予說(shuō)明。

3 示例

3.1 例1

解：規(guī)定AC段的坐標(biāo)系如圖2（c）所示。

圖2 例1的受力圖、彎矩圖和坐標(biāo)系的規(guī)定

圖2 例1的受力圖、彎矩圖和坐標(biāo)系的規(guī)定

①以AD段為研究對(duì)象，由矩—面積定理可得：

②以段BE為研究對(duì)象，由矩—面積定理可得：

3.2 例2

圖3 例2的受力圖、彎矩圖和坐標(biāo)系的規(guī)定

解：規(guī)定GB段的坐標(biāo)系如圖3（c）所示。

以GB段為研究對(duì)象，由矩—面積定理可得：

4 結(jié)語(yǔ)

①將矩-面積定理與位移法聯(lián)合應(yīng)用于超靜定結(jié)構(gòu)，以求解兩結(jié)點(diǎn)之間指定點(diǎn)處的角位移和線位移。

②在通過(guò)位移法求解得到結(jié)點(diǎn)角位移、結(jié)點(diǎn)線位移和彎矩圖的情況下，以角位移和線位移已知的點(diǎn)作為參考點(diǎn)，采用矩-面積第一定理和第二定理，由彎矩圖求得兩結(jié)點(diǎn)之間指定點(diǎn)處相對(duì)于參考點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)撓度，再由參考點(diǎn)處的角位移和垂直于桿軸向的結(jié)點(diǎn)線位移，即可求得指定點(diǎn)處的角位移和垂直于桿軸向的線位移。

③由示例可見(jiàn)，該方法簡(jiǎn)單易行。