劉國峰，廖 燁，李 康，周文峰

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

近年來無線擴頻通信技術(shù)飛速發(fā)展，以其抗多徑衰落、抗干擾、可多址復(fù)用和截獲概率低等特點在無線通信中被廣泛應(yīng)用。當(dāng)前擴頻技術(shù)有直序擴頻、跳時擴頻、跳頻擴頻以及線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation，LFM)[1-2]等。LFM信號又稱啁啾(Chirp)信號。Chirp擴頻技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶和通信等領(lǐng)域，因此對Chirp信號的檢測具有重要的意義。

當(dāng)前Chirp信號檢測方法主要有短時傅里葉變換[3](Short Time Fourier Transform，STFT)、魏格納-維爾分布[4-5](Wigner-Ville Distribution，WVD)和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[6](Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)等。STFT存在頻率分辨率和時間分辨率矛盾等問題；WVD檢測多分量Chirp信號時存在交叉項等問題；FRFT進行二維搜索時復(fù)雜度高。文獻[7]將STFT和Hough變換相結(jié)合，用STFT對信號分類，然后對分類后的信號做Hough變換檢測出信號；文獻[8]提出一種離散FRFT簡化算法，降低了復(fù)雜度，有助于對Chirp信號進行實時分析；文獻[9]提出一種新的LFM信號估計算法，該算法采用等步長搜索調(diào)頻率，搜索速度慢且沒有給出具體的搜索范圍，同時沒有考慮如何提高相乘后信號頻率和中心頻率的分辨率。

本文結(jié)合STFT粗估計出Chirp信號調(diào)頻率的范圍，在文獻[9]的基礎(chǔ)上提出一種改進Chirp信號參數(shù)估計算法，該算法用二分法代替等步長在粗估計出的范圍內(nèi)搜索調(diào)頻率，同時采用修正的幅度插值(M-Rife)[10]算法提高該算法估計中心頻率的分辨率和修正相乘后信號頻譜的幅值，降低了計算復(fù)雜度并提升了參數(shù)估計精度。

1 Chirp信號簡介

Chirp信號的時域表達式為

式中：α(t)為Chirp信號的包絡(luò)，通常為1；t為時間；j為虛數(shù)單位；f0為中心頻率；k為調(diào)頻率(單位是Hz/s)，即在一個信號周期內(nèi)，瞬時頻率與時間滿足線性關(guān)系，斜率為k，k>0為正斜率信號(Up-Chirp)，瞬時頻率隨著時間線性增大，k<0為負(fù)斜率信號(Down-Chirp)，瞬時頻率隨著時間線性減小，k=0為頻率為f0的單頻信號；T為信號周期，也稱為信號的掃頻時間。B=|k|T為掃頻帶寬；TB為時間帶寬積。

Chirp信號的頻譜表達式為

2 STFT

圖1 不同SNR下Chirp信號STFT的時頻圖

在STFT中，窗函數(shù)的選取非常重要，常用的窗函數(shù)有三角窗、矩形窗、高斯窗、漢明窗和漢寧窗等。在窗函數(shù)確定時，STFT中的時間分辨率和頻率分辨率隨之確定。圖1所示為不同信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)下的STFT。Chirp信號的掃頻帶寬B為50 kHz，中心頻率f0為2.5 kHz，信號周期T為1 ms，采樣率fs為400 kHz。

由圖1(a)～(d)可知，在SNR=0、-5 dB時，可以清楚看出Chirp信號的時頻分布，估算出信號的周期時間和調(diào)頻率的大致范圍。在SNR=-10 dB時,雖然受噪聲的影響較大，通過舍棄偏遠的點和最小二乘法仍然可以估計出信號的周期時間和調(diào)頻率的大致范圍。由圖1(c)可知，在SNR=-10 dB時信號的周期時間為1 ms，通過兩點間斜率求得調(diào)頻率大致為5.058 75×107Hz/s，與發(fā)送信號的調(diào)頻率誤差在1.175%，并可確定該Chirp信號調(diào)頻率在4.5×107～5.5×107Hz/s之間，便于后續(xù)精確估計調(diào)頻率和其他參數(shù)。由圖1(d)可知，在SNR=-11 dB時，已經(jīng)很難通過最小二乘法估算出Chirp信號調(diào)頻率的大致范圍。雖然STFT存在頻率分辨率和時間分辨率的矛盾，但仍可以用來分析Chirp信號并在SNR≥-10 dB時估計出調(diào)頻率的大致范圍。本文主要通過STFT與其他算法相結(jié)合，首先估算出調(diào)頻率的大致范圍，由于STFT的抗噪聲門限在-10 dB，因此本文主要分析在SNR≥-10 dB時如何更快、更精確地估計出Chirp信號參數(shù)。

3 FRFT

FRFT公式為

式中：u為FRFT域；p為階次；Xp(u)為在階次p下的FRFT；Kp(t,u)為在階次p下的FRFT核函數(shù)；α=pπ/2為旋轉(zhuǎn)角度；δ(t)為沖擊函數(shù)；n為整數(shù)。當(dāng)x(t)=exp[j2π(f0t+kt2/2)]時，

當(dāng)α=arccot(-k)時，其沖擊函數(shù)為δ(f0-ucscα)，能量集中在u=f0/cscα，這稱為在對應(yīng)階次的FRFT域上Chirp信號的能量聚集，如圖2和3所示。因此，可以通過FRFT對Chirp信號進行檢測、參數(shù)估計以及濾波等。

圖2 Chirp信號FRFT三維圖

圖3 Chirp信號在對應(yīng)階次下的FRFT

4 改進的新LFM信號估計算法

當(dāng)時間帶寬積TB越大時，Chirp信號頻譜越接近矩形，矩形寬度近似于信號帶寬B。令x(t)為Chirp信號，頻譜為F(f)，由帕塞瓦爾能量定理可得x(t)在信號周期上能量為

當(dāng)TB遠遠>1時，Chirp信號頻譜接近矩形，因此可以用中心頻率f0處的頻譜幅度A代表整個矩形的幅度，代入式(6)得E≈A2B。由于B=|k|T，代入得E≈A2|k|T。當(dāng)能量E和信號周期T一定時，Chirp信號調(diào)頻率k與A2成反比，圖4所示為不同調(diào)頻率下的頻譜圖。當(dāng)k無限接近于0時，A無限大。

圖4 不同調(diào)頻率下的頻譜圖

一個Chirp信號乘以exp(-jπkit2)不會改變信號的能量和信號周期，但會使該信號的調(diào)頻率變?yōu)閗-ki。若|k-ki|<|k|，則相乘后信號頻譜幅度的平方A2會變大，當(dāng)|k-ki|越來越小時，則相乘后A2會越來越大，即ki越接近真實k，A2越大。當(dāng)|k-ki|=0時，相乘后信號的調(diào)頻率為0，此時Chirp信號變?yōu)轭l率為f0的單頻信號。由于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)的頻率分辨率為fs/N，為了更精確地估計中心頻率和相乘后的A2，可以采用M-Rife方法。當(dāng)|k-ki|=0時，可以直接用M-Rife估計出中心頻率。對于相乘后信號頻譜幅度，首先用M-Rife估計出最大的頻率，然后用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)計算出這一點的幅度來表示相乘后的信號頻譜幅度。M-Rife計算步驟如下：

由以上分析可知，關(guān)鍵是找到一個ki使得|k-ki|=0。如果不知道調(diào)頻率的大致范圍盲目地搜索，則效果不好。若已知k的大致范圍，如果采用等步長搜索的方法，該方法有缺點。當(dāng)步長設(shè)置過大時，估計調(diào)頻率的分辨率達不到要求；當(dāng)步長設(shè)置過小時，搜索次數(shù)會太多。由于|k-ki|與A2成反比，|k-ki|線性減小時，A2線性增大，也就是說ki與k的差距越小，A2就越大，因此可以采用二分法進行搜索。搜索步驟如下：

步驟1：通過STFT求出Chirp信號x(t)調(diào)頻率的大致范圍[kbeginkend]和信號周期T。

步驟3：分別用exp(-jπkbegint2)和exp(-jπkendt2)與未知信號x(t)相乘，然后通過M-Rife算法求得相乘后信號最大的頻譜幅度作為信號頻譜幅度，結(jié)果分別為Abegin和Aend。執(zhí)行下一步。

步驟4：比較Abegin和Aend。若Abegin>Aend，說明|k-kbegin|比|k-kend|小，即kbegin比kend更接近k，此時令kend=(kbegin+kend)/2；若Abegin

5 仿真結(jié)果及性能分析

目前常用的估算Chirp信號參數(shù)的方法有FRFT等。對于未知信號，F(xiàn)RFT采用二維搜索，讓階次等步長增加。步長越小，估算的精度越高，但時間復(fù)雜度就越大。因此在一個確定的調(diào)頻率范圍內(nèi)，F(xiàn)RFT的復(fù)雜度比改進的Chirp信號估計算法要大。選用第2節(jié)中的Chirp信號對比FRFT和改進的Chirp信號估計算法的參數(shù)估計性能和抗噪聲性能。假設(shè)通過STFT估計出調(diào)頻率的大致范圍為4.5×107～5.5×107Hz/s，SNR在-10～10 dB之間，間隔為1 dB。在每個SNR下進行1 000次的Monte Carlo仿真。為了對比算法估計參數(shù)的性能，采用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)指標(biāo)來評價。將結(jié)果與克拉美羅限(Cramer-Rao Low Bound，CRLB)進行比較，CRLB根據(jù)文獻[11]計算。仿真結(jié)果如圖5和6所示。

由圖5可知，在SNR≥-10 dB時，改進的Chirp參數(shù)估計算法估計的調(diào)頻率比FRFT效果好，提升大約1～2 dB。由圖6可知，在SNR≥-10 dB時，改進的Chirp參數(shù)估計算法估計的中心頻率明顯比FRFT效果好，接近CRLB線。由于存在估計中心頻率分辨率過大的問題，F(xiàn)RFT估計中心頻率的NMSE沒有提升。

圖5 不同SNR下調(diào)頻率估計的誤差

圖6 不同SNR下中心頻率估計的誤差

因此改進的Chirp參數(shù)估計算法復(fù)雜度更低，性能更好，更具有實用性。

6 結(jié)束語

本文提出了改進的Chirp信號參數(shù)估計，并與STFT相結(jié)合。首先用STFT估計出調(diào)頻率的大致范圍和信號周期，然后用二分法通過改進的Chirp信號參數(shù)估計算法在這個大致范圍內(nèi)搜索，同時引入M-Rife算法估計中心頻率和修正相乘后信號最大頻率所對應(yīng)的幅值，極大地降低了計算復(fù)雜度并提升了估計精度。仿真實驗表明，在SNR≥-10 dB時，調(diào)頻率NMSE相對于FRFT提升了1～2 dB，由于采用了M-Rife算法，中心頻率NMSE相對于FRFT提升很大。因此針對實際的Chirp信號檢測與估計具有很強的實用性和適用性。不足之處在于STFT不能在SNR<-10 dB時對Chirp信號做粗估計，包括調(diào)頻率和信號周期。下一步將研究如何在更低SNR下對Chirp信號做粗估計。