徐會風(fēng)，蘇少平，杜慶誠，唐忠文

(西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，西安 710049)

0 引 言

無刷直流電機(jī)擁有功率因數(shù)高、動態(tài)性能優(yōu)良、且便于維護(hù)、控制方法簡單等優(yōu)點(diǎn)，在中小功率的電機(jī)驅(qū)動場合應(yīng)用廣泛[1-3]。無刷直流電機(jī)無位置傳感器控制技術(shù)因其對環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)、成本低的優(yōu)點(diǎn)，在近些年來無刷直流電機(jī)無傳感器的研究領(lǐng)域逐漸成為熱點(diǎn)研究內(nèi)容。無傳感器控制技術(shù)原理主要是采用電機(jī)內(nèi)部容易獲得的繞組電壓和相電流信號，經(jīng)過所采用的算法進(jìn)行處理，進(jìn)而可以重新構(gòu)建電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置信號。目前，常用的的轉(zhuǎn)子位置檢測方法主要有反電勢法[4-7]、續(xù)流二極管法[8]、電感法[9]、人工智能[10]，狀態(tài)觀測器法等。

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法是屬于狀態(tài)觀測器中的一類，其原本為卡爾曼濾波算法，因?yàn)樾枰獞?yīng)用于非線性控制系統(tǒng)，所以才出現(xiàn)了擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的發(fā)展。其基本思想是利用控制系統(tǒng)中較為容易獲得的電機(jī)端電壓、相電流等信號，由此可以構(gòu)建適用于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的電機(jī)狀態(tài)方程，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對電機(jī)控制系統(tǒng)參數(shù)的在線估計，從而可以得到轉(zhuǎn)子位置的信號。由于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法本身考慮到干擾和測量中的誤差影響，所以該方法對參數(shù)的變化和外界的干擾適應(yīng)能力強(qiáng)。且卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)起來較為簡單，這為無刷直流電機(jī)在無位置傳感器的控制方面應(yīng)用提供了很好的途徑[11-12]。

1 無刷直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型

圖1為三相星形聯(lián)接無刷直流電機(jī)，假設(shè)三相繞組對稱。

圖1 無刷直流電機(jī)等效原理圖

T1-T6為功率開關(guān)管。則其電壓方程為

(1)

式中,uA、uB、uC為定子繞組相電壓；iA、iB、iC為定子繞組相電流；eA、eB、eC為定子繞組反電勢；L、R、M為電機(jī)的每相繞組自感、電阻和相間互感。

電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

T=(eAiA+eBiB+eCiC)/wm

(2)

式中,ωm為電機(jī)轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度。

電機(jī)轉(zhuǎn)子軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

(3)

式中,B為阻尼系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

2.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法工作原理

擴(kuò)展卡爾曼濾波是卡爾曼濾波在非線性領(lǐng)域的拓展。因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)是非線性的，擴(kuò)展卡爾曼濾波正好可以應(yīng)用于這種情況，所以在此之前應(yīng)該將非線性方程進(jìn)行線性化處理，然后再利用卡爾曼濾波處理即可[13-14]。

假設(shè)一個非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程為

(4)

式中,w(t)為系統(tǒng)噪聲；v(t)為測量噪聲。

由此可得狀態(tài)變量在某一點(diǎn)的增量為

(5)

假設(shè)Δx(t)足夠小，將函數(shù)f(x(t),u,t)在該點(diǎn)泰勒級數(shù)展開得到：

(6)

忽略泰勒展開式的高次項(xiàng)可得：

(7)

(8)

將測量方程泰勒級數(shù)可以得到

(9)

其中，雅克比矩陣可以表示為

(10)

可以得到線性化后的狀態(tài)方程和測量方程：

(11)

式中,F(x)為狀態(tài)方程雅克比矩陣；H(t)為測量方程雅克比矩陣。

將上述方程離散化可得：

(12)

式中,Φ(k,k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣近似為

(13)

由此可到離散化的擴(kuò)展卡爾曼濾波方程為

(14)

P(k)=Φ(k,k-1)P(k)Φ(k,k-1)T+Q(k-1)

(15)

(16)

P(k)=P(k-1)-K(k)H(k)P(k-1)

(17)

K(k)=P(k,k-1)H(k)T(H(k)P(k,k-1)H(k)T+R)-1

(18)

2.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測器的設(shè)計

本文是以兩兩導(dǎo)通三相六狀態(tài)星型連接的無刷直流電機(jī)為例，重寫電機(jī)三相電壓平衡方程如下[15]。由于電機(jī)的中性點(diǎn)一般不直接引出，所以電機(jī)的繞組相電壓無法直接測量得到，故可以得到電機(jī)線電壓模型：

(19)

式中,uAB、uBC為電機(jī)線電壓；iAB、iBC為電機(jī)線電流；eAB、eBC為電機(jī)線反電勢。

三個線反電勢之間存在的關(guān)系：

eAB+eBC+eCA=0

(20)

因此，通過檢測無刷直流電機(jī)的三相端電壓uAG、uBG、uCG和任意兩相電流iA、iB就可以得到無刷直流電機(jī)的線反電勢。并且以線反電勢過零點(diǎn)作為換相時刻不需要進(jìn)行相移，控制更加方便。

現(xiàn)將式(19)中的線電流iAB、iBC和線反電勢eAB、eBC作為擴(kuò)展系統(tǒng)的狀態(tài)變量，將電機(jī)線電壓和線電流作為控制系統(tǒng)的輸入和輸出，可以得到無刷直流電機(jī)的狀態(tài)方程如下：

(21)

其中,Xk=[iAB(k)iBC(k)eAB(k)eBC(k)]T；

yk=[iAB(k)iBC(k)]T；

Uk=[uAB(k)uBC(k)]T；

其中,可以令f(x)表達(dá)式如下：

(22)

由上節(jié)可知f(x)的雅克比矩陣為

(23)

則

(24)

根據(jù)擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測器得到的電機(jī)線反電勢，進(jìn)而可以得到電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置信息和電機(jī)的轉(zhuǎn)速。電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置用來進(jìn)行電機(jī)的正常換相，得到的轉(zhuǎn)速可以用來實(shí)現(xiàn)電機(jī)的速度閉環(huán)控制。下面先確定線反電勢的過零點(diǎn)和繞組導(dǎo)通順序之間的關(guān)系，如表1所示。

表1 線反電勢信號和功率管導(dǎo)通順序的關(guān)系

3 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的無位置傳感器控制系統(tǒng)仿真

3.1 Matlab仿真模型

擴(kuò)展卡爾曼濾波器模塊采用S函數(shù)編寫，并沒有用模塊進(jìn)行搭建，EKF5.m主要程序內(nèi)容如下：

function sys=mdlUpdate(t,x,u)

global P0;

Rs=0.9;

Ls=0.0032;

J=2e-4;

Q=diag([1 1 100 100]);

R=diag([0.05 0.05 ]);

T=5e-6;

vs_ab=[u(1) u(2)]′;

is_ab=[u(3) u(4)]′;

H=[1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ];

B=[1/(Ls),0,0,0 ;0 1/(Ls) 0 0 ]′;

F=[-Rs/Ls,0,-1/(Ls),0; 0,-Rs/Ls,0,-1/(Ls); 0 0 0 0 ; 0 0 0 0];

f1=[-x(1)*Rs/Ls-x(3)/(Ls);-x(2)*Rs/Ls-x(4)/(Ls);0;0];

f2=diag([1 1 1 1])+T*F;

X_pred=x+T*(f1+B*vs_ab);

Y_pred=H*X_pred;

Y=is_ab;

P_pred=f2*P0*f2′+Q;

K=P_pred*H′*inv(H*P_pred*H′+R);

sys = X_pred+K*(Y-Y_pred);

P0=P_pred-K*H*P_pred;

圖2 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的無刷直流電機(jī)無位置傳感器仿真模型

圖2為基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的無刷直流電機(jī)無位置傳感器仿真模型速度計算模塊如圖3所示，該模塊主要實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速計算。由擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測器得到的線反電勢信息，根據(jù)線反電勢過零點(diǎn)信息得到電機(jī)虛擬霍爾信號，由于電機(jī)的線反電勢的變化頻率與電機(jī)的轉(zhuǎn)速一樣，因此可以由電機(jī)的線反電勢信號計算得到電機(jī)的轉(zhuǎn)速，具體公式如下：

(25)

式中,p為電機(jī)極對數(shù)；ΔT為相鄰兩次換相時間間隔。

PWM模塊是電機(jī)的起動和閉環(huán)切換，主要采用三段式起動策略，起動過程分為轉(zhuǎn)子預(yù)定位、開環(huán)加速、閉環(huán)切入運(yùn)行三個狀態(tài)。圖4為PWM起動和閉環(huán)切換模式。

圖3 轉(zhuǎn)速計算模塊

圖4 PWM起動和閉環(huán)切換模塊

3.2 仿真結(jié)果及分析

無刷直流電機(jī)參數(shù)：電機(jī)功率為60W，電機(jī)的電壓為24V，電機(jī)定子電阻0.9Ω，定子電感為3.5mH，極對數(shù)為4，額定轉(zhuǎn)速為2000r/min，仿真時間為0.5s。

無刷直流電機(jī)工況設(shè)定為額定轉(zhuǎn)速下負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.3Nm的狀態(tài)進(jìn)行仿真。選取狀態(tài)變量初始值x0，狀態(tài)方差P0、系統(tǒng)噪聲Q、測量噪聲R結(jié)果如下：

x0=[0 0 0 0]；

P0=[0.5 0.5 10 10]；

Q=diag[0.1 0.1 30 30]；

R=diag[0.05 0.05]。

(1)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行過程的仿真分析：電機(jī)在額定轉(zhuǎn)速下運(yùn)行且負(fù)載大小恒定為0.3Nm。

如圖5所示，電機(jī)從0s開始運(yùn)行，大約0.05s的時間達(dá)到額定轉(zhuǎn)速，電機(jī)轉(zhuǎn)速超調(diào)較小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間小。如圖6所示，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速和估算轉(zhuǎn)速之間誤差很小，0.05s之前轉(zhuǎn)速誤差為40轉(zhuǎn)左右，電機(jī)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)速誤差基本為零。從圖7所示電機(jī)定子電流波形頂部較為平整，仿真給的電機(jī)電流限幅為10A，在電機(jī)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，電流波形較好。圖8為電機(jī)的線反電勢波形對比圖，圖9為電機(jī)的真實(shí)霍爾信號和虛擬霍爾信號對比圖，從圖中可以看出兩者的誤差很小。

圖5 n=2000r/min時電機(jī)轉(zhuǎn)速波形

圖6 n=2000r/min時電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差波形

圖7 n=2000r/min時電機(jī)定子電流波形

圖8 n=2000r/min時電機(jī)線反電勢波形

圖9 n=2000r/min時真實(shí)和虛擬霍爾信號波形

(2)動態(tài)運(yùn)行過程的仿真分析：電機(jī)在額定轉(zhuǎn)速下變換負(fù)載大小，0.3s時刻負(fù)載大小由0.3Nm變?yōu)?.5Nm，分析電機(jī)的轉(zhuǎn)速、電流、線反電勢等信息。

圖10為電機(jī)轉(zhuǎn)速波形，電機(jī)在0.3s時間切入負(fù)載，電機(jī)的轉(zhuǎn)速下降較小，系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定性能優(yōu)良。從圖11可以看出電機(jī)的轉(zhuǎn)速誤差較小，在切入負(fù)載時刻電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差波動在10轉(zhuǎn)左右，可以滿足系統(tǒng)需要。從圖12可以看出，在電機(jī)突加負(fù)載時刻，電流波形變化平緩，整個系統(tǒng)切換平滑。圖13為電機(jī)的線電勢在負(fù)載突加時刻有所降低，這屬于正常現(xiàn)象，在系統(tǒng)達(dá)到另外一穩(wěn)態(tài)時重新恢復(fù)到原狀態(tài)。圖14為電機(jī)在負(fù)載突加情況下的真實(shí)霍爾信號和虛擬霍爾信號對比圖，從圖中的局部放大圖可以看出，兩者之間的相位差很小，大概在0.16ms左右，因此可以采用估算出來的虛擬霍爾信號來代替實(shí)際的霍爾信號。

圖10 電機(jī)突加負(fù)載時的轉(zhuǎn)速波形

圖11 電機(jī)突加負(fù)載時的轉(zhuǎn)速誤差波形

圖12 電機(jī)突加負(fù)載時的電流波形

圖13 電機(jī)突加負(fù)載時的線反電勢波形

圖14 電機(jī)突加負(fù)載時的真實(shí)和虛擬霍爾信號波形

(3)變轉(zhuǎn)速時電機(jī)仿真分析：初始轉(zhuǎn)速給定為2000r/min，在0.3s下降為1500r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩則保持在0.3Nm不變。在此基礎(chǔ)上分析電機(jī)的轉(zhuǎn)速、電流等信息。

如圖15所示，電機(jī)突降轉(zhuǎn)速時候，轉(zhuǎn)速在0.05s左右的時間重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，動態(tài)性能較好。與此同時，從圖16可以看出，電機(jī)的轉(zhuǎn)速誤差在突減轉(zhuǎn)速后誤差不足20轉(zhuǎn)，且在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后電機(jī)的速度誤差在5轉(zhuǎn)以內(nèi)，這是因?yàn)殡姍C(jī)的PI調(diào)節(jié)器存在的靜態(tài)誤差，需要再次調(diào)節(jié)PI參數(shù)即可消除靜差。圖17為電機(jī)的實(shí)際線反電勢和估算得到的線反電勢對比圖，兩者之間的誤差較小，可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和位置的估算。圖18為電機(jī)突減轉(zhuǎn)速時的真實(shí)和虛擬霍爾信號對比圖，從圖中可以看出，虛擬的霍爾信號在相位上與實(shí)際的霍爾信號幾乎一致。

圖15 電機(jī)突減轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形

圖16 電機(jī)突減轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速誤差波形

圖17 電機(jī)突減轉(zhuǎn)速時的線反電勢波形

圖18 電機(jī)突減轉(zhuǎn)速時的真實(shí)和虛擬霍爾信號波形

綜上所述，本文所采用的擴(kuò)展卡爾曼濾波狀態(tài)觀測器獲得的電機(jī)轉(zhuǎn)速和位置信號誤差小，精度高，跟隨性好。用于無位置控制時，所建立的模型靜態(tài)和動態(tài)性能較好，電機(jī)可以在負(fù)載的擾動和轉(zhuǎn)速突變下平穩(wěn)運(yùn)行。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，搭建如圖19的實(shí)驗(yàn)平臺，實(shí)驗(yàn)的樣機(jī)為一臺三相星型連接的永磁無刷直流電機(jī)，具體參數(shù)如表2所示。

實(shí)驗(yàn)裝置主要包括無刷直流電機(jī)功率板、DSP2812控制板、無刷直流電機(jī)和勵磁直流電動機(jī)等。其中無刷直流電機(jī)和直流勵磁電機(jī)通過聯(lián)軸器連接在一起，無刷直流電機(jī)作為電動機(jī)方式運(yùn)行，拖動直流勵磁電機(jī)轉(zhuǎn)動，此時的直流勵磁電機(jī)則相當(dāng)于做為電機(jī)負(fù)載，且運(yùn)行在發(fā)電模式下，勵磁直流電機(jī)的電樞回路可以連接電阻等負(fù)載進(jìn)行電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩大小的改變，從而實(shí)現(xiàn)對無刷直流電機(jī)的不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩的改變。直流勵磁電機(jī)的勵磁電壓可以通過調(diào)壓方式改變，最大勵磁電壓為220V。

表2 BLDCM實(shí)驗(yàn)參數(shù)表

圖19 實(shí)驗(yàn)平臺

4.1 電機(jī)空載運(yùn)行實(shí)驗(yàn)

電機(jī)的空載運(yùn)行實(shí)驗(yàn)主要是電機(jī)在空載運(yùn)行下的穩(wěn)態(tài)性能部分，分析電機(jī)在所采用控制策略下的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行性能。電機(jī)在空載條件下起動到轉(zhuǎn)速為2000 r/min，通過分析電機(jī)的轉(zhuǎn)速、電流、轉(zhuǎn)子位置等信息來驗(yàn)證所采用控制策略的有效性。

圖20為電機(jī)在額定轉(zhuǎn)速下空載起動電機(jī)轉(zhuǎn)速波形，在1.8s左右的時間電機(jī)估算轉(zhuǎn)速出現(xiàn)了跳變，這是因?yàn)殡姍C(jī)在此時達(dá)到了600 r/min，即切換為無位置的運(yùn)行方式，所以會出現(xiàn)估算轉(zhuǎn)速的跳變。

圖20 n=2000 r/min時的電機(jī)轉(zhuǎn)速波形

由圖21可以看出電機(jī)的轉(zhuǎn)速誤差在切換時有較大誤差，但是穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速誤差較小。

圖21 n=2000 r/min時的電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差波形

圖22為電機(jī)相電流波形，可以看出電機(jī)在開環(huán)起動加速過程中電流波動較大，約為額定電流的3倍左右，在可以接受的范圍內(nèi)。

圖22 n=2000 r/min時的電機(jī)電流波形

圖23為電機(jī)的實(shí)際霍爾信號局部波形和估算出來的虛擬霍爾信號波形圖，所截取時間段為電機(jī)處于穩(wěn)定運(yùn)行階段，可以看出兩者的位置誤差較小，因此可以使用估算出來的虛擬霍爾信號代替實(shí)際的霍爾信號實(shí)現(xiàn)電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置估算。

圖23 n=2000 r/min時的電機(jī)霍爾信號波形

4.2 電機(jī)變轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證電機(jī)在無位置控制策略下的動態(tài)性能，這里選擇電機(jī)的運(yùn)行方式為空載運(yùn)行，然后進(jìn)行電機(jī)的變轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證電機(jī)的動態(tài)性能。首先電機(jī)在給定轉(zhuǎn)速1500 r/min下起動，之后升高轉(zhuǎn)速為2000 r/min，最后轉(zhuǎn)速再下降為1500 r/min。

圖24為電機(jī)變轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形圖，在達(dá)到初始設(shè)定轉(zhuǎn)速后繼續(xù)升高轉(zhuǎn)速，然后再降低轉(zhuǎn)速，電機(jī)都可以準(zhǔn)確的跟隨，說明系統(tǒng)的動態(tài)性能優(yōu)良，轉(zhuǎn)速跟隨性能較好。從圖25可以看出電機(jī)轉(zhuǎn)速的誤差較小，說明估算出來的電機(jī)轉(zhuǎn)速和實(shí)際的電機(jī)轉(zhuǎn)速相近。

圖24 電機(jī)變轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形

圖25 電機(jī)變轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速誤差波形

從圖26電流的局部放大波形來看，電機(jī)的電流波形較為良好，電機(jī)運(yùn)行的整體性能不錯。

圖26 電機(jī)變轉(zhuǎn)速時的電流局部波形

如圖27為電機(jī)的霍爾信號波形，可以看出兩者霍爾信號的差別較小，即估算出來的電機(jī)虛擬霍爾信號可以適應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速突變，說明本系統(tǒng)采用的控制策略可以在電機(jī)動態(tài)運(yùn)行情況下準(zhǔn)確的得到虛擬霍爾信號，進(jìn)而代替實(shí)際的電機(jī)霍爾信號。

圖27 電機(jī)變轉(zhuǎn)速時的霍爾信號波形

4.3 電機(jī)切換負(fù)載實(shí)驗(yàn)

電機(jī)切換負(fù)載實(shí)驗(yàn)是為了驗(yàn)證所選控制策略在電機(jī)的實(shí)際負(fù)載變動情況下，系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖28為電機(jī)的轉(zhuǎn)速波形，從圖中可以看出電機(jī)的估算轉(zhuǎn)速波形基本平穩(wěn)，沒太大的波動，圖29為電機(jī)的轉(zhuǎn)速誤差波形，可以看出誤差波形較小。

圖28 切換負(fù)載時的電機(jī)轉(zhuǎn)速波形

圖29 切換負(fù)載時的電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差波形

圖30和圖31為電機(jī)的相電流和局部電流波形圖，從兩者的分析來看，電機(jī)的10s左右切入負(fù)載，電流隨之升高到額定電流3.6A左右，電流波形的端部較為平整，則說明電機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)穩(wěn)定，在動態(tài)情況下仍然可以實(shí)現(xiàn)無位置傳感器的準(zhǔn)確運(yùn)行，說明本系統(tǒng)具有一定的抗負(fù)載擾動性能。

圖30 切換負(fù)載時的電機(jī)相電流波形

圖31 切換負(fù)載時的電機(jī)相電流局部波形

5 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測器的控制策略可以實(shí)現(xiàn)無刷直流電機(jī)的狀態(tài)觀測，并能將觀測數(shù)值應(yīng)用于無位置傳感器控制，并且基于擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測器無位置控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)與動態(tài)性能，電機(jī)能夠適應(yīng)轉(zhuǎn)速和負(fù)載的突變。