孫家文，房克照，劉忠波，范浩煦，孫昭晨，王平

( 1. 國家海洋環(huán)境監(jiān)測中心 國家環(huán)境保護(hù)海洋生態(tài)環(huán)境整治修復(fù)重點實驗室，遼寧 大連 116023；2. 大連海事大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，遼寧 大連 116026；3. 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室/DUT-UWA海洋工程聯(lián)合研究中心，遼寧 大連 116024)

1 引言

波浪從深水傳播到淺水的過程，存在反射、折射與繞射、淺化以及近岸水域破碎等復(fù)雜的物理現(xiàn)象。在這一過程中，波-波非線性相互作用、波浪的頻散以及潮流等背景水流的存在，讓水波呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的形態(tài)。海港碼頭、防波堤等水工建筑物，防止海灘侵蝕等突堤工程和潛堤工程以及各類人工島工程等的建設(shè)，都應(yīng)充分考慮波浪荷載。設(shè)計波浪對于海岸工程建設(shè)有十分重要的意義，精確把握從一定深水到工程前沿范圍內(nèi)的波浪情況十分必要。近年來，伴隨著計算機性能的突飛猛進(jìn)，波浪數(shù)值模擬成為極為有效的方式，這又進(jìn)一步促進(jìn)了各類水波理論模型，如緩坡類水波方程、Boussinesq型水波方程和非靜壓水波模型等的發(fā)展。下面主要從理論推導(dǎo)和數(shù)值應(yīng)用兩個方面對1967-2018年間常用的Boussinesq型水波方程研究歷程進(jìn)行回顧。

1872年，法國科學(xué)家Boussinesq[1]假定水深為常數(shù)，垂向速度沿水深呈線性分布，得到一組水平一維弱色散的非線性方程，開啟了對Boussinesq類水波方程研究的大門，后人為紀(jì)念他的重大貢獻(xiàn)稱該方程為Boussinesq方程。其后國內(nèi)外學(xué)者也推導(dǎo)了很多此類水波方程，稱為Boussinesq型（類）水波方程。

Peregrine[2]于1967年推導(dǎo)了可以考慮水深變化的水平二維Boussinesq型水波方程，該方程后來被稱為經(jīng)典Boussinesq型方程，其水平一維表達(dá)形式為

經(jīng)典的Boussinesq型方程有如下特點：（1）控制方程為質(zhì)量守恒的連續(xù)方程和無黏不可壓動量方程，其中動量方程中的時空三階混合導(dǎo)數(shù)項稱為色散項，是Boussinesq型方程區(qū)別于淺水長波方程的主要標(biāo)志。（2）以波面和水深積分平均速度為變量，該方程可以模擬波浪折射、繞射、反射和波浪間的相互作用等；其中，波浪繞射體現(xiàn)在二階色散項中存在對空間x和y的混合導(dǎo)數(shù)；波浪非線性相互作用主要源于和項。（3）該方程是弱色散性和弱非線性的，其中非線性參數(shù)和色散性參數(shù)分別是（ A為波幅，h為特征水深）和（L為特征水深），弱非線性與弱色散性假定是指，這表明方程的色散適用范圍是有限的，僅適用于淺水區(qū)域的波浪模擬，當(dāng)波浪相速度誤差不大于5%時，其適用水深僅約為0.2倍深水波長，滿足不了實際工程對水深的要求；而弱非線性則表現(xiàn)為方程中與二階色散性相匹配的非線性項的缺失。（4）該方程不能考慮環(huán)境水流的影響，因為方程中沒有包含水流引起的波長變化的多普勒效應(yīng)項，如與相關(guān)的項。（5）盡管國內(nèi)外學(xué)者習(xí)慣稱呼方程（1）為精確的連續(xù)方程，但其中的速度和方程（2）中的速度是同一變量，由于方程性能限制，該速度并不精確。因此，方程（1）僅在表達(dá)形式上是精確的，其他以水深積分平均速度表達(dá)的Boussinesq型方程均存在同樣問題。（6）方程中不含有垂向速度，這將復(fù)雜的三維水波問題簡化為二維水波問題，因而大大提高了計算效率。

克服上述經(jīng)典Boussinesq方程存在的缺陷和不足需要引入評價模型精度的度量標(biāo)準(zhǔn)。在建立方程的色散關(guān)系式與Stokes線性波色散關(guān)系式的關(guān)聯(lián)問題上，Witting[3]的工作是開創(chuàng)性的，其成功引入了Padé逼近的方法，為Boussinesq型方程色散參數(shù)的確定提供了一種最直接有效的方法。為了改善經(jīng)典Boussinesq型方程在色散性、非線性、波流相互作用等方面的性能，國內(nèi)外眾多學(xué)者做出了不懈的努力，極大推動了Boussinesq型方程的發(fā)展。本文以方程中是否含有明顯的垂向速度為標(biāo)準(zhǔn)，將Boussinesq型水波方程分為水平二維和三維兩種情況。多數(shù)Boussinesq型水波方程歸納為水平二維方程，控制方程中不存在明顯的垂向速度，其在推導(dǎo)過程中表達(dá)為水平速度的顯式函數(shù)。這將最終方程的空間維度減少了一個，因此三維復(fù)雜問題簡化成水平二維問題是眾多Boussinesq型方程的一個最顯著的特征，其帶來的最大便利就是數(shù)值模型的計算效率得到了相當(dāng)程度的提高。而另外一類則是三維Boussinesq型方程，它的顯著特征是垂向速度在控制方程中仍是獨立未知量。伴隨著計算機硬件技術(shù)的發(fā)展和并行計算技術(shù)方法的出現(xiàn)，三維Boussinesq型方程的計算效率已不再是一個主要限制。事實上，Boussinesq型方程是勢流理論，三維Boussinesq型方程在精度方面不斷逼近以Laplace方程為控制方程的勢流理論，并且計算效率比三維波浪勢流理論要高。因此，三維Boussinesq型水波方程順應(yīng)了當(dāng)前海岸（海洋）工程的發(fā)展需求，也是水波理論研究領(lǐng)域的前沿方向之一。

2 Boussinesq型水波方程的理論研究

2.1 水平二維Boussinesq型水波方程

2.1.1 注重改進(jìn)色散性能

Madsen等[4-5]在動量方程中人為加入含有待定系數(shù)的三階項，通過與精確線性色散關(guān)系的Padé展開擬合確定系數(shù)，使方程的色散性達(dá)到了O(μ2)（在允許色散性誤差為5%時，kh≤3，k為特征波數(shù)）。Madsen等[4]方程系數(shù)的確定也考慮了Witting的工作，進(jìn)而Madsen和S?rensen[5]首次給出了Boussinesq型水波方程的變淺作用系數(shù)，該方程后來發(fā)展為MIKE軟件中的BW模塊，已被廣泛地用于海岸和近海工程中波浪數(shù)值模擬。該方程以通量形式表達(dá)，含有不完整的二階非線性項。由于方程推導(dǎo)時通過采用長波方程假定引入了三階項，水平速度沿垂向分布的表達(dá)式將不再適用，類似的問題也存在于以水深積分平均速度表達(dá)的其他Boussinesq型水波方程中。

與Madsen等理論推導(dǎo)工作不同，Nwogu[6]從歐拉方程出發(fā)，建立了以波面位移和沿水深任意處速度為基本變量的弱非線性Boussinesq方程，通過確定速度具體位置Zα可使方程色散性精確到Airy波精確解的Padé[2, 2]階近似。Nwogu推導(dǎo)的方程僅包含弱非線性項，其形式上完全類似于經(jīng)典Boussinesq型水波方程的弱非線性項。推導(dǎo)該方程的初始目的只是為了改善方程的色散精度。有趣的是，該方程的水平速度沿垂向分布是二階表達(dá)的，精度卻相對較高，明顯優(yōu)于Madsen等[4-5]的方程。在應(yīng)用Nwogu[6]方程進(jìn)行數(shù)值模型時應(yīng)注意，在取水平速度位置為Zα=-0.531h時，方程的淺化作用性能較差。

Sch?ffer和 Madsen[7]對 Nwogu[6]模型進(jìn)行了色散適用水深的擴展，得到了一個含有5個待定參數(shù)的改進(jìn)型Boussinesq方程，通過優(yōu)化待定參數(shù)的取值，可使色散性精確到Airy波精確解的Padé[4, 4]階近似，使其應(yīng)用水深達(dá)到kh≤6。Chen和Liu[8]給出了以水平速度勢和波面位移表達(dá)的改進(jìn)型Boussinesq型水波方程，進(jìn)而又將方程進(jìn)行了頻域化處理。與Madsen等[4-5]采用的長波假定類似，Beji和Nadaoka[9]在經(jīng)典Boussinesq方程基礎(chǔ)上，引入一個改善色散性的參數(shù)，推導(dǎo)出一組改進(jìn)色散性的弱非線性Boussinesq型水波方程。林建國等[10]在經(jīng)典Boussinesq型水波方程基礎(chǔ)上，首先引入變換速度取代水深積分平均速度，繼而采用類似Sch?ffer和Madsen[7]的方式，最終給出了一組以變換速度表達(dá)的弱非線性Boussinesq型水波方程，該方程的色散適用水深也達(dá)到kh≤6。與以上處理方式不同，張永剛和李玉成[11]在Nwogu[6]模型基礎(chǔ)上，采用了兩個不同位置處的速度，并以兩層速度進(jìn)行加權(quán)的方式重新改寫連續(xù)方程，給出了一組新型的弱非線性Boussinesq型水波方程，該方程的最大色散適用水深也是kh≤6。

以上這些方程主要為了改善經(jīng)典Boussinesq型水波方程的色散精度，方程中的二階非線性項或被忽略，或部分保留，導(dǎo)致方程僅具有弱非線性特征。同時，大多數(shù)方程變量對空間的導(dǎo)數(shù)最高為3，其中有的方程是引入了項，有的是原始方程本身就含有類似項（速度u可以是某一水深處的速度，也可以是偽速度（計算速度））。為了避免求解三階空間導(dǎo)數(shù)，Zhao等[12]推導(dǎo)了一組以波面位移和水平速度勢表達(dá)的弱非線性二階Boussinesq型水波方程，該方程最高空間導(dǎo)數(shù)僅為2，便于數(shù)值計算程序的開發(fā)。

2.1.2 注重改進(jìn)線性變淺性能

Madsen和S?rensen[5]首次給出了Boussinesq型方程變淺梯度的概念。其后，Chen和Liu[8]和Sch?ffer和Madsen[7]也強調(diào)了變淺作用。Beji和Nadaoka[9]認(rèn)為，對他們的方程而言，無論采用Madsen等[4-5]推薦的方式，還是從能量守恒角度出發(fā)，兩種方式推導(dǎo)的變淺梯度是一致的，這引發(fā)了Sch?ffer[13]的討論。事實上，采用能量守恒或Madsen等推薦的方式恰好適用Beji和Nadaoka的方程，一些變淺系數(shù)的引入則有助于改善方程的變淺性，我們更認(rèn)同Sch?ffer的觀點。另有 Zou[14-15]，Lynett和 Liu[16]，Liu 和 Sun[17]也對針對變淺作用的改善進(jìn)行了研究。近年來一些學(xué)者，如Galan等[18]和Simarro等[19]在Chen和Liu[8]提出的線性變淺波幅基礎(chǔ)上，對前人的一些Boussinesq型水波方程進(jìn)行色散和變淺性能改善時系數(shù)選擇上進(jìn)行了一定的探討和研究，認(rèn)為通過適當(dāng)選擇系數(shù)可較大幅度提高變淺作用性能。與Simarro等[19]的觀點類似，劉忠波等[20]則又強調(diào)，采用計算速度（偽速度）取代原方程中的速度變量可以改善如Lynett和Liu[16]和Wei等[21]的Boussinesq型方程在色散性和變淺性能方面的性能。

2.1.3 注重改善非線性性能

不同頻率波浪之間相互作用時，除產(chǎn)生與各自頻率成整倍數(shù)的高階非線性波幅外，還會產(chǎn)生和頻（頻率相加）與差頻（頻率相減）波幅。通常用Stokes波的二階、三階波幅以及和（差）頻波幅來考察Boussinesq型方程的非線性性能。

Wei等[21]將Nwogu[6]的Boussinesq型方程發(fā)展到近似到二階完全非線性，美國特拉華大學(xué)Kirby團(tuán)隊以該方程為基礎(chǔ)開發(fā)了FUNWAVE模型，由于代碼開源，在國內(nèi)外得到了廣泛的應(yīng)用，諸多學(xué)者利用該數(shù)值軟件進(jìn)行了更為廣泛的科學(xué)研究工作，在較大程度上提升了該方程的知名度。必須注意，該方程的變淺性能與Nwogu[6]的Boussinesq型方程一樣，是具有短板的，后續(xù)Kirby團(tuán)隊采用了雙層加權(quán)形成偽速度模式改進(jìn)了該方程的變淺性能。但遺憾的是，這一改進(jìn)未能體現(xiàn)在后續(xù)開發(fā)的各版本FUNWAVE代碼中，因而這一問題也引發(fā)了Simarro[22]對該方程的系數(shù)選取方面的討論。但Choi等[23]在回復(fù)中的觀點表明，針對均化統(tǒng)計變量而言，兩組不同系數(shù)的計算結(jié)果類似。盡管Simarro的討論是合理的，但在理論方面的做法上存在一定的問題，其以犧牲色散精度換取了變淺性能的改善，而原方程的色散精度較高，變淺性能差一些，加上計算的范圍特定，客觀上很難比較出二者的優(yōu)劣。為了避免這一情況，在不犧牲色散精度前提下，劉忠波等[20]引用偽速度（計算速度）的做法更應(yīng)值得關(guān)注，而這一做法的源頭起源于Zou[15]。

Madsen和Sch?ffer[24]在對前人Boussinesq理論相關(guān)文獻(xiàn)分析與評述基礎(chǔ)上，從Laplace方程出發(fā)，結(jié)合自由面的動力學(xué)和運動學(xué)邊界條件以及水底的運動學(xué)邊界條件，系統(tǒng)地推導(dǎo)了以水深積分平均速度或某一處水深速度表達(dá)的具有四階非線性特征的Boussinesq型水波方程，并詳細(xì)研究了方程的色散性、變淺性、二階和三階非線性波幅、波幅離散引起的頻散效應(yīng)、二階和差頻特征和波流相互作用問題。該文獻(xiàn)是Boussinesq型方程理論研究的經(jīng)典文獻(xiàn)。Chondros和 Memos[25]將 Madsen 和 Sch?ffer[24]的一組以水深積分平均速度表達(dá)的Boussinesq型方程中的定常參數(shù)改為與無因次水深相關(guān)的變化參數(shù)，并在理論分析中強調(diào)了該方程在線性色散關(guān)系與二階非線性性能（同Stokes波浪理論相應(yīng)解析解比較）是精確的，這引發(fā)了Liu和Fang[26]的關(guān)注和討論。對于線性規(guī)則波來說，將參數(shù)與無因次水深關(guān)聯(lián)可能是有效的，但考慮到近岸水波多以不規(guī)則波為主，即便非線性規(guī)則波在地形上演化也會產(chǎn)生高頻或低頻波。因此這種做法無法同時精確描述多個不同頻波浪的色散性，類似地，也不能確保方程具備良好的和差頻特性。因此，他們的做法是無效的，并且不具備普適性。

鄒志利[27-29]給出了具有近似到二階完全非線性的Boussinesq型方程，其中文獻(xiàn)[27]是從Laplace方程出發(fā)，從水底關(guān)于垂向z對速度勢做展開，并綜合考慮了方程的高階與低階非線性相互作用和引入改善變淺性能的系數(shù)，得到了以波面位移和水深積分平均速度表達(dá)的Boussinesq型方程。在此基礎(chǔ)上，采用了偽速度（計算速度）取代水深積分平均速度，又可延展為新的高階Boussinesq型水波方程[28]。文獻(xiàn)[29]則是從歐拉方程出發(fā)，引入了垂向坐標(biāo)變換，繼而給出了適合復(fù)雜地形的近似到二階完全非線性的Boussinesq型方程，最后從理論方面討論了方程在復(fù)雜地形上的波浪Bragg反射和透射特性。

Gobbi等[30]發(fā)展了Wei等[21]的Boussinesq型水波方程，將方程的非線性由二階提高至四階，其引入了偽速度勢的概念，即采用兩層不同位置處的水平速度勢加權(quán)形成新速度勢，推導(dǎo)出一組具有Padé[4, 4]色散關(guān)系的Boussinesq型方程。該方程最大的優(yōu)勢在于水平和垂向速度沿著水深分布的精度均超過了同時期所有Boussinesq型方程。然而該方程的變淺性能至今仍沒有被優(yōu)化，加上該方程含最高空間導(dǎo)數(shù)為5階的項，數(shù)值離散較為困難，導(dǎo)致該方程并沒有得到廣泛應(yīng)用。此外，Zou和Fang[31]從歐拉方程出發(fā)，引入垂向坐標(biāo)變換，推導(dǎo)出一組四階全非線性Boussinesq水波方程，方程中最高導(dǎo)數(shù)也是五階，同樣存在數(shù)值離散和實際應(yīng)用困難的情況。

Lynett和Liu[16,32]從歐拉方程出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了具有近似到二階完全非線性的兩層和多層Boussinesq型方程。他們將一層二階完全非線性Boussinesq型方程拓展到多層，實際上是為了獲取更高的色散精度并且也避免求解空間導(dǎo)數(shù)超過三階（不含3）情況下的數(shù)值解，這開啟了多層Boussinesq型方程的研究模式。從理論分析結(jié)果來看，多層方程的水平速度沿垂向分布特征更為精確，非線性性能也得到了一定程度的改善，但適用范圍仍遠(yuǎn)小于色散性能。該方程對應(yīng)的計算模型已經(jīng)開發(fā)成公開源代碼的COULWAVE軟件。類似于Lynett和Liu的工作，Liu和Fang[33]則從Laplace方程出發(fā)，推導(dǎo)出3組具有不同色散精度的雙層Boussinesq型方程，特別是第3組的色散性能得到了較大的拓展。

林建國和邱大洪[34]、Hong[35]及Liu和Sun[17]分別推導(dǎo)了不同精度的非線性Boussinesq型水波方程。在方程非線性特性改善研究方面，Kennedy等[36]選取與波面位移關(guān)聯(lián)的水深速度變量，這一定程度上改善了Wei等[21]方程的二階非線性（含和頻）性能，但卻很難實質(zhì)性改善差頻性能。以水深積分平均速度表達(dá)的Boussinesq型方程的改進(jìn)工作可參見劉忠波等[37]和Fang等[38]研究，同樣，這些研究工作僅改進(jìn)了規(guī)則波對應(yīng)的高階波幅和波-波相互作用的和頻性能。

2.2 三維Boussinesq型水波方程

水平二維Boussinesq型方程的發(fā)展集中于改善色散、變淺以及部分非線性性能，而非線性適用水深遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于色散性適用水深，速度沿水深分布的精度較差，這是水平二維方程最致命的缺陷。在水平二維Boussinesq型方程中，垂向速度通過水底方程并利用水平速度顯示表達(dá)，在大幅度提高計算效率的同時，也不可避免地降低了非線性性能。綜合考慮應(yīng)用水深和其他各種性能精度，上節(jié)所述的水平二維Boussinesq型方程的使用范圍受到限制，不能滿足當(dāng)前深海工程對強非線性波浪、波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的計算需求，發(fā)展具有更高精度、具有三維特征的Boussinesq型水波方程成為趨勢。為了提高非線性性能，垂向速度保留在方程中是有必要的。Agnon等[39]給出了一組高階的三維Boussinesq型水波方程，該方程在色散精度、變淺精度、二階非線性精度等方面的適用水深均達(dá)到了kh=6，其改善非線性的做法主要是分離了方程非線性與色散性。該三維方程保留了水底邊界條件、自由面上波浪的動力學(xué)方程和運動學(xué)方程以及采用靜止水位的水平速度和垂向速度表達(dá)的全域速度場。其最大的缺點是速度沿水深分布的精度較低，最大適用水深為kh=2.0。其后，Madsen等[40-41]首先用水深某一處的速度取代靜止水位的速度，進(jìn)而采用計算速度（偽速度）來取代水深某一處速度，得到了一組具有綜合性能優(yōu)良的三維Boussinesq型方程。在色散性方面，該方程最大適用水深為kh=25～40，非線性性能在這一量級具有較高精度。其中垂向分布的速度可適用于kh=12。方程中最高空間導(dǎo)數(shù)為5，當(dāng)最高導(dǎo)數(shù)退化為3時，色散適用水深kh=10，速度分布精確到kh=3.5左右。

Chazel等[42]結(jié)合Madsen等[40]及Lynett和Liu[16]的做法，給出了最高空間導(dǎo)數(shù)為2、以偽水平速度勢（計算速度勢）和偽垂向速度表達(dá)的雙層三維Boussinesq型方程。方程的色散適用水深約為kh=20，速度垂向分布的精度最大達(dá)到kh=6～8，但是他們并沒有分析波浪的二階和三階非線性特征以及不規(guī)則波之間的和（差）頻特征等。劉忠波等[43]結(jié)合Madsen等[40]及Lynett和Liu[16]的做法，給出了平底情況下空間導(dǎo)數(shù)為3和5的雙層高階Boussinesq型方程，繼而考慮了緩變地形變化的水深條件。Liu和Fang[44]進(jìn)一步給出了空間導(dǎo)數(shù)為3、以偽水平速度和垂向速度（計算速度）表達(dá)的雙層三維Boussinesq型方程，方程的色散適用水深約為kh=53，速度垂向分布的精度可以最大達(dá)到kh=23.2，同時二階非線性特征和不規(guī)則波的和（差）頻特性大為改善。在這一工作的基礎(chǔ)上，Liu等[45]一方面將這個方程推至多層，并詳細(xì)分析了三層與四層方程的性能。理論分析表明，方程得到了空前的發(fā)展，其中四層方程的色散適用水深達(dá)到kh=667～800，非線性性能達(dá)到了kh=300，速度分布精確到kh=352～423，線性變淺在0＜kh≤300內(nèi)具有較高的精度；另一方面，他們也給出了具有最高空間導(dǎo)數(shù)為2和5的多層Boussinesq型方程。最高導(dǎo)數(shù)為5時，四層模型的色散適用水深達(dá)到了kh=7 600；導(dǎo)數(shù)為2時，四層模型的色散適用水深為kh=179.3，圖1給出了四層方程的色散關(guān)系。

圖1 四層Boussinesq方程的相速度（n代表方程中的最高導(dǎo)數(shù)）Fig. 1 The dimensionless phase celerity of the four-layer Boussinesq equations (n is the highest order of the spatial derivative)

綜合多年研究，將具有代表性的Boussinesq型方程匯總在表1中，并給出了這些方程在色散性、二階非線性和線性變淺性能、速度分布特征等方面的適用水深。

表1 Boussinesq型水波方程的最大適用水深（kh）Table 1 Maximum application water depth of different Boussinesq-type models

2.3 適合特殊情況的Boussinesq型水波方程

2.3.1 考慮地形滲透

Cruz等[46]假定滲透介質(zhì)中的水體也近似滿足Laplace方程，考慮了滲透介質(zhì)對水體的非線性阻力和線性阻力，結(jié)合上部自由水體的Laplace方程，推導(dǎo)了一組適合滲透地形的改進(jìn)型Boussinesq型方程。在不考慮滲透情況下，該方程可以轉(zhuǎn)化為一組僅改善色散性的弱非線性Boussinesq型方程。Hsiao等[47]和Chen[48]從歐拉方程出發(fā)，分別推導(dǎo)了以某一處水深速度表達(dá)的高階Boussinesq型方程，兩文獻(xiàn)中的基本方程推導(dǎo)思路是相似的，但是后者更強調(diào)了波流相互作用、有旋引起的非線性高階項的處理和四階滲透阻力項的引入。劉忠波和孫昭晨[49]對Hsiao等[47]的一組以水深積分平均速度表達(dá)的Boussinesq型方程進(jìn)行了色散適用范圍的拓展，其后劉忠波等[50-51]又直接耦合了兩組不同高階的Boussinesq型方程和Cruz等[46]滲透介質(zhì)中水體的動量方程，最終給出了一組混合Boussinesq型方程。在充分考慮前人研究基礎(chǔ)上，劉忠波等[52]從Laplace方程出發(fā)，考慮了滲透介質(zhì)對水體的阻力效應(yīng)，推導(dǎo)出3組近似到二階完全非線性的Boussinesq型方程。這些模型考慮了一層滲透水體和一層自由水體情況。在單層滲透和多層滲透介質(zhì)中波浪傳播方程研究中，Hsiao等[53]推導(dǎo)了一組以滲透介質(zhì)某一處速度表達(dá)的Boussinesq型方程，劉忠波等[54]則推導(dǎo)了3組考慮雙層滲透介質(zhì)情況下的Boussinesq型水波方程。

無論是從Laplace方程還是從歐拉方程出發(fā)，均能推導(dǎo)出適用滲透介質(zhì)情況的Boussinesq型方程。這類方程在色散性和衰減率等性能方面取得了一定的進(jìn)展。目前，由于難以從理論層面給出不同滲透情況下的理論變淺解析，使得如何優(yōu)化變淺性能成為一個遺留的問題。另外，在衰減率性能方面的改進(jìn)仍有較大空間。

2.3.2 考慮水體密度分層

與相對成熟的自由表面波Boussinesq型方程相比，采用Boussinesq型方程考慮界面波（內(nèi)波）的研究還相對較少，但多數(shù)方程與自由表面波的研究方程有一定的聯(lián)系。在推導(dǎo)方程中，其中一個假定是密度分層（密度不連續(xù)），繼而從Laplace方程或歐拉方程出發(fā)，考慮剛蓋假定或自由面存在波動等情況，推導(dǎo)出不同形式的Boussinesq型方程。如Choi和Camassa[55-56]、Lynett和 Liu[57]、Song[58]、Liu 等[59]、Yang 等[60]以及Liu和Wang[61]等。其中Song的方程可以退化為Nwogu的Boussinesq型方程，Yang等的內(nèi)波方程退化為Madsen和Sch?ffer以水深積分平均速度表達(dá)的四階方程。

受實驗室條件的限制，采用有限水深假設(shè)研究內(nèi)波的實驗還十分稀少，這很大程度上限制了Boussinesq型內(nèi)波計算模型的發(fā)展。在大尺度范圍，內(nèi)波主要表現(xiàn)為內(nèi)孤立波等形式，采用弱非線性Boussinesq型內(nèi)波數(shù)值模擬內(nèi)孤立波的研究相對較多。在當(dāng)前海洋工程日益挺進(jìn)深遠(yuǎn)海、海洋工程裝備需求不斷增大的背景下，采用Boussinesq型方程來研究內(nèi)波尚存巨大的發(fā)展空間。

3 Boussinesq型水波方程的應(yīng)用研究

數(shù)值模型的建立是聯(lián)系Boussinesq水波理論和實際應(yīng)用的橋梁。數(shù)值模型通常建立在有限元、有限差分、有限體積以及有限差分-有限體積混合模式基礎(chǔ)上，Brocchini[62]和Kirby[63]關(guān)于Boussinesq型水波方程在數(shù)值模型計算方法等方面進(jìn)行了較好的綜述，這里我們不再展開評述，下面僅從工程與科研角度，對Boussinesq型方程在自由表面波的模擬應(yīng)用方面加以簡述。

3.1 工程中波浪的時域演化

Boussinesq型水波方程的一個主要用途是通過模擬確定對工程荷載產(chǎn)生影響的設(shè)計波浪。數(shù)值模型需要指定入射邊界條件和出口邊界條件，而入射邊界條件往往需要借助于外海推算或采用淺水波浪譜模型給出。一般來說，這類模型適用的計算區(qū)域?qū)儆谥械瘸叨?，特別是近年來GPU并行技術(shù)的發(fā)展以及高性能計算機的出現(xiàn)，促使這類水波方程的數(shù)值計算區(qū)域更大，如近期Tavakkol和Lynett[64]在Madsen和S?rensen[5]的Boussinesq型水波方程基礎(chǔ)上，基于并行技術(shù)，發(fā)展了一套CELERIS軟件，該軟件計算效率大為改善。據(jù)作者稱，計算速度比實際波浪演化快。模擬中，必須清楚認(rèn)識到現(xiàn)實中的波浪資料等推算方面存在不確定性，加上其他一些因素，實際工程中的波浪模擬并不能如科學(xué)研究那樣可以精準(zhǔn)關(guān)注某些位置點的波面位移時間歷程，這主要體現(xiàn)在波面相位的精準(zhǔn)性難有精確的現(xiàn)場衡量標(biāo)準(zhǔn)。此外，二階Boussinesq型方程很難適用于深水情況，在深水條件下，我們建議可選擇Lynett和Liu[16]的雙層水波模型（COULWAVE模型）為主要模擬工具。此外，劉忠波等[20]對該方程的色散性能和變淺性能進(jìn)行了改進(jìn)，發(fā)展了以計算速度表達(dá)的雙層水波模型可作為數(shù)值模擬的有力工具和補充。

3.2 工程中波生流的應(yīng)用研究

Boussinesq型方程大多是基于勢流理論建立起來的，因而其在本質(zhì)上不能考慮波浪破碎。為了能近似地考慮波浪破碎帶來的能量消耗，通常采用人工紊動黏性法、水滾法和渦度法。這使得Boussinesq型模型可以計算波高、波浪增減水、波浪爬高以及波生沿岸流和裂流等[65-68]。從以往計算結(jié)果與實驗結(jié)果的對比來看，統(tǒng)計量下的精準(zhǔn)度是可以接受的。波生流會驅(qū)動污染物運動和泥沙運動等物質(zhì)輸運，較小的流速誤差對污染物運動和海底泥沙輸運的精準(zhǔn)預(yù)報產(chǎn)生較大的影響，這無疑對波生流的準(zhǔn)確性提出更高要求。此外，也應(yīng)該注意Boussinesq型方程是否正確地考慮了水流的多普勒效應(yīng)[69]。從人與自然親近和諧的角度考慮，如一些海濱浴場所處的近岸海域，波浪破碎引起的離岸流（裂流）會對泳者帶來生命安全隱患。采用Boussinesq型數(shù)值模型或引入波浪輻射應(yīng)力的淺水模型對波生流進(jìn)行高效預(yù)報或應(yīng)重點考慮。

3.3 海床運動興波的研究

海床運動引起的興波可分為兩類，第一類是由地震引起的海嘯波，第二類是海底滑坡運動引起的海嘯波。準(zhǔn)確預(yù)報海嘯波抵達(dá)時間以及在近岸幅度大小均要求計算模型具有較高精度的色散性和非線性特征。近年來，一些學(xué)者應(yīng)用不同精度的Boussinesq水波模型來模擬海床運動導(dǎo)致的海嘯波產(chǎn)生、傳播演化和近岸爬高[70-73]。在這些研究中，海床運動多假定為剛體，其運動導(dǎo)致興波是通過海底運動學(xué)邊界條件實現(xiàn)的，導(dǎo)致海嘯波產(chǎn)生過程過于簡化。精確再現(xiàn)海床運動以及傳播演化中的波浪幅度，都要求模型具有較高的精度，在使用時需要注意Boussinesq型方程的適用范圍。也有學(xué)者將Boussinesq類方程用于庫區(qū)山體滑坡誘發(fā)波浪的傳播模擬，由于方程具有色散性，在模擬興波傳播過程中較不含色散性的非線性淺水方程更為準(zhǔn)確，但研究中多將滑坡體視為剛體，而實際中山體滑坡多為松散體。海床運動興波在近岸的爬高和淹沒范圍是工程界關(guān)注的焦點，計算中涉及水陸交界面，動邊界的有效處理也是不容忽視的。

3.4 工程中其他波浪問題的應(yīng)用研究

為了有效控制波浪對岸灘的侵蝕，工程師通常會建設(shè)一座或多座潛堤來消耗波浪，這類工程在海岸水域較為常見。拋石潛堤一方面反射波浪，另一方面由于潛堤中滲透孔隙與水體之間存在線性與非線性阻力，導(dǎo)致波能產(chǎn)生損耗，從而有效減少透射波浪。利用波浪Bragg反射共振原理，合理布置多座潛堤將增加波浪反射率。Boussinesq方程中含水深的一階和高階導(dǎo)數(shù)項，它們在模擬波浪與潛堤相互作用時往往產(chǎn)生重要影響，合理優(yōu)化相關(guān)參數(shù)有助于改善不同地形上的波浪反射與透射性能[74]。實踐中，工程問題多關(guān)注強浪向和常浪向，特殊情況下也會考慮其他方向來浪。方案比選中，一些防護(hù)結(jié)構(gòu)的平面布置往往需要考慮波浪條件，這可通過合理的Boussinesq模型計算得到。在研究以上問題時，必須明確：（1）完全適合各種陡坡地形的Boussinesq型方程并不存在，相關(guān)計算結(jié)果仍需結(jié)合現(xiàn)場實際情況進(jìn)行核定；（2）當(dāng)采用Bragg反射共振特性，一部分波浪能量反射回到來浪方向，這將與其他波浪疊加，或會對附近船舶的通航造成一定的威脅，此時，斷面可選用拋石潛堤，而適合滲透的Boussinesq型方程恰好適用。

Boussinesq型模型應(yīng)用范圍很廣，它還可用于研究河口波浪與水流相互作用、外海傳入的低頻波引起港灣共振、船體運動產(chǎn)生的表面波與內(nèi)波、波浪引起的泥沙運動、近岸海床演變以及作用于建筑物的波浪力等方面的計算。

4 結(jié)語

針對1967-2018年間的主要Boussinesq方程進(jìn)行了回顧，分析了常用水波方程的優(yōu)缺點。作為一類高效的計算模型，其在以下幾個方面尚存發(fā)展空間：

（1）在理論層面，Boussinesq型方程在一些特殊領(lǐng)域可得到進(jìn)一步發(fā)展和完善，如前文所述的一些方程在某些性能方面存在改進(jìn)空間。因此，我們關(guān)注點應(yīng)進(jìn)一步結(jié)合實踐需求，對適應(yīng)各種特殊情況的水波方程做相關(guān)研究，但始終應(yīng)牢記，此類方程是波浪勢流理論，研究中應(yīng)明晰適用范疇。

（2）在應(yīng)用層面，強調(diào)掌握水波方程基本理論特性基礎(chǔ)上，利用已有Boussinesq方程研究更大水深的自由表面波和內(nèi)波等水波水動力問題。同時，也應(yīng)注重發(fā)展適合深海情況的水波模型應(yīng)用，這對深水情況下Boussinesq模型的計算效率也提出了較大挑戰(zhàn)。此外，在波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用層面，強調(diào)Boussinesq模型與其他模型的耦合勢在必行。早在2002年，Qi和Wang[75]將改進(jìn)的Boussinesq型水波方程和基于VOF的Navier-Stokes模型進(jìn)行耦合，遠(yuǎn)場采用Boussinesq方程，近場采用Navier-Stokes模型，這充分考慮了兩種模型的優(yōu)點。鑒于該耦合模型中，采用的Boussinesq方程性能相對還不夠精確，三維Boussinesq方程可期望成為一個更強有力的計算工具。

Boussinesq型方程在海岸波浪水動力的應(yīng)用研究之路依然很長。一方面，仍要繼續(xù)加強基礎(chǔ)工作的理論研究，另一方面，更應(yīng)強調(diào)理論要服務(wù)于工程實踐的理念。一切理論從工程實踐中來，它們也必將到工程實踐中去加以檢驗。