張福壽 王國(guó)硯

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

0 引 言

在高層建筑風(fēng)振計(jì)算中，結(jié)構(gòu)的振型具有重要作用，尤其是基本振型，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算中往往起著主導(dǎo)作用。高層建筑基本振型理論計(jì)算的復(fù)雜性給其風(fēng)荷載和風(fēng)振響應(yīng)計(jì)算帶來(lái)了很大困難。為便于計(jì)算，各國(guó)風(fēng)荷載規(guī)范都給出了相應(yīng)的基本振型簡(jiǎn)化模型。在我國(guó)的現(xiàn)行荷載規(guī)范［1］中，采用的是正切函數(shù)形式，或者是采用規(guī)范中表G.0.3的形式。在美國(guó)、日本以及歐洲國(guó)家的風(fēng)荷載規(guī)范中，主要是采用冪函數(shù)形式，即φ1=(z/H)β［2］；其中，美國(guó)規(guī)范是簡(jiǎn)單地取 β=1，即采用線(xiàn)性振型［3］。

然而，不同高層建筑基本振型各不相同。有關(guān)文獻(xiàn)研究表明，直接采用統(tǒng)一的振型表達(dá)式計(jì)算不同結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載及風(fēng)振響應(yīng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差［4-5］。即使日本和歐洲的簡(jiǎn)化振型表達(dá)式中通過(guò)對(duì)β取不同的值而反映不同結(jié)構(gòu)的振型特點(diǎn)，其形式也過(guò)于簡(jiǎn)單，難以反映不同高層建筑的振型全貌。我國(guó)采用的正切函數(shù)振型應(yīng)理解為只適用于偏剪切型結(jié)構(gòu)，梁樞果［4］認(rèn)為采用正弦函數(shù)形式相比于與正切函數(shù)能更好反映建筑基階振型的變化特點(diǎn)；荷載規(guī)范表G.0.3給出的振型應(yīng)理解為適用于偏稍彎曲型結(jié)構(gòu)，況且其表格數(shù)據(jù)的來(lái)源也是值得探究的。

為了便于計(jì)算，在進(jìn)行理論性分析時(shí)，一般將高層建筑簡(jiǎn)化為合理的等效懸臂梁模型來(lái)考慮。目前，工程中較多是選用彎剪梁模型或者基于框架剪力墻協(xié)同工作原理的模型為簡(jiǎn)化模型。陳國(guó)興［6］將這兩類(lèi)模型應(yīng)用于高層建筑隨機(jī)地震反應(yīng)分析中，通過(guò)具體算例論證了這兩種等效梁模型在高層建筑隨機(jī)地震反映計(jì)算中的有效性。Cluni F［7］以這兩種模型來(lái)估計(jì)高層建筑物對(duì)風(fēng)荷載的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，以某高層為算例，經(jīng)計(jì)算對(duì)比表明，不管是結(jié)構(gòu)的振型還是風(fēng)致響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性，兩種簡(jiǎn)化模型與有限元數(shù)值模型的結(jié)果都具有很好的一致性。然而，由于基于等效梁模型所求得的振型函數(shù)解析表達(dá)式十分復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。因此，目前很少有學(xué)者基于這兩類(lèi)等效梁模型做深入分析并給出基階簡(jiǎn)化振型。盡管等效梁模型的振型表達(dá)式復(fù)雜，但若能通過(guò)對(duì)方程的求解過(guò)程進(jìn)行分析，得出有利于簡(jiǎn)化動(dòng)力特性的相關(guān)規(guī)律，那么這兩種等效梁模型仍將能夠得到很好的應(yīng)用。

文獻(xiàn)［8］給出了基于框架剪力墻協(xié)同工作原理建立的高層建筑框架剪力墻結(jié)構(gòu)基本振型控制方程和計(jì)算方法。本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出高層建筑框剪結(jié)構(gòu)基本振型的形狀參數(shù)，并對(duì)不同參數(shù)下的基本振型進(jìn)行非線(xiàn)性擬合分析，得出了能夠更好反映實(shí)際結(jié)構(gòu)基本振型且簡(jiǎn)單實(shí)用的振型簡(jiǎn)化模型；同時(shí)本文研究也表明，我國(guó)荷載規(guī)范中表G.0.3給出的振型屬于框剪結(jié)構(gòu)理論振型中λ= 3的情形。

1 基于框剪結(jié)構(gòu)協(xié)同工作原理的高層建筑理論振型

根據(jù)框架剪力墻協(xié)同工作原理，當(dāng)只考慮剪力墻的彎曲變形和等效框架桿的剪切變形時(shí)，高層建筑框架剪力墻結(jié)構(gòu)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“框剪結(jié)構(gòu)”）的無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程為［8］

式中：EIW為綜合剪力墻的抗彎剛度；C為框剪結(jié)構(gòu)的綜合抗剪剛度；m為連續(xù)化計(jì)算模型的線(xiàn)質(zhì)量密度。

通過(guò)求解方程（1），根據(jù)框剪結(jié)構(gòu)連續(xù)化計(jì)算模型的邊界條件，可解得頻率方程：

以及振型函數(shù)：

式中：A1為常數(shù)；k1，k2為振型參數(shù)，它們與剛度特征值λ有如下關(guān)系：

令X=z∕H為無(wú)量綱高度，并將振型（3）對(duì)φ（H）歸一化，得到

當(dāng)λ確定時(shí)，聯(lián)立式（2）和式（4）即可解出k1、k2。求出的k1、k2有無(wú)窮多組解，每一組解對(duì)應(yīng)一階固有頻率和振型。將第一組解（k11、k21）代入式（5）即可得到第一階對(duì)應(yīng)的歸一化振型。在整個(gè)求解過(guò)程中，只要λ值被確定，后續(xù)求解任一階的歸一化振型就不再與結(jié)構(gòu)的高度、質(zhì)量、剛度等參數(shù)有關(guān)。因此，剛度特征值λ不僅對(duì)框剪結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力的分配都有很大的影響，而且也是控制任意等截面框架剪力墻以及框架核心筒體系結(jié)構(gòu)等結(jié)構(gòu)體系任一階振型形狀的重要參數(shù)，每一階歸一化振型都可歸納為無(wú)量綱的相對(duì)高度X和λ這兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)。

現(xiàn)針對(duì)第1階振型（稱(chēng)為基本振型）進(jìn)行分析。首先對(duì)λ從0到40合理地取16個(gè)值，并據(jù)此確定相應(yīng)的k11、k21值，其中λ和對(duì)應(yīng)的k11值如表1所示；將k11、k21值代入式（5）即可得到相應(yīng)的16條歸一化的基本振型曲線(xiàn)，如圖1（a）所示?？梢?jiàn)，隨結(jié)構(gòu)體系的不同（反映在λ不同），高層建筑基本振型變化較大。

其中，當(dāng)λ取 3時(shí)，所得振型恰好與荷載規(guī)范中表G.0.3給出的振型相吻合，如圖1（b）所示。由此可以基本確定，荷載規(guī)范表G.0.3中給出的振型即來(lái)源于此。

表1 結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ與k11H之間的關(guān)系Table 1 Relation between structural characteristic parameter λ and k11H

2 本文提出的基本振型簡(jiǎn)化模型

從以上分析可以看出，式（3）給出的振型表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)在于具有合理的理論依據(jù)，且適應(yīng)各種常見(jiàn)的高層建筑結(jié)構(gòu)體系；缺點(diǎn)是表達(dá)式十分復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用，因此需要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。為檢驗(yàn)國(guó)外常用簡(jiǎn)化振型表達(dá)式的合理性，本文首先以式（6）作為簡(jiǎn)化振型

圖1 框剪結(jié)構(gòu)基本振型曲線(xiàn)族Fig.1 A set of fundamental mode shape curves of frameshear-wall structures

其中X=z∕H。將β作為待定系數(shù)，依次對(duì)每一個(gè)λ值對(duì)應(yīng)的振型曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，并將擬合結(jié)果與式（5）給出的振型曲線(xiàn)（圖1（a））進(jìn)行比較，如圖2（a）所示（為了便于觀察，由上到下較為均勻地抽取中λ為0、1.5、3、5、10、40對(duì)應(yīng)的擬合效果曲線(xiàn)繪于圖中）。由圖2（a）可見(jiàn)，選用這一簡(jiǎn)化振型表達(dá)式對(duì)偏剪切型的振型擬合效果不太好，也體現(xiàn)不出下彎上剪的振型特點(diǎn)。因此，本文基于相關(guān)文獻(xiàn)給出的振型表達(dá)式，通過(guò)變形、組合、退化等處理后發(fā)現(xiàn)，采用式（7）的簡(jiǎn)化振型表達(dá)式進(jìn)行非線(xiàn)性擬合，在各種情況下擬合效果都很好，如圖2（b）所示。

3 本文振型冪指數(shù)β的確定

圖2 不同簡(jiǎn)化振型式對(duì)框剪結(jié)構(gòu)基本振型曲線(xiàn)族的擬合效果Fig.2 Fitting result comparison between different simplified mode shapes for frame-shear-wall structures

由基于框剪協(xié)同工作原理的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析可知，每一個(gè)λ對(duì)應(yīng)一條振型曲線(xiàn)，而采用式（7）的簡(jiǎn)化振型對(duì)其擬合時(shí)也有相應(yīng)的一個(gè)待定系數(shù)值β，λ與β之間存在一定的映射關(guān)系。表2給出了振型簡(jiǎn)化式（7）中的振型冪指數(shù)β與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，二者的關(guān)系曲線(xiàn)如圖3中實(shí)線(xiàn)所示。

考慮到β隨λ趨于無(wú)窮時(shí)的收斂性，本文選取反正切函數(shù)式（8）來(lái)擬合二者之間的近似關(guān)系式，擬合效果如圖3中的虛線(xiàn)所示。

β(λ)=1.692+0.410arctan(0.837-0.317λ)（8）

由圖3可見(jiàn)，采用式（8）計(jì)算的β值具有很好的精度，最大誤差不超過(guò)1.25%。

表2 結(jié)構(gòu)剛度特征值λ與本文振型指數(shù)β之間的關(guān)系Table 2 Relationship between structural stiffness characteristic number λ and mode index β of this paper

由此，當(dāng)框剪結(jié)構(gòu)的λ值給定時(shí)，代入式（8）得出β值，再將β值代入式（7），可得到與實(shí)際結(jié)構(gòu)基本振型十分吻合的簡(jiǎn)化振型。其中，當(dāng)λ=0、β=1.95時(shí)，為純彎曲振型；λ取40時(shí)與取無(wú)窮大時(shí)的振型差不多，此時(shí)β=1.08，為純剪切振型；當(dāng)λ=

圖3 結(jié)構(gòu)剛度特征值λ與本文振型的指數(shù)β的關(guān)系Fig.3 Relationship between structural stiffness characteristic number λ and mode index β of this paper

3、β=1.807時(shí)，所得振型與規(guī)范表G.0.3中給出的基本振型吻合。對(duì)于剪力墻、框架等其他結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)合理選擇參數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的振型也能與式（7）很靠近。

由式（7）、式（8）和圖2（b）可以看出，本文給出的簡(jiǎn)化振型既具有很好的精度，又具有簡(jiǎn)潔的表達(dá)式和計(jì)算方法，便于工程應(yīng)用。

4 工程算例分析

為了論證本文所提出的基本振型簡(jiǎn)化模型的準(zhǔn)確性，選取三棟?rùn)M截面較為規(guī)則的高層建筑為工程算例，分析選用不同振型對(duì)這三棟典型建筑的風(fēng)致響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的影響。第一棟建筑是某電梯試驗(yàn)塔，為剪力墻結(jié)構(gòu)體系，建筑共有44層，其中1～3、層為地下室，建筑計(jì)算高度為198.9 m；第二棟建筑是某商務(wù)中心主樓，為框架剪力墻結(jié)構(gòu)，建筑地面以上共72層，計(jì)算高度為290.4 m；第三棟建筑是鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)住宅，結(jié)構(gòu)模型是參考了文獻(xiàn)［9］中的算例略作調(diào)整所得，建筑地面以上共12層，計(jì)算高度為36 m，本文在此基礎(chǔ)上添加風(fēng)荷載，進(jìn)行風(fēng)振計(jì)算。三棟建筑的具體工程概況如表3所示。

其中阻尼比統(tǒng)一取0.04，體型系數(shù)統(tǒng)一取1.4。對(duì)于加速度計(jì)算，三組算例取基本風(fēng)壓按照10年一遇依次為0.40 kPa、0.45 kPa、0.35 kPa，阻尼比統(tǒng)一取0.02。結(jié)構(gòu)的實(shí)際振型和自振周期由有限元法計(jì)算得到。結(jié)構(gòu)的等效靜力風(fēng)荷載和結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)均按我國(guó)的結(jié)構(gòu)風(fēng)工程理論和荷載規(guī)范條文說(shuō)明中的精確積分計(jì)算式進(jìn)行計(jì)算。

表3 三棟高層建筑的工程概況Table 3 The general situation of three high-rise buildings

對(duì)于算例2，結(jié)構(gòu)的剛度特征值λ=3.79，先將λ值代入式（8）得到β=1.549，再將β值代入式（7），得到本文計(jì)算的該結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化基本振型?？紤]實(shí)際建筑都會(huì)含有一定的剪切變形和彎曲變形，因此本文依次取λ=1（β=1.89）、λ=13（β=1.17）為算例1和算例3的基本簡(jiǎn)化振型。三組算例的振型曲線(xiàn)如圖4所示，可見(jiàn)本文給出的簡(jiǎn)化振型與實(shí)際振型都很吻合。

分別采用我國(guó)荷載規(guī)范［1］中表G.0.3給出的振型和正切函數(shù)振型、文獻(xiàn)［4］給出的正弦振型、（美國(guó)規(guī)范采用的）線(xiàn)性振型、本文給出的簡(jiǎn)化振型，按荷載規(guī)范［1］計(jì)算這三棟建筑的順風(fēng)向風(fēng)荷載、風(fēng)致基底剪力、基底彎矩以及頂部加速度，并與采用基于有限元法的結(jié)構(gòu)基本振型計(jì)算的相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行比較。比較結(jié)果如下：

圖4 三組算例的振型曲線(xiàn)圖Fig.4 Fundamental mode shape curves of the three sets of examples

（1）沿高度變化的風(fēng)荷載：將根據(jù)五種簡(jiǎn)化振型計(jì)算出的沿高度變化的風(fēng)荷載與根據(jù)實(shí)際振型計(jì)算的結(jié)果之間的相對(duì)誤差列于圖5。由圖5可見(jiàn)，最大誤差依次可達(dá)12%、16%、12%、10%、3%，采用本文簡(jiǎn)化振型計(jì)算的風(fēng)荷載誤差最小。

圖5 根據(jù)五種簡(jiǎn)化振型計(jì)算的風(fēng)荷載沿高度分布的誤差Fig.5 Relative errors of distributed horizontal wind loads calculated in terms of five simplified mode shapes

（2）基底總剪力、基底總彎矩和頂部加速度響應(yīng)：由表4-表6可看出，在這三組算例中，對(duì)于基底剪力，按規(guī)范表格振型、正切振型、正弦振型、線(xiàn)性振型計(jì)算的最大偏差依次為4.87%、3.49%、4.50%、2.5%；對(duì)于基底彎矩，與這四類(lèi)簡(jiǎn)化振型對(duì)應(yīng)的結(jié)果最大偏差依次為2.78%、1.17%、2.43%、1.02%；對(duì)于頂部順風(fēng)向加速度響應(yīng)，最大偏差依次為18.34%、12.64%、10.22%、12.86%。

雖然以往文獻(xiàn)的某些簡(jiǎn)化振型對(duì)某一組算例的響應(yīng)結(jié)果可能偏差不大，但綜合考慮三組算例，總體偏差還是比較明顯。而選用本文的簡(jiǎn)化振型，不管是對(duì)哪一組算例，所計(jì)算得到的基底剪力和基地彎矩最大偏差均在1%內(nèi)；對(duì)于頂部加速度響應(yīng)，最大偏差也很小，不超過(guò)1.3%。

表4 不同簡(jiǎn)化振型下的基底剪力及其偏差Table 4 Base shear and the relative errors calculated in terms of different simplified mode shapes

表5 不同簡(jiǎn)化振型下的基底彎矩及其偏差Table 5 Base moment and the relative errors calculated in terms of different simplified mode shapes

表6 風(fēng)致頂部加速度響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果和偏差Table 6 Acceleration and the relative errors calculated in terms of different simplified mode shapes

總體上可以看出，簡(jiǎn)化振型的不同，對(duì)風(fēng)致響應(yīng)計(jì)算結(jié)果會(huì)有明顯的偏差，尤其對(duì)于風(fēng)荷載分布以及頂部加速度。而采用本文給出的振型，相對(duì)能更好地反映建筑的實(shí)際振型，從而使風(fēng)振計(jì)算結(jié)果的偏差大幅降低。事實(shí)上，為驗(yàn)證本文簡(jiǎn)化振型的適用性，本文從有關(guān)資料中收集了10余組由有限元法計(jì)算得到的高度在60 m至300 m之間且近似滿(mǎn)足等截面均質(zhì)假定的高層建筑基本振型，采用本文的簡(jiǎn)化振型對(duì)這10組振型進(jìn)行擬合，結(jié)果也很吻合；風(fēng)荷載和風(fēng)致響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的誤差也都很小。限于篇幅，在此不一一展示計(jì)算結(jié)果。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上根據(jù)高層建筑框架剪力墻結(jié)構(gòu)體系的理論振型歸納出控制框剪結(jié)構(gòu)基本振型形狀的參數(shù)-結(jié)構(gòu)剛度特征值λ；通過(guò)對(duì)與不同λ值相對(duì)應(yīng)的理論振型曲線(xiàn)族進(jìn)行非線(xiàn)性擬合，得出基本振型簡(jiǎn)化模型，并給出了通過(guò)結(jié)構(gòu)剛度特征值λ計(jì)算振型指數(shù)β的簡(jiǎn)化方法；最后，將本文簡(jiǎn)化振型應(yīng)用到三組實(shí)際高層建筑的風(fēng)荷載和風(fēng)致響應(yīng)計(jì)算中。

研究結(jié)果表明，運(yùn)用本文簡(jiǎn)化振型進(jìn)行高層建筑的風(fēng)荷載和風(fēng)致響應(yīng)計(jì)算，能更為準(zhǔn)確地反映不同結(jié)構(gòu)體系的基本振型對(duì)風(fēng)荷載計(jì)算結(jié)果的影響，提高風(fēng)荷載和結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)的計(jì)算精度，且振型表達(dá)式簡(jiǎn)單實(shí)用。同時(shí)，基于本文的分析可基本確定，我國(guó)荷載規(guī)范中以表G.0.3給出的振型來(lái)源于框剪結(jié)構(gòu)理論振型中λ= 3的情形。此外，可以預(yù)料，本文簡(jiǎn)化振型不僅可應(yīng)用于高層建筑風(fēng)致響應(yīng)計(jì)算，而且也可應(yīng)用于高層建筑抗震設(shè)計(jì)計(jì)算中。

需要說(shuō)明的是，本文給出的基本振型簡(jiǎn)化模型只適用于具有任意形狀對(duì)稱(chēng)截面的等截面勻質(zhì)高層建筑。對(duì)于變截面、具有彎扭耦合效應(yīng)、非懸臂型等其他形狀的高層建筑，則還有待進(jìn)一步研究。

致謝 感謝同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室全涌教授為本文算例提供的無(wú)私幫助。