黃娟霞

變上限積分函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中比較重要且較為復(fù)雜的一類函數(shù)，是定積分基本公式的理論基礎(chǔ)，是溝通微分學(xué)與積分學(xué)之間的橋梁，也是應(yīng)用非常廣泛的一類函數(shù)［1-3］.而變上限定積分的求導(dǎo)是研究變上限定積分的關(guān)鍵，它有不同于一般函數(shù)求導(dǎo)的獨(dú)特之處.涉及變上限積分函數(shù)的相關(guān)問題往往有一定的難度，解決起來較為困難［4-5］.因此，本文在以往研究的基礎(chǔ)上，給出了變上限積分函數(shù)在求極限及求導(dǎo)等幾方面的應(yīng)用，依此闡述相關(guān)問題的解決方法.

1 預(yù)備知識

定 義1［5］設(shè) 函 數(shù)f(x) 是 定 義 在 閉 區(qū) 間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，x為閉區(qū)間[a,b]上的任意一點(diǎn)，當(dāng)x在閉區(qū)間[a,b] 上任意變動時，對于每一個確定的x值，都有一個與之相對應(yīng)，因此可看作自變量為x的函數(shù)，稱為變上限積分函數(shù)，記作Φ(x)=

定理1［6］設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即

推論2［7］設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，且函數(shù)u=φ(x) 在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在閉區(qū)間[a,b] 上可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)為

推論3［7］設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，且函數(shù)u1=φ1(x) ，u2=φ2(x) 在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則函數(shù)在 閉 區(qū) 間[a,b]上可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)為

定理2［8］如果函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且函數(shù)F(x) 是函數(shù)f(x) 的一個原函數(shù)，則有

2 變上限積分函數(shù)可導(dǎo)性的應(yīng)用

2.1 極限問題

在許多求極限的問題中，往往涉及變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，而且經(jīng)常與等價無窮小代換方法結(jié)合使用.這幾類問題融合在一起，給函數(shù)極限的求解帶來了較大難度.

解 由于f(t)=sint2在閉區(qū)間[0,x] 上是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)定理1，得

2.2 極值問題

函數(shù)的極值問題是分析學(xué)中重要且較難的問題之一，變上限積分函數(shù)由于情況復(fù)雜，難度較大，因而關(guān)于它的極值問題更是晦澀難懂.例4 求函數(shù)的極值.

圖1 由sinx 圍成的封閉面積S1 及S2

令S=S1+S2，則于 是，令得駐點(diǎn)為.由 于 當(dāng)時，，因 此 可 知為函數(shù)S的極小值點(diǎn)，極小值為

從上面的求解實(shí)例可以看出，在函數(shù)求極值問題中，當(dāng)遇到變上限積分函數(shù)時，往往需要先對其形式進(jìn)行變換，這里也涉及對積分變量進(jìn)行代換，變換后符合變上限積分函數(shù)求導(dǎo)定理的要求時，再對其進(jìn)行求導(dǎo)，如果不注意對變上限積分函數(shù)真正的形式的區(qū)別，很可能會得出錯誤的結(jié)論.

2.3 求導(dǎo)問題

求導(dǎo)問題也稱為求微分問題，這類問題是數(shù)學(xué)分析中比較基礎(chǔ)且又比較重要的一類問題.它會隨著函數(shù)復(fù)雜程度的增加求導(dǎo)難度也加大.變上限積分函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，應(yīng)用較為廣泛，對它進(jìn)行求導(dǎo)也尤為重要，但因其形式復(fù)雜，不易求解，因此有必要對其通過實(shí)例求解進(jìn)行方法探究，更好地總結(jié)對其求導(dǎo)的各種方法，以便為這類問題的解決提供一定的參考.

解

例7 設(shè)函數(shù)f(x) 為連續(xù)函數(shù)，且滿足，其 中，a≠0,b＞0，求函數(shù)f(x).

根據(jù)題意易知f(0)=0 ，由（1）式可知f′(0)=a，因此要求函數(shù)f(x)就轉(zhuǎn)化為求解滿足初始條件f(0)=0 和f′(0)=a的二階微分方程f″(x)-f(x)=aex的解.

此二階微分方程的通解為f(x)=C1ex+將初始條件代入其中，得，從而

通過此題可以看出，求解未知函數(shù)解析式時，當(dāng)未知函數(shù)中仍然含有函數(shù)的積分時，常將等式兩邊分別求導(dǎo)，將其化為不再含有積分的式子.

例8 設(shè) 函數(shù)，試 求

解 令u=x+t，則當(dāng)t=0 時，u=x，當(dāng)t=x時，u=2x，從而原函數(shù)可化為f(x)=從 而

解 函數(shù)f(x)可化簡為

當(dāng)x≤0 時

當(dāng)x≥2 時

當(dāng) 0 ＜x＜2 時

通過上面的例題可以看出，變上限積分函數(shù)，當(dāng)積分上限是單獨(dú)一個自變量時，可以直接應(yīng)用定理1 對其進(jìn)行求導(dǎo).當(dāng)積分的上限是自變量的函數(shù)時，此時對函數(shù)求導(dǎo)即為變上限積分函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)，可以按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行.另外，如果一個含有自變量的函數(shù)與變上限積分函數(shù)乘積后求導(dǎo)，可以將其看作是兩個乘積函數(shù)的求導(dǎo)，可按照乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，遇到變上限積分函數(shù)時，再按照變上限積分函數(shù)求導(dǎo)定理進(jìn)行即可.當(dāng)遇到被積函數(shù)的自變量中有積分變量，同時積分上限又有積分變量的情況時，這類問題在對函數(shù)求導(dǎo)前需要對被積函數(shù)進(jìn)行變量代換，待積分變量換為新的變量時，再對變換后的新的變上限積分函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可.

3 結(jié)論

本文針對數(shù)學(xué)分析中比較重要的一類函數(shù)——變上限積分函數(shù)進(jìn)行了研究，給出了該類函數(shù)在求極限、求極值和求導(dǎo)等幾方面的應(yīng)用，從中不難看出，變上限積分函數(shù)是由于積分上限的變化而生成的函數(shù)，該函數(shù)較為復(fù)雜，而且涉及這類函數(shù)的問題應(yīng)用范圍較廣.因此，凡是涉及該類函數(shù)的相關(guān)問題都是比較難于解決的問題.本文提到了幾種變上限積分函數(shù)的實(shí)際問題，除此之外，還有一些變上限積分函數(shù)的實(shí)際問題沒有提到，這類問題有待于今后進(jìn)一步深入探究.