郭俊鋒，劉世潤

（蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

當(dāng)機(jī)械設(shè)備發(fā)生故障時一般都伴隨著振動的變化，并且通過振動和振動產(chǎn)生的噪聲表現(xiàn)出來。通過對這些振動信號進(jìn)行監(jiān)測分析可以提前預(yù)示和定位故障，以及了解故障原因及惡化程度并及時避免故障的發(fā)生?；谡駝颖O(jiān)測技術(shù)設(shè)備的故障診斷十分復(fù)雜，涉及到多個領(lǐng)域和技術(shù)，其中數(shù)據(jù)采集就是其中的一個關(guān)鍵核心技術(shù)。隨著機(jī)械設(shè)備朝智能化、精密化、高速化方向不斷發(fā)展，機(jī)械振動信號的頻帶也越來越寬，以傳統(tǒng)Shannon-Nyquist采樣理論對其進(jìn)行采樣將帶來海量數(shù)據(jù)的傳輸、存儲和計(jì)算等一系列問題。有時機(jī)械設(shè)備發(fā)生故障所造成的強(qiáng)烈振動沖擊中含有的頻率很高，需要以極高的速率對其進(jìn)行采樣，現(xiàn)有的模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換器（Analog to Digital Convertor，ADC）技術(shù)也難以達(dá)到如此高的采樣速率要求，這樣一來就會造成信息的丟失，不能及時的反映出故障，輕則造成機(jī)械設(shè)備的壽命縮短，重則釀成嚴(yán)重的工程事故。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器[1-3]是一種利用壓縮感知[4-6]（Compressive Sensing，CS）原理對信號進(jìn)行模擬信息轉(zhuǎn)換（Analog-to-Information Conversion，AIC）[7-9]的采樣方案，可以實(shí)現(xiàn)對信號的亞奈奎斯特速率采樣。同時MWC還具有適用信號類型范圍廣、計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)、硬件成本低等優(yōu)點(diǎn)。因此，MWC采樣方案一經(jīng)提出便得到了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注和研究。文獻(xiàn)[10]提出了一種簡單的MWC隨機(jī)序列生成方法，實(shí)現(xiàn)了只需單個移位寄存器通過簡單的循環(huán)和移位便可產(chǎn)生用于MWC采樣系統(tǒng)所有采樣通道中進(jìn)行信號調(diào)制的隨機(jī)序列，仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法幾乎具有最佳的重構(gòu)性能。文獻(xiàn)[11]將MWC采樣前端的低通濾波器替換為一個積分器，使得改進(jìn)后的MWC方案能較好的適用于對高頻脈沖信號的采樣。針對MWC采樣系統(tǒng)在譜帶帶寬差異較大的情況下存在采樣速率冗余的問題，文獻(xiàn)[12]提出一種面向信息帶寬的頻譜感知方法，通過利用譜帶寬度先驗(yàn)信息放寬對混頻函數(shù)頻率的限制。文獻(xiàn)[13]針對MWC現(xiàn)有重構(gòu)算法準(zhǔn)確重構(gòu)所需通道數(shù)與理論值存在較大差距的問題提出了一種基于奇異值分解（singularvaluedecomposition，SVD）和多重信號分類多信號分類（multiplesignalclassification，MUSIC）的重構(gòu)算法，實(shí)驗(yàn)表明該算法在一定條件下重構(gòu)所需的最低通道數(shù)已接近理論下限值。機(jī)械設(shè)備結(jié)構(gòu)復(fù)雜、工作環(huán)境往往比較惡劣，設(shè)備工況的改變以及故障的發(fā)生等都會使得機(jī)械振動信號產(chǎn)生不規(guī)律的波動和沖擊，因此機(jī)械振動信號幾乎都屬于非平穩(wěn)信號。從故障診斷的角度來看，一方面非平穩(wěn)振動信號包含著比平穩(wěn)振動信號更豐富的信息，可以反映出更多的設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)信息；另一方面非平穩(wěn)振動信號的采樣難度較大，需要對采樣系統(tǒng)的采樣速率、數(shù)據(jù)存儲傳輸及信號恢復(fù)等問題考慮更加周全才能準(zhǔn)確的捕捉到機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過程中的故障信息。

提出一種基于MWC的機(jī)械振動信號采樣方法，在不丟失有用信息的前提下實(shí)現(xiàn)對機(jī)械振動信號的亞奈奎斯特速率采樣，重點(diǎn)解決傳統(tǒng)采樣方法造成的采樣數(shù)據(jù)量大、采樣速率高等問題。論文結(jié)構(gòu)安排如下：首先簡要分析MWC的工作原理，之后根據(jù)測試機(jī)械振動信號的先驗(yàn)信息設(shè)計(jì)合理的MWC采樣參數(shù)，最后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證方案的可行性。

2 基于MWC的機(jī)械振動信號檢測方法

2.1 MWC工作原理

MWC采樣系統(tǒng)，如圖1所示。輸入信號x（t）同時進(jìn)入m個采樣通道，每個通道由一個混頻乘法器、一個低通濾波器和一個低速ADC組成。在第i（1≤i≤m）個通道中，信號x（t）首先與周期為Tp混頻函數(shù)pi（t）相乘進(jìn)行頻譜混疊，目的是將信號的高頻部分搬移并疊加到基帶頻率處；之后，混頻信號zi（t）通過截止頻率為fp=1/2T的低通濾波器H（t）進(jìn)行低通濾波得到濾波信號ci（t）；最后ADC以1/T的速率對濾波信號采樣得到采樣序列yi［n］。由于每個通道的采樣率都足夠的低，因此現(xiàn)有的ADC設(shè)備就可以滿足工作需要。

圖1 MWC系統(tǒng)方框圖Fig.1 A Block Diagram of MWC

系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)主要有采樣通道個數(shù)m，采樣率1/T，混頻函數(shù)的周期Tp以及混頻函數(shù)pi（t）?；祛l函數(shù)pi（t）是一個偽隨機(jī)周期信號Tp在一個周期內(nèi)其值變化M次，通常情況下選擇取值為±1的m序列作為pi（t）。

下面對MWC的工作原理進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，定義采樣頻率區(qū)間：

則采樣序列yi［n］中只包含位于頻率區(qū)間Fs上的頻譜采樣值。因此，采樣序列yi［n］的離散時間傅里葉轉(zhuǎn)換（discrete time fourier transform，DTFT）為：

式中：cil—混頻函數(shù)pi（t）的傅里葉系數(shù)；L0—以fp為單位長度將輸入信號的最高頻率平移L0次后恰好落在頻率區(qū)間Fs上，但平移L0+1次后便超出Fs，也即：

式中：fs（fs=1/T）—ADC的采樣頻率；［·］—向上取整。方便起見，

將式（4）寫作下面的矩陣形式：

式中：y（f）—一個長度為m的向量，第i項(xiàng)yi（f）=Yi（ej2πfTs），1≤i≤m；矩陣 A 由傅里葉系數(shù) cil構(gòu)成，且有 Ail=ci，-l；z（f）是一個長度為L=2L0+1的向量，其第i項(xiàng)為zi（f）=X（f+（i-L0-1）fp），1≤i≤L。

2.2 信號恢復(fù)

從采樣序列yi［n］中恢復(fù)信號x（t）的關(guān)鍵在于找到信號的支撐集S，也即向量z（f）中非零位置的索引值，其定義為：

令矩陣AS為矩陣A由支撐集S索引的列向量構(gòu)成的子矩陣，向量zs（f）為向量z（f）中由S索引的項(xiàng)，一旦得到支撐集S，則有：

由于f在區(qū)間Fs上連續(xù)取值，因此線性方程（5）是無限測量向量（Infinite Measurement Vectors，IMV）系統(tǒng)，求解支撐集S需要進(jìn)行無限多次迭代屬于NP-hard問題。針對此問題，文獻(xiàn)[1]提出一種連續(xù)-有限（Continuous to Finite，CTF）的方法，該方法首先將無限測量向量問題轉(zhuǎn)換為多重測量向量（MultipleMeasurementVectors，MMV）問題，然后運(yùn)用壓縮感知相關(guān)重構(gòu)算法求解支撐集，CTF流程，如圖2所示。

圖2 CTF原理框圖Fig.2 The Schematic Diagram of Continuous to Finite（CTF）

支撐集記錄S的是稀疏解U0中非零元素所在位置的索引值，如圖2所示。有限維框架V通過下式進(jìn)行構(gòu)造：

y［n］=［y1［n］，…，yk［k］］T表示在時刻 nT 的觀測數(shù)據(jù)，任何滿足Q=VVH的矩陣V都可作為觀測向量y（f）的一個有限維框架。獲得框架V之后求解線性方程V=AU屬于MMV問題，可用壓縮感知中的同步正交匹配追蹤算法（Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP）來求解支撐集 S。

2.3 振動信號的檢測方法

基于MWC的機(jī)械振動信號檢測方法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）從美國凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫中提取振動數(shù)據(jù)；

（2）在時域和頻域中對軸承振動信號進(jìn)行觀察，得到實(shí)驗(yàn)信號的先驗(yàn)信息；

（3）根據(jù)實(shí)驗(yàn)信號的先驗(yàn)信息及頻譜劃分方式設(shè)計(jì)合理的MWC采樣系統(tǒng)參數(shù)；

（4）MWC對輸入信號采樣得到觀測數(shù)據(jù)；

（5）使用CS重構(gòu)算法完成信號恢復(fù)；

（6）調(diào)整MWC的相關(guān)參數(shù)和信號劃分譜帶的帶寬，重復(fù)步驟（2～6）。

基于MWC的機(jī)械振動信號檢測方法流程圖，如圖3所示。

圖3 基于MWC的機(jī)械振動信號檢測方法流程圖Fig.3 The Flow Chart of Signal Detection of Mechanical Vibration Based on MWC

下面根據(jù)實(shí)驗(yàn)所選機(jī)械振動信號設(shè)計(jì)合理的MWC采樣系統(tǒng)進(jìn)行信號仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)信號選用美國凱斯西儲大學(xué)（CWRU）軸承研究中心的軸承數(shù)據(jù)，軸承型號為6205-2RS JEM SKF，軸承類型為深溝球軸承，轉(zhuǎn)速為1797r/min，采樣頻率為48KHz，電機(jī)無加載負(fù)荷。軸承故障點(diǎn)采用電火花方式加工生成，故障點(diǎn)位于軸承外圈6點(diǎn)鐘方向，大小為0.021″。根據(jù)CWRU提供的資料，外圈發(fā)生故障時其故障頻率為：

式中：fr=29.95Hz—軸承轉(zhuǎn)頻。實(shí)驗(yàn)信號的時域波形圖及細(xì)節(jié)圖，如圖 4（a）、圖 4（b）所示。

從軸承振動信號時域波形細(xì)節(jié)圖中可以看出故障點(diǎn)的振動通過周期沖擊波形表現(xiàn)，并且在軸承再一次經(jīng)過故障點(diǎn)之前迅速衰減。圖4（c）所示分別是實(shí)驗(yàn)信號的頻譜圖，由于軸承振動信號為實(shí)信號，因此其頻譜圖呈對稱形狀；從圖4（c）中可以看出，信號的能量主要集中在（0～4）kHz的頻率區(qū)間，在此區(qū)間之外的頻率幅值接近于零。在（0～4）kHz的頻率區(qū)間內(nèi)可以根據(jù)信號能量集中程度對頻譜進(jìn)行劃分，劃分區(qū)間的寬度決定了信號頻譜所包含的子帶個數(shù)及子帶帶寬，并直接影響著MWC系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)。MWC采樣系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)所需要的硬件，包括混頻器、低通濾波器、模擬-數(shù)字采樣器等與采樣通道的個數(shù)成正比，因此，減少通道個數(shù)可以降低硬件實(shí)現(xiàn)的成本。軸承振動信號頻譜細(xì)節(jié)圖，如圖4（d）所示。選取了圖 4（c）左半部分對稱頻譜中（0～4）kHz的頻譜。

圖4 軸承振動信號時域波形及頻譜圖Fig.4 Time Domain Waveform and Spectrum Diagram of Bearing Vibration Signal

軸承外圈發(fā)生故障時的頻譜成分較為簡單，主頻為故障頻率，實(shí)驗(yàn)信號包絡(luò)譜，如圖5所示。從圖中可以看出其頻譜主要由軸承轉(zhuǎn)頻 fr、故障頻率 fo及其諧波 2fo、3fo、4fo等成分組成，若實(shí)驗(yàn)中MWC采樣系統(tǒng)重構(gòu)信號的包絡(luò)譜中含有fo及其諧波成分，則可認(rèn)為軸承有故障頻率為fo的外環(huán)故障。

圖5 軸承振動信號包絡(luò)譜Fig.5 The Envelope Spectrum of Bearing Vibration Signal

在MWC采樣中，采樣通道個數(shù)的減少是以提高M(jìn)WC采樣系統(tǒng)的總體采樣率為代價的，因此有必要對不同的頻譜劃分區(qū)間大小進(jìn)行對比，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。軸承振動信號頻譜的兩種劃分方式，如圖6所示。在（0～4k）Hz的頻率區(qū)間內(nèi)劃分出了2 個子帶，子帶的最大帶寬 2kHz，如圖 6（a）所示。將（0～4）kHz的頻率區(qū)間細(xì)劃分為4個子帶，子帶的最大帶寬為1kHz，如圖6（b）所示。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的參數(shù)：由軸承振動信號頻譜的對稱性可知實(shí)驗(yàn)信號譜帶個數(shù)為（0～4）kHz的頻率區(qū)間內(nèi)劃分譜帶個數(shù)的兩倍。若劃分譜帶的最大帶寬為Bmax，則實(shí)驗(yàn)信號的頻譜可以劃分為L=fnva/Bmax個寬度為Bmax的譜帶。為了避免邊沿效應(yīng)，L的取值應(yīng)略小于計(jì)算值；為保證準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號，采樣通道個數(shù)取為子帶個數(shù)的4倍，表1所示是兩種頻譜劃分方式下的MWC采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)。

圖6 軸承振動信號頻譜的兩種劃分方式Fig.6 Two Kinds of Division Methods of Bearing Vibration Signal Spectrum

表1 兩種頻譜劃分方式下的MWC參數(shù)Tab.1 The Parameter of MWC Under Two Kinds of Spectrum Division Methods

從表1可以看出，采樣通道數(shù)隨著譜帶個數(shù)的增加成比例增大，但是MWC系統(tǒng)的總體采樣率fΣ卻在減少。在單個通道ADC的采樣率方面，當(dāng)子帶個數(shù)等于4時對應(yīng)的采樣率fs是子帶個數(shù)等于8的一倍多，因此頻譜劃分的越細(xì)ADC的采樣速率越低；當(dāng)軸承振動信號譜帶個數(shù)分別為N=4和N=8時，MWC采樣系統(tǒng)總體采樣速率對比于實(shí)驗(yàn)信號的奈奎斯特速率分別降低了30.33%和32%。

2.4 重構(gòu)效果

根據(jù)表2計(jì)算的參數(shù)設(shè)計(jì)合理的MWC采樣系統(tǒng)對軸承振動信號進(jìn)行低速采樣并進(jìn)行信號重構(gòu)，重構(gòu)信號的包絡(luò)譜，如圖6所示。

圖7 兩種頻譜劃分方式下MWC重構(gòu)信號效果Fig.7 Reconstruction Performance of MWC Under Two Kinds of Spectrum Division Methods

原始軸承信號包絡(luò)譜圖5和重構(gòu)信號包絡(luò)譜圖對比可以看出，重構(gòu)信號包絡(luò)譜除了在幅值方面與原始信號包絡(luò)譜有稍微的誤差，其精確的重構(gòu)出了原始信號的轉(zhuǎn)頻、故障頻率及其諧波成分。

2.5 信號頻譜劃分方式和MWC采樣通道數(shù)對信號重構(gòu)的影響

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所述方法的性能，下面進(jìn)行兩組實(shí)驗(yàn)研究不同頻譜劃分方式和采樣通道個數(shù)與重構(gòu)誤差之間的關(guān)系。重構(gòu)誤差按均方誤差計(jì)算，定義如下：

式中：x—原始信號；xrec—重構(gòu)信號。

2.5.1 MWC采樣通道數(shù)對信號重構(gòu)的影響

本次實(shí)驗(yàn)在前文實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上分析了采樣通道數(shù)與重構(gòu)誤差之間的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)中m的取值范圍為（2～8）N，針對每個m取值進(jìn)行100次重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，誤差取平均值。子帶個數(shù)分別取N=4和N=8時，如圖8所示。采樣通道數(shù)與重構(gòu)誤差之間的關(guān)系。

圖8 譜帶寬度不同，采樣通道數(shù)與重構(gòu)誤差的關(guān)系Fig.8 The Relationship of Sampling Channels and Reconstruction Error Under Different Spectrum Bandwidth

由圖8的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)采樣通道數(shù)m在（2～4）N范圍取值時，信號重構(gòu)誤差隨著采樣通道數(shù)的增加迅速降低，并且當(dāng)m=2N時，譜帶數(shù)N=4對應(yīng)的重構(gòu)誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于譜帶數(shù)N=8；當(dāng)采樣通道數(shù)m≥4N時，信號重構(gòu)誤差逐漸趨于平穩(wěn)；在實(shí)際信號采樣中，采樣通道數(shù)的選擇應(yīng)在信號重構(gòu)精度和采樣系統(tǒng)硬件成本之間權(quán)衡，采樣通道數(shù)取值較小時信號重構(gòu)誤差較大、重構(gòu)效果差；取值較大時盡管信號重構(gòu)穩(wěn)定、重構(gòu)誤差小，但是大大增加了MWC硬件實(shí)現(xiàn)的成本。因此，采樣通道個數(shù)的選取只需保證能夠準(zhǔn)重構(gòu)出原始信號的故障頻率即可。

2.5.2 信號頻譜劃分方式對信號重構(gòu)的影響

由表1的結(jié)果可知劃分譜帶的寬度對MWC采樣系統(tǒng)的采樣速率有較大影響，本次實(shí)驗(yàn)在（0～4）kHz信號能量較為集中的頻率區(qū)間上分別以 2kHz、1kHz、500Hz、250Hz、100Hz、50Hz劃分寬度對軸承振動信號的頻譜進(jìn)行細(xì)化，對應(yīng)的譜帶個數(shù)分別為2、4、8、16、32、80、160。實(shí)驗(yàn)中針對不同的譜帶數(shù)進(jìn)行 100 次重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，誤差取平均值，測試結(jié)果，如表2所示。

表2 不同譜帶寬度下的MWC重構(gòu)效果Tab.2 Reconstruction Performance of MWC Under Different Spectrum Bandwidth

從表2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，MWC采樣系統(tǒng)的總體采樣率和重構(gòu)誤差隨著劃分譜帶帶寬的減小而降低，但是準(zhǔn)確重構(gòu)所需的最少采樣通道數(shù)卻成比例增加。因此，頻譜劃分的越細(xì)，采樣系統(tǒng)硬件成本越高。在實(shí)際采樣中，應(yīng)根據(jù)信號重構(gòu)精度要求和硬件成本合理的劃分譜帶寬度從而達(dá)到理想的采樣效果。

3 結(jié)論

傳統(tǒng)的Shannon-Nyquist采樣方法對軸承信號進(jìn)行采樣造成了海量數(shù)據(jù)的傳輸、存儲和計(jì)算等一系列問題，有時軸承發(fā)生故障所造成的強(qiáng)烈振動沖擊中含有的頻率很高，進(jìn)行采樣的奈奎斯特頻率已經(jīng)超出了現(xiàn)有采樣設(shè)備所能達(dá)到的最高頻率，這樣一來就會造成信息的丟失。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)突破了奈奎斯特采樣速率的約束，以遠(yuǎn)低于奈奎斯特速率對信號進(jìn)行采樣，并能準(zhǔn)確重構(gòu)出原始信號。將調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)應(yīng)用于軸承振動信號的采樣，在不丟失振動信號信息的情況下，大大減少了采樣數(shù)據(jù)量。從重構(gòu)信號包絡(luò)譜來看，其準(zhǔn)確的恢復(fù)出了原始信號的故障頻率信息，對軸承故障信息的預(yù)測提供了有力的保障。