聶 帥，康宇軒，肖云峰, ， 杜文海

(1.北京工業(yè)大學 環(huán)境與能源工程學院，北京 100124；2.北京石油化工學院 機械工程學院，北京102617)

旋轉(zhuǎn)機械在基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)和工業(yè)發(fā)展過程中發(fā)揮著極其重要的作用，諸如壓縮機、透平膨脹機等旋轉(zhuǎn)機械被廣泛應(yīng)用于能源、化工生產(chǎn)等過程中，其中轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)是該類機械的核心部件。透平膨脹機是一種高速旋轉(zhuǎn)機械，其轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)情況決定著透平膨脹機能否正常工作，并影響其使用壽命。由于轉(zhuǎn)子具有旋轉(zhuǎn)的特質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的陀螺力矩會影響轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率在數(shù)值上的變化。透平膨脹機在運轉(zhuǎn)過程中，其轉(zhuǎn)動速度不會因為某些載荷加入而發(fā)生巨大的變化，陀螺效應(yīng)會使透平膨脹機的轉(zhuǎn)子保持慣性繼續(xù)旋轉(zhuǎn)。但轉(zhuǎn)子的慣性力會對臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生一定的影響。因此考慮陀螺效應(yīng)的影響，對于研究透平膨脹機轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的橫向振動具有重要意義。張文[1]介紹了求解哈密頓正定陀螺系統(tǒng)特征值的求解方法。Loan[2]、鐘萬勰[3]均提出了一種計算一般哈密頓矩陣的方法,二者均是利用解析法研究陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的影響，但是使用解析法很難全面考慮陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的影響。研究發(fā)現(xiàn)使用三維有限元法可以充分考慮該影響[4]。孫虎兒等[5]建立了考慮動不平衡狀態(tài)下的陀螺力矩的橫向-軸向耦合振動微分方程，通過數(shù)值模擬分析發(fā)現(xiàn)陀螺效應(yīng)使得轉(zhuǎn)軸出現(xiàn)了軸向振動。隋永楓等[6]結(jié)合動力環(huán)向轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對實際模型的影響，使用狀態(tài)空間法求解陀螺系統(tǒng)的本征值，研究了轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)對進動角速度、振型以及臨界角速度的影響。湯華濤等[7]采用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法計算了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的固有頻率，研究發(fā)現(xiàn)陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的橫向振動影響很大，得出陀螺效應(yīng)的存在改變了轉(zhuǎn)子的共振區(qū)域的范圍。郭雨等[8]以箔片軸承支撐的高速透平膨脹機為研究對象，通過實驗和仿真的方法研究了軸承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的影響。

本文以透平膨脹機轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)為研究對象，使用DyRoBes-Rotor模塊對具有相同外徑、不同內(nèi)徑轉(zhuǎn)軸的透平膨脹機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行模態(tài)分析，獲得剛度變化對不同轉(zhuǎn)子前3階臨界轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律。通過對是否考慮陀螺效應(yīng)的不同質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速值及其偏差值進行對比，研究陀螺效應(yīng)對不同質(zhì)量的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的橫向振動的影響規(guī)律。

1 有限元轉(zhuǎn)子動力學模型

本文針對透平膨脹機建立的有限元轉(zhuǎn)子動力學模型由軸段單元、輪盤單元和軸承單元構(gòu)成。對軸段單元的有限元分析，采用梁理論并考慮其剪切應(yīng)變和陀螺效應(yīng)。根據(jù)一般梁理論，可以得到軸段單元的剛度矩陣、質(zhì)量慣性矩陣、轉(zhuǎn)動慣性矩陣和陀螺力矩陣[9]。

由能量法可得到梁單元的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M表達式，分別為：

(1)

(2)

式中：E為彈性模量；I為梁的轉(zhuǎn)動慣量；A為梁單元的橫截面積；ρ為線密度。

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學知識，可得梁單元的陀螺矩陣表達式：

(3)

式中：J為梁單元的極慣性矩；Ω為梁單元的轉(zhuǎn)速。其中J表達式為：

(4)

得到剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣后，利用動力學原理可得梁單元的動力學方程：

(5)

動力學方程矩陣展開式為：

(6)

2 剛度對不同質(zhì)量轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速影響分析

2.1 動壓氣浮透平膨脹機模型

在DyRoBes-Rotor模塊中繪制透平膨脹機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型圖，其中圖1為原始設(shè)計模型，其質(zhì)量為458.8 g，長度為194.2 mm。保持原始設(shè)計模型的壓氣機、渦輪、拉桿及轉(zhuǎn)軸外徑不變，僅改變轉(zhuǎn)軸內(nèi)徑尺寸，獲得改進型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型如圖2所示，其質(zhì)量為522.6 g，長度為194.2 mm。兩種轉(zhuǎn)子系統(tǒng)使用相同型號的氣體軸承。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)原始模型

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)改進型模型

2.2 動壓氣體軸承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速影響研究

在實際工作中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)-軸承之間存在耦合作用。受轉(zhuǎn)子的運動狀態(tài)影響，軸承的剛度特性不斷改變，同樣，轉(zhuǎn)子運行狀態(tài)也會受到軸承剛度變化的影響而發(fā)生改變。這種耦合作用的存在使得轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)表現(xiàn)出強烈的非線性特征。探究動壓氣體軸承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速影響時，在DyRoBes-Rotor模塊中把軸承設(shè)置為固定值，如Kxx與Kyy等值。根據(jù)氣體軸承的剛度范圍，分別取直徑剛度值10 N/mm、102N/mm、103N/mm、104N/mm、105N/mm，研究不同剛度對兩種質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速的影響。

圖3是考慮陀螺效應(yīng)后，原始設(shè)計模型與改進型模型在不同剛度下的前3階臨界轉(zhuǎn)速關(guān)系圖，實心符號所構(gòu)成的曲線和空心符號所構(gòu)成的曲線分別代表原始設(shè)計型和改進型方案的前3階臨界轉(zhuǎn)速變化。通過兩種方案的對比可知，隨著剛度的增大，前3階臨界轉(zhuǎn)速變化趨勢不同。在剛度小于104N/mm時，轉(zhuǎn)子質(zhì)量越大，前2階臨界轉(zhuǎn)速值越小，而第3階臨界轉(zhuǎn)速越大。當剛度大于104N/mm時，隨著轉(zhuǎn)子質(zhì)量的增大，各階臨界轉(zhuǎn)速的變化則呈現(xiàn)相反的趨勢。同一轉(zhuǎn)子隨著剛度的增加，各階臨界轉(zhuǎn)速均有所增加，但增加曲率不同。

圖3 轉(zhuǎn)子軸承剛度對不同質(zhì)量轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響

2.3 陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的影響

為了探究陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)子模態(tài)的影響，本文對于不同質(zhì)量的轉(zhuǎn)子設(shè)置相同的軸承動態(tài)特性參數(shù)。由DyRoBes-BePerF獲得該規(guī)格軸承在4 000 r/min至90 000 r/min下各轉(zhuǎn)速對應(yīng)的軸承動態(tài)特性參數(shù)。在DyRoBes-Rotor建模模塊中把軸承支撐參數(shù)設(shè)置為隨轉(zhuǎn)速而改變的類型，保證該轉(zhuǎn)速下的軸承參數(shù)與BePerF求解出的軸承特性參數(shù)一致。且計算時采用各轉(zhuǎn)速下Kxx與Kyy的平均值作為該轉(zhuǎn)速下的支撐參數(shù)參與計算。前3階未考慮及考慮陀螺效應(yīng)的模態(tài)振型如圖4、圖5所示，據(jù)此進行分析，發(fā)現(xiàn)考慮陀螺效應(yīng)和未考慮陀螺效應(yīng)所得臨界振型相同，但在臨界轉(zhuǎn)速數(shù)值上有所差異。并且發(fā)現(xiàn)相比于未考慮陀螺效應(yīng)時，考慮陀螺效應(yīng)的各階臨界轉(zhuǎn)速在數(shù)值上均有所增加。

(a)1階模態(tài)振型

(b)2階模態(tài)振型

(c)3階模態(tài)振型

(a)1階模態(tài)振型

(b)2階模態(tài)振型

(c)3階模態(tài)振型

為進一步探究陀螺效應(yīng)對不同質(zhì)量轉(zhuǎn)子的影響，在原始設(shè)計模型的基礎(chǔ)上進一步對轉(zhuǎn)子內(nèi)徑進行更改，使轉(zhuǎn)子質(zhì)量繼續(xù)增加，并建立了3組不同質(zhì)量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。原始設(shè)計模型總質(zhì)量為463 g，改進型1總質(zhì)量為496 g，改進型2的總質(zhì)量為526 g。在DyRoBes 里對這3組不同質(zhì)量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行相同剛度下的模態(tài)分析計算。表1是分別考慮陀螺效應(yīng)和未考慮陀螺效應(yīng)影響的情況下，進行的模態(tài)分析計算獲得的前3階臨界轉(zhuǎn)速值及其偏差值。通過分析，發(fā)現(xiàn)陀螺效應(yīng)對前2階臨界轉(zhuǎn)速影響較小，這點與上圖3所表示的考慮陀螺效應(yīng)在不同剛度下時前2階臨界轉(zhuǎn)速的變化情況相符合。通過對比各階臨界轉(zhuǎn)速偏差值，發(fā)現(xiàn)陀螺效應(yīng)對前2階臨界轉(zhuǎn)速影響較小，對第3階臨界轉(zhuǎn)速影響較大。通過對比不同方案下臨界轉(zhuǎn)速值，發(fā)現(xiàn)在該剛度下，無論是否考慮陀螺效應(yīng)，隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量增大，前2階臨界轉(zhuǎn)速均隨之增大而減小。不考慮陀螺效應(yīng)時，第3階臨界轉(zhuǎn)速隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量的增大而增大?？紤]陀螺效應(yīng)時，第3階臨界轉(zhuǎn)速隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量的增大先增大后減小。

表1 不同方案轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界臨界轉(zhuǎn)速

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用DyRoBes軟件采用仿真模擬的方法，開展了剛度和陀螺效應(yīng)對不同質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律的研究，得出如下結(jié)論：

1)剛度的變化對各階臨界轉(zhuǎn)速的影響不同，剛度的增加會使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階臨界轉(zhuǎn)速均有所增加，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和軸承的剛度均對臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響；

2)同一轉(zhuǎn)子在相同剛度下考慮陀螺效應(yīng)時所獲得的臨界轉(zhuǎn)速比未考慮陀螺效應(yīng)時大，陀螺效應(yīng)對各階臨界轉(zhuǎn)速的影響有所不同；

3)通過對比不同方案下臨界轉(zhuǎn)速值，發(fā)現(xiàn)在該剛度下，無論是否考慮陀螺效應(yīng)，隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量增大，前2階臨界轉(zhuǎn)速均隨之增大而減小。不考慮陀螺效應(yīng)時，第3階臨界轉(zhuǎn)速隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量的增大而增大?？紤]陀螺效應(yīng)時，第3階臨界轉(zhuǎn)速隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量的增大先增大后減小。