楊衛(wèi)星 程禹銘

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

經(jīng)典的拍賣理論研究中，保留價受到了足夠的重視[1-3]。代表性的結(jié)論如下：Samuelson等[1]給出了一級價格密封拍賣中賣者的最優(yōu)保留價滿足的必要條件；McAfee等[2]用更簡便的方法得到了與Samuelson等[1]相同的結(jié)論，而且給出了最優(yōu)保留價應(yīng)該滿足的充分條件。

相比保留價，拍賣傭金的研究成果并不多。王彥等[4]將傭金率引入傳統(tǒng)的一級和二級密封式拍賣中，分析了傭金率對拍賣結(jié)果的影響。本課題組[5]進(jìn)一步將傭金率內(nèi)生化，研究了一類同時帶有保留價和傭金率的密封式拍賣模型，首次在考慮拍賣行的最優(yōu)傭金率問題基礎(chǔ)上，給出了最優(yōu)傭金率滿足的必要條件和充分條件。

冉茂盛等[6]建立了帶有傭金率以及保留價的一口價拍賣模型，研究了賣者的最優(yōu)一口價和最優(yōu)保留價，并且討論了拍賣行的最優(yōu)傭金率問題。本文作者[7]在前期研究中建立了一個帶有反比傭金率c=(1/k)b和保留價的拍賣模型,并求出了投標(biāo)策略和拍賣參與各方的預(yù)期收益；但文獻(xiàn)[7]的反比傭金設(shè)置過于簡單，導(dǎo)致無論是第一價格拍賣還是第二價格拍賣，拍賣行的收入都是常數(shù)1/k。

1 模型與分析

賣方設(shè)定保留價r,保留價的設(shè)定使得拍品的成交價不低于r?？梢缘玫酵稑?biāo)策略滿足的初始條件為

(1)

(2)

(3)

式中Pr(win|b)表示報價為b的投標(biāo)者的獲勝概率。

(4)

式中Pr(win|b(vi))表示報價為b(vi)的投標(biāo)者的獲勝概率。

2 均衡投標(biāo)策略

2.1 一級價格密閉式拍賣

(5)

證明：首先證明必要性。

若某個投標(biāo)者的私人估價為v，報價為b(x)，則其期望收益為

(6)

式中，由于b(·)是單調(diào)遞增的，所以式(6)在x=v時獲得極大值，因此當(dāng)x=v時，?π/?x=0，即

(7)

(8)

從而可得出

其次證明充分性。

由式(5)、(7)、(8)可得

(9)

(10)

兩式相減得

π(v,b(v))-π(v,b(t))=(t-v)Fn-1(t)+

(11)

式(11)中，當(dāng)t≠v時恒大于0，證明b(v)確實是投標(biāo)者的最佳選擇。定理1得證。

證明：由式(5)可得

(12)

證畢。

定理2與實際情況是相符合的，即當(dāng)保留價r增大時，由于均衡報價必須大于保留價，所以均衡報價也增加；當(dāng)k變大時，傭金率c變小，因此投標(biāo)人需要支付的傭金變少，投標(biāo)人報價會更加積極。

2.2 二級價格密閉式拍賣

(13)

證明：若某個投標(biāo)者的私人估價為v，而報價為b(x)，成交價為b(Y1)，則其期望收益為

(14)

式中b(·)是單調(diào)遞增的，所以式(14)在x=v時獲得極大值，且?π/?x=0，即

(15)

由式(15)可得出

(16)

因此均衡投標(biāo)策略為

式(13)即為投標(biāo)者選擇b(v)的必要條件。

其次證明充分性。由式(13)～(16)可得

(17)

式(17)中，當(dāng)t≠v時π(v,b(v))-π(v,b(t))恒大于0，證明b(v)確實是投標(biāo)者的最佳選擇。

比較定理1和定理3的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，二級價格密閉式拍賣模型中的均衡投標(biāo)策略大于一級價格密閉式拍賣模型中的均衡投標(biāo)策略，這意味著投標(biāo)者在二級價格拍賣中的報價更加積極。

證明：由式(13)可得

定理4進(jìn)一步說明，當(dāng)k變小時傭金率c變大，當(dāng)傭金率提高時，為了獲取非負(fù)收益，投標(biāo)者必須考慮謹(jǐn)慎報價并降低均衡報價。

3 預(yù)期收益

3.1 一級價格密閉式拍賣

(18)

同時可以得出拍賣行的預(yù)期收益為

(19)

買方的預(yù)期收益為

將式(18)、(19)相加可以得到賣方與拍賣行組成的“賣者共同體”的預(yù)期收益為

3.2 二級價格密閉式拍賣

拍賣成交時，如果只有一個人估價高于v*，其他人估價均低于v*，則預(yù)期收益為

當(dāng)至少兩個人的估價高于v*時，預(yù)期收益為

因此賣方總預(yù)期收益為

(20)

同時可以求出拍賣行的預(yù)期收益為

(21)

買方的預(yù)期收益為

將式(20)與(21)相加可以得到賣方與拍賣行組成的“賣者共同體”的預(yù)期收益為

此時“賣者共同體”的預(yù)期收益與一級價格密閉式拍賣中相同，即收益等價定理仍然成立。

對本文定理1～4的正確性作如下實例驗證。假設(shè)只有兩個投標(biāo)者(n=2)，私人估價v服從區(qū)間[0，1]上的同一均勻分布，分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F(v)=v，f(v)=1，v∈[0，1]。計算結(jié)果如表1所示。

表1 實例計算結(jié)果

表1計算結(jié)果表明，本文定理1～4均正確。

4 結(jié)論

(2)一級價格密閉式拍賣中，投標(biāo)者的均衡報價關(guān)于保留價r及傭金率系數(shù)k均遞增，而二級價格密閉式拍賣中，投標(biāo)者的均衡報價關(guān)于傭金率系數(shù)k遞增、關(guān)于保留價r遞減。

(3)如果考慮“賣者共同體”的預(yù)期收益，其在一級價格密閉式拍賣與二級價格密閉式拍賣中相同，因此，收益等價定理依舊成立。