周 勇

(長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，湖北 荊州 434020)

0 引言

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、不確定、高階次和快速運(yùn)動(dòng)的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新的控制理論和控制策略的理想模型。線性二次型控制器(LQR)由于具有價(jià)格低、性能穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，成為倒立擺系統(tǒng)常用的控制方式，許多學(xué)者對(duì)其控制策略進(jìn)行了研究。陳健等[1]證明了加權(quán)矩陣Q中各權(quán)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用，張永立等[2]采用變?cè)鲆鍸QR方法，實(shí)現(xiàn)了直線一級(jí)和二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。LQR的控制性能主要取決于加權(quán)矩陣Q和R的整定，目前Q和R的參數(shù)整定大多采用試湊法，但此方法具有較強(qiáng)的主觀性，而且實(shí)時(shí)性較差，使其在工程應(yīng)用中受到了一定的限制[3-4]。遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是一種高度并行的隨機(jī)優(yōu)化方法，具有很好的全局搜索能力和魯棒性，非常適用于LQR參數(shù)的優(yōu)化整定。然而，遺傳算法在參數(shù)整定過(guò)程中，在解決一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)存在著早熟和收斂速度慢等缺陷。針對(duì)環(huán)形倒立擺的穩(wěn)定控制問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種基于改進(jìn)遺傳算法的LQR控制器，結(jié)合改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化LQR的加權(quán)矩陣Q和R參數(shù)，通過(guò)系統(tǒng)仿真分析，采用改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化一級(jí)環(huán)形倒立擺系統(tǒng)，可在一定程度上改善LQR參數(shù)選取的不足，實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

1 環(huán)形倒立擺系統(tǒng)模型建立

忽略各種空氣阻力、摩擦力和擺桿連接處等不均勻因素后，可將環(huán)形一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象為由一個(gè)連桿、一個(gè)擺桿和一個(gè)質(zhì)量塊組成，其坐標(biāo)系如圖1所示，參數(shù)設(shè)置及含義見表1。表1中，連桿與y軸的夾角為θ1；擺桿與垂直方向的夾角為θ2。

圖1 一級(jí)環(huán)形倒立擺坐標(biāo)系

表1 環(huán)形一級(jí)倒立擺參數(shù)及含義

倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型的建立和分析方法主要有拉格朗日法和牛頓-歐拉法兩種方法。根據(jù)文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]和一些學(xué)者的研究，本文采用拉格朗日法建立一級(jí)環(huán)形倒立擺運(yùn)動(dòng)模型如下：

(1)

取平衡位置時(shí)，各變量的初始值為0，進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，線性化后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程如式(2)和式(3)所示：

(3)

2 基于改進(jìn)遺傳算法的LQR控制器設(shè)計(jì)

2.1 LQR 控制器原理

LQR控制器是現(xiàn)代控制理論最重要的成果之一，其原理是選擇一個(gè)狀態(tài)反饋控制矩陣K，使得目標(biāo)性能函數(shù)J達(dá)到最小，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

具體過(guò)程如下：①選擇二次型目標(biāo)函數(shù)J；②選定Q和R，結(jié)合系數(shù)矩陣A和B,求解Riccati代數(shù)方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0，得正定矩陣P；③求最優(yōu)狀態(tài)反饋控制矩陣K=R-1BTP，得控制信號(hào)u=-Kx。

2.2 基于改進(jìn)遺傳算法的LQR控制器的參數(shù)優(yōu)化

LQR控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題在于如何選取合適的加權(quán)矩陣Q和R，求出反饋控制矩陣K。目前對(duì)于加權(quán)矩陣的選取主要采用試湊法。遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是美國(guó)Holland教授于1975年首先提出來(lái)的一種借鑒生物進(jìn)化理論和門德爾基因遺傳理論的高度并行、隨機(jī)的優(yōu)化方法[7]。標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法因?yàn)殡S機(jī)搜索的特點(diǎn)，在運(yùn)算過(guò)程中，其交叉率和變異率恒定不變，收斂性能較差。結(jié)合文獻(xiàn)[8]，本文引入一種改進(jìn)的遺傳算法，使算法的交叉率Pc和變異率Pm按Sigmoid函數(shù)和高斯分布函數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，滿足算法在不同進(jìn)化階段的側(cè)重，提高算法的全局搜索能力。具體步驟如下：

(1) 選擇優(yōu)化參數(shù)及約束條件。本文選取Q對(duì)角線元素Q11、Q33和R參數(shù)作為優(yōu)化參數(shù)，根據(jù)實(shí)際要求，取Q∈[0,2 000]，R∈[0,10]。

(2) 編碼及種群初始化。采用實(shí)數(shù)編碼，并根據(jù)種群規(guī)模隨機(jī)生成初始種群。

(3) 解碼，適應(yīng)度函數(shù)確定。在遺傳算法優(yōu)化過(guò)程中，適應(yīng)度函數(shù)的確定非常重要，它是判斷最優(yōu)參數(shù)的關(guān)鍵。改進(jìn)遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)f=1/J。

(4) 設(shè)計(jì)遺傳算子。本設(shè)計(jì)采用輪盤賭的選擇方法，并對(duì)遺傳算子進(jìn)行多點(diǎn)交叉和均勻變異。為了防止遺傳算法的早熟和收斂較差的問(wèn)題出現(xiàn),采用改進(jìn)的自適應(yīng)交叉概率和變異概率,將S曲線和高斯分布曲線的變化模式用于交叉概率和變異概率。改進(jìn)的交叉率和變異率的自適應(yīng)調(diào)節(jié)公式如式(4)、式(5)所示：

(4)

(5)

其中：Pcmax、Pcmin分別為交叉率的最大值和最小值；Pmmax、Pmmin分別為變異率的最大值和最小值；favg為種群的平均個(gè)體適應(yīng)度值；fmax為種群中最大的個(gè)體適應(yīng)度值；f′為要交叉的兩個(gè)個(gè)體中較大的適應(yīng)度值；k1為曲線平滑參數(shù)，用來(lái)調(diào)節(jié)曲線的光滑程度；k2為曲線高度參數(shù)。

(5) 終止判斷。如達(dá)到指標(biāo)要求(精度10-5或進(jìn)化代數(shù))，算法結(jié)束，否則重新返回步驟(3)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為研究一級(jí)環(huán)形倒立擺系統(tǒng)性能，本文分別采用試湊法和改進(jìn)遺傳算法對(duì)LQR參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化仿真分析。

3.1 算法的參數(shù)選擇

所有算法程序均采用MATLAB語(yǔ)言編制，改進(jìn)遺傳算法參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為50，進(jìn)化代數(shù)為100代，最大交叉率為0.8，最小交叉率為0.6，最大變異率為0.1，最小變異率為0.05，曲線平滑參數(shù)為0.990 3，曲線高度參數(shù)為0.4。試湊法采用文獻(xiàn)[9]參數(shù)設(shè)置。

3.2 仿真結(jié)果分析

基于MATLAB平臺(tái)，應(yīng)用MATLAB語(yǔ)句K=lqr(A,B,Q,R)得到一組K值，在經(jīng)過(guò)改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化后，Q與R值分別為Q=diag([1 581.6，0，476，0])，R=0.97。相應(yīng)的反饋控制矩陣K=[-40.379 6，-22.300 4，317.163 7，51.860 2]，將其應(yīng)用于一級(jí)環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的仿真，并繪制曲線，與LQR控制器試湊法設(shè)計(jì)的參數(shù)矩陣進(jìn)行對(duì)比，階躍響應(yīng)曲線如圖2和圖3所示。從仿真結(jié)果可知：系統(tǒng)自零初始狀態(tài)，試湊法在前3.5 s內(nèi)，倒立擺連桿由初始位置0 rad小幅度均勻振蕩，擺桿發(fā)生較大幅度的振蕩后，穩(wěn)定時(shí)間為3.5 s；改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化后，連桿和擺桿的穩(wěn)定時(shí)間分別比試湊法減少了2 s和1.5 s，且超調(diào)更小，系統(tǒng)穩(wěn)定性能得到了較大的提高。

圖2 兩種優(yōu)化方法的連桿擺角響應(yīng)曲線 圖3 兩種優(yōu)化方法的擺桿擺角響應(yīng)曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文依據(jù)環(huán)形一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型和LQR理論，針對(duì)LQR存在的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于改進(jìn)遺傳算法的LQR控制器，利用改進(jìn)遺傳算法實(shí)現(xiàn)了Q和R的優(yōu)化選擇。通過(guò)仿真分析，改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化LQR參數(shù)能更有效地減小系統(tǒng)超調(diào)和穩(wěn)定時(shí)間，較好地提高了一級(jí)環(huán)形倒立擺的性能。