杜先存, 梁開元, 王 鳳

(紅河學院 教師教育學院, 云南 蒙自 661199)

方程x3±a3=Dy2(a∈Z+,D是無平方因子的正整數(shù))是一類重要的丟番圖方程,其整數(shù)解受到越來越多的學者的關注,a=1時結論比較多[1-3].a=5時已有部分結論,當D不含6k+1形素因子的情況已基本解決.D含1個6k+1形素因子的情況僅有部分結論,主要為:當D僅含一個6k+1形素因子時結論見文獻[4-5];當D含素因子2,且含一個6k+1形素因子時結論見文獻[6-7];當D含素因子3,且含一個6k+1形素因子時結論見文獻[8-11].當D同時含素因子2及3,且含一個6k+1形素因子時,目前還沒有相關結論,本文研究了此情況.

1 相關引理

ⅰ)q=27t2+1(t∈N) ;

ⅱ)q=12t2+1(t∈N);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N).

ⅰ)q=27t2+1(t∈N);

ⅱ)q=12t2+1(t∈N);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N).

2 定 理

定理1 設q≡1(mod 6)為奇素數(shù),則丟番圖方程

x3+53=6qy2,

(1)

在滿足下列條件時,僅有整數(shù)解(x,y)=(-5,0):

ⅰ)q=27t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅱ)q=12t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N),t≡1,2,3(mod 5).

定理2 設q≡1(mod 6)為奇素數(shù),則丟番圖方程

x3-53=6qy2,

(2)

在滿足下列條件時,僅有整數(shù)解(x,y)=(5,0):

ⅰ)q=27t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅱ)q=12t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N),t≡1,2,3(mod 5).

3 定理證明

當x?0(mod 5)時,因為gcd(x+5,x2-5x+25)=1或3,而x2-5x+25?0(mod 2),則方程(1)可分解為以下8式:

情形Ⅰx+5=6qu2,x2-5x+25=v2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅱx+5=6u2,x2-5x+25=qv2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅲx+5=2qu2,x2-5x+25=3v2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅳx+5=2u2,x2-5x+25=3qv2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅴx+5=18qu2,x2-5x+25=3v2,y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅵx+5=18u2,x2-5x+25=3qv2,y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅶx+5=6qu2,x2-5x+25=9v2,y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅷx+5=6u2,x2-5x+25=9qv2,y=3uv,gcd(u,v)=1.

以下分別討論這8種情形下方程(1)的解的情況.

情形Ⅰ 由x2-5x+25=v2得x=-16,-3,0,5,8,21,則6qu2=-21,-8,-5,0,3,16,顯然無解,故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 由x2-5x+25=qv2配方得(2x-5)2+75=4qv2,把x=6u2-5代入可得9(4u2-5)2+75=4qv2,兩邊取模3,得由qv2≡0(mod 3).又q=27t2+1(t∈N)或q=12t2+1(t∈N)或q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N),則有q≡0(mod 3),因此有v≡0(mod 3),則由x2-5x+25=qv2得x2-5x+25≡0(mod 3),即有gcd(x+5,x2-5x+25)=3,這與gcd(x+5,x2-5x+25)=1矛盾,故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅳ 由x2-5x+25=3qv2配方得(2x-5)2+75=12qv2,兩邊取模5得

(2x-5)2+75≡12qv2(mod 5).

(3)

因為:

仿情形Ⅲ的證明可知情形Ⅴ不成立.

仿情形Ⅳ的證明可得情形Ⅵ不成立.

情形Ⅶ 由x2-5x+25=9v2配方有(2x-5)2+75=36v2,把x+5=6qu2代入得(12qu2-15)2+75=36v2,兩邊取模9,得3≡0(mod 9),矛盾,故情形Ⅶ不成立.

仿情形Ⅶ的證明可知情形Ⅷ也不成立.

綜上所述,Diophantine方程(1)在題設條件下僅有整數(shù)解(x,y)=(-5,0),定理1得證.

根據引理2,仿定理1的證明可知定理2成立.

4 結 論

本文通過利用初等方法得出了q≡1(mod 6)為奇素數(shù)時,丟番圖方程x3±53=6qy2當q=27t2+1,t≡0,2,3(mod 5)或q=12t2+1,t≡0,2,3(mod 5)或q=3(3t+1)(3t+2)+1,t≡1,2,3(mod 5)時的整數(shù)解的情況,此結果對于該類丟番圖方程的求解起了一定的借鑒作用,同時推進了該類丟番圖方程的研究.