劉任洋，楊瑞平，趙 冰，于風(fēng)竺

（海軍研究院，北京 100161）

0 引言

可修復(fù)備件是指故障后可以修復(fù)的備件類型。這類備件資源往往價(jià)格昂貴、具有較高的故障率。有關(guān)資料顯示［1］，在多層級(jí)設(shè)備所有部件中，20 %的可修貴重器材占據(jù)了80%的備件保障費(fèi)用。因此，對(duì)可修復(fù)備件資源進(jìn)行科學(xué)合理的配置和規(guī)劃是當(dāng)前維修保障工作中的重點(diǎn)問題。

根據(jù)保障周期內(nèi)是否存在訂購和補(bǔ)給，備件保障模式可以分為自主保障和多級(jí)保障。多級(jí)保障是較為常用的對(duì)設(shè)備實(shí)施多級(jí)維修供應(yīng)的保障模式，保障周期一般較長，其庫存建模方法主要基于穩(wěn)態(tài)的Vari-METRIC［2］模型和動(dòng)態(tài)的Dyna-METRIC［3］模型（以下統(tǒng)稱“METRIC 理論”）。與多級(jí)保障相比，自主保障無外部供應(yīng)和補(bǔ)給，僅依靠自身的備件資源和維修條件實(shí)現(xiàn)自我保障。當(dāng)任務(wù)持續(xù)時(shí)間短、強(qiáng)度較低、任務(wù)區(qū)域離后方保障基地較近時(shí)，通常實(shí)施自主保障。目前在自主保障下對(duì)可修復(fù)備件庫存建模的研究大多基于馬爾科夫過程理論。文獻(xiàn)［4-5］把可修件庫存模型看作M/M/c 排隊(duì)系統(tǒng)，利用排隊(duì)論方法求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的備件滿足率。文獻(xiàn)［6］根據(jù)“累積失效概率相等”原則將非指數(shù)型部件等效為指數(shù)部件，從而對(duì)其庫存狀態(tài)利用馬爾科夫過程建模得到備件保障概率。

然而，無論是METRIC 理論還是馬爾科夫過程理論，均以經(jīng)典的庫存平衡方程［1］為基礎(chǔ)，即當(dāng)前庫存量與初始庫存量、在修數(shù)量以及備件短缺量存在一種動(dòng)態(tài)平衡。這就要求在整個(gè)保障體系內(nèi)，故障件必須完全可修［7-10］或當(dāng)修復(fù)不了而報(bào)廢時(shí)則必須從外部獲得補(bǔ)給［11］以維持庫存平衡，否則庫存平衡方程一旦打破，上述理論都不再適用。而設(shè)備在實(shí)際執(zhí)行任務(wù)期間，受保障條件限制可能只得到部分保障組織的支持甚至僅實(shí)行自主保障，絕大多數(shù)備件滿足不了完全可修的條件，屬于不完全修復(fù)件，此時(shí)若不考慮外部的采購（從外部供應(yīng)商的采購周期通常很長，不適合短期任務(wù)），如何在任務(wù)期內(nèi)制定合理的備件方案以滿足保障要求具有現(xiàn)實(shí)意義。

本文針對(duì)上述問題，在自主保障模式下結(jié)合任務(wù)期間備件報(bào)廢的問題，利用近似等效思想提出了一種簡單有效的備件優(yōu)化方法，該方法旨在用簡單巧妙的方式解決復(fù)雜的多層級(jí)庫存建模問題，便于工程應(yīng)用，為任務(wù)期間備件方案的評(píng)估和優(yōu)化提供了新思路。

1 多層級(jí)不完全修復(fù)件的可用度評(píng)估

1.1 多層級(jí)部件不可拆卸不可維修單元處理方法

為了便于描述，以兩層級(jí)部件為例。設(shè)某現(xiàn)場可更換單元（Line Replacable Unit，LRU）由N 個(gè)可拆卸維修的車間更換單元（Shop Replacable Unit，SRU）和若干不可拆卸不可維修單元組成，各單元壽命均服從指數(shù)分布，其中LRU 和SRUi（i=1，2，…，N）的平均壽命分別為MTBF0和MTBFi。LRU 的故障由其所屬的任一單元（包括SRU 和不可拆卸不可維修單元）故障所致。LRU 的維修只能通過更換故障SRUi完成，SRUi為不完全修復(fù)件，僅以一定概率修復(fù)成功。當(dāng)LRU 故障原因是由不可拆卸不可維修單元引起時(shí)，該故障LRU 則會(huì)因無法維修而報(bào)廢。不考慮重測完好率、虛警率等維修參數(shù)的影響，把所有不可拆卸不可維修單元當(dāng)作一個(gè)整體單元，設(shè)其平均壽命為MTBFleft，則有：

以上處理方法實(shí)現(xiàn)了由部件層次結(jié)構(gòu)到備件層次結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，反之，在僅已知備件層次清單時(shí)應(yīng)考慮某些在部件層次結(jié)構(gòu)中存在，而在備件清單中沒有出現(xiàn)的部件或單元，將其統(tǒng)一看作隱藏在設(shè)備相應(yīng)層級(jí)的一個(gè)整體，該整體為不可拆卸不可維修單元，平均壽命由式（1）得到。需要說明的是，不可拆卸不可維修單元雖不存在備件配備問題，但其影響上層部件故障的發(fā)生以及報(bào)廢，因此，在設(shè)備備件模型搭建中須將其考慮在內(nèi)。

1.2 不完全修復(fù)件的消耗件等效方法

通過上述壽命等效過程，具有維修概率ri，平均壽命為MTBFi的不完全修復(fù)件被近似等效為平均壽命為MTBFei的消耗件。此時(shí)的LRU 由N 個(gè)SRUi消耗件和一個(gè)不可拆卸不可維修單元構(gòu)成，其等效平均壽命MTBFe0為：

1.3 多層級(jí)備件數(shù)量的單層級(jí)等效

由于SRUi的備件完全用于維修故障LRU 并產(chǎn)生新的LRU 備件，因此，若能提前算出所有SRUi備件所能維修的故障LRU 總量，就能將該故障LRU總量作為LRU 備件去代替所有SRUi備件，從而將多層級(jí)備件問題轉(zhuǎn)換為只需考慮頂層LRU 的單部件問題。

當(dāng)LRU 發(fā)生故障，原因是其所屬的某個(gè)SRUi故障所致的條件概率為：

設(shè)LRU、SRUi的備件配置量分別為S0、Si，則對(duì)故障LRU 維修一次所消耗的各SRUi的備件數(shù)量為：

將SRUi的備件消耗量等效折算為LRU 的備件增加量，即：

下面給出等效頂層LRU 備件數(shù)量Se0的計(jì)算流程：

Step 1：置累積LRU 備件增加量ΔS'0=0，初始可用LRU 數(shù)量Sav=S0+1（Sav包括備件數(shù)量和部件本身）；

1.4 可用度評(píng)估

滿足任務(wù)要求的備件保障度量指標(biāo)有多種，如備件保障概率（備件滿足率）［12］、備件利用率［13］、設(shè)備可用度［14］、任務(wù)成功率等。本文選取常用的設(shè)備可用度指標(biāo)進(jìn)行建模。由1.3 節(jié)方法計(jì)算得到的頂層LRU 等效備件數(shù)量Se0通常為非整數(shù)，直接利用指數(shù)型備件保障概率公式將面臨備件數(shù)量的近似取整問題，從而會(huì)導(dǎo)致一定的誤差。而指數(shù)分布是伽馬分布的特例，利用這一性質(zhì)，可將指數(shù)型部件轉(zhuǎn)化為伽馬型部件處理。伽馬分布的壽命分布函數(shù)為［15］：

一般假設(shè)設(shè)備各LRU 組件為串聯(lián)的可靠性關(guān)系，則設(shè)備的可靠度為各LRU 可靠度之積：

任務(wù)時(shí)間T 內(nèi)，設(shè)備可用度為期望工作時(shí)間與任務(wù)時(shí)間之比：

Fs（t）為設(shè)備的壽命分布函數(shù)，E 為期望工作時(shí)間。

2 備件優(yōu)化模型及求解方法

備件的庫存優(yōu)化問題可描述為以規(guī)定的設(shè)備可用度為約束指標(biāo)，尋求備件總購置費(fèi)用的最低化，即：

A0為規(guī)定的可用度指標(biāo)，ci為備件i 的單價(jià)。邊際分析法是求解上述模型的常用方法，但由于本文近似方法未考慮維修延誤，這在一定程度上弱化了頂層LRU 備件的效益權(quán)重，采用傳統(tǒng)邊際算法中逐個(gè)增添單項(xiàng)備件比較效益值的方法將導(dǎo)致頂層LRU 的配備數(shù)量極少，從而得到錯(cuò)誤的備件優(yōu)化方案。本文采用一種改進(jìn)的邊際算法，通過該方法得到的費(fèi)效曲線可使相鄰兩個(gè)備件迭代方案各項(xiàng)備件數(shù)量均發(fā)生變化，而非傳統(tǒng)邊際算法中后一備件方案僅在前備件方案基礎(chǔ)上增配某一項(xiàng)備件而來。具體步驟如下：

Step 2：令LRUj及其所屬部件的備件數(shù)量分別從0 取至Xj，通過遍歷方式產(chǎn)生各LRUj的初步備選方案，并計(jì)算每個(gè)方案的等效頂層備件數(shù)量和對(duì)應(yīng)費(fèi)用；

Step 3：將各LRUj中備選方案的等效頂層備件數(shù)量按從小到大排序，對(duì)應(yīng)的備件方案和費(fèi)用亦隨之重新排序，并尋找等效頂層備件數(shù)量相差0.001以內(nèi)的備件方案，保留其中費(fèi)用最低者，其他方案剔除，得到經(jīng)過初步篩選的各LRUj備選方案；

Step 4：采用以下方式對(duì)各LRUj備選方案進(jìn)一步篩選：如果某一方案對(duì)應(yīng)的備件費(fèi)用比后面所有方案費(fèi)用都低，則該方案保留，否則剔除；由此得到各LRUj的最終備選方案，這些備選方案隨著各自等效頂層備件數(shù)量的增加，對(duì)應(yīng)費(fèi)用呈遞增趨勢；

Step 5：利用式（8）計(jì)算LRUj各備選方案對(duì)應(yīng)的可靠度值，得到可靠度向量Rj，Rj中的各元素為LRUj對(duì)應(yīng)備選方案的可靠度值。與前一備選方案相比，定義LRUj采用第個(gè)備選方案使設(shè)備可靠度的增加量與總備件費(fèi)用增加量的比值為該LRU 第k 個(gè)備選方案的邊際效益值，定義邊際效益值與前一備選方案下設(shè)備可靠度的比值為相對(duì)邊際效益值，根據(jù)定義有：

3 算例分析

設(shè)某船舶設(shè)備備件層次結(jié)構(gòu)如圖1 所示，在執(zhí)行一個(gè)持續(xù)工作時(shí)間為2 000 h 的水域監(jiān)測任務(wù)中，為了保證任務(wù)的順利完成，規(guī)定該設(shè)備可用度須達(dá)到0.97，現(xiàn)要求制定相應(yīng)的備件攜行方案。備件的相關(guān)可靠性、維修性等參數(shù)如表1 所示。

表1 備件輸入?yún)?shù)

采用本文改進(jìn)的邊際算法，總共歷經(jīng)31 次迭代（LRU1歷經(jīng)15 次，LRU2歷經(jīng)16 次）得到最優(yōu)備件配置方案如表2 所示，迭代的費(fèi)效曲線如圖2 所示。在該方案下的設(shè)備可用度為0.970 8，總費(fèi)用為118 萬元。

表2 備件優(yōu)化方案

圖1 設(shè)備層次結(jié)構(gòu)

圖2 費(fèi)效迭代曲線

為了驗(yàn)證本文優(yōu)化方法的正確性，采用Matlab平臺(tái)構(gòu)造仿真模型對(duì)所得最優(yōu)備件方案進(jìn)行評(píng)估。仿真模型主要包括備件需求發(fā)生模塊、故障件維修模塊、備件更換模塊以及變量統(tǒng)計(jì)模塊。仿真次數(shù)設(shè)為1 000，統(tǒng)計(jì)每次仿真的累計(jì)停機(jī)時(shí)間Td，（1-Td/T）即為可用度，取1 000 次仿真的可用度均值作為最終輸出結(jié)果。將表2 所示的備件方案輸入仿真模型，得到的設(shè)備可用度輸出結(jié)果為0.952 8，本文近似方法的評(píng)估誤差為1.89%，在可接受的范圍內(nèi)。將任務(wù)時(shí)間從1 000 h 取至10 000 h，得到近似方法和仿真方法的評(píng)估結(jié)果如圖3 所示，圖中兩條評(píng)估曲線偏離不大，平均誤差較小，為2.17%。盡管近似方法忽略了維修時(shí)間，但50 h 的維修時(shí)間相對(duì)于部件平均壽命而言并不長，從而降低了產(chǎn)生維修延誤的風(fēng)險(xiǎn)，即便當(dāng)維修延誤發(fā)生了，較短的延誤時(shí)間對(duì)可用度的影響卻不大，因此，保證了近似方法的精度。

圖3 不同任務(wù)時(shí)間下近似方法和仿真方法結(jié)果對(duì)比

為了進(jìn)一步說明維修時(shí)間對(duì)近似方法評(píng)估效果的影響，令各部件的維修時(shí)間分別增加至200 h和400 h，得到圖4 所示的可用度變化曲線。綜合對(duì)比圖3 和圖4 可以看出，隨著維修時(shí)間的增加，近似結(jié)果不變，而仿真結(jié)果不斷偏離近似結(jié)果，近似方法的平均誤差不斷加大，由2.17 %分別增加至2.70%和3.91%。誤差變大的原因是由于維修時(shí)間的大幅增加使發(fā)生維修延誤的風(fēng)險(xiǎn)加大，并導(dǎo)致較長延誤時(shí)間的產(chǎn)生，從而影響了近似方法對(duì)可用度的評(píng)估效果。通過大量試驗(yàn)表明，只要維修時(shí)間不是過大（將維修時(shí)間接近或大于對(duì)應(yīng)LRU 的平均壽命視為過大），評(píng)估誤差一般在可接受的范圍內(nèi)，本文優(yōu)化算法所得的備件方案合理可行，基本能滿足保障要求。

圖4 不同維修時(shí)間下近似方法和仿真方法結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

本文從任務(wù)期間設(shè)備的備件優(yōu)化問題入手，結(jié)合任務(wù)期內(nèi)普遍存在的故障件報(bào)廢情況，利用近似等效思想提出了備件方案的評(píng)估和優(yōu)化方法，并通過仿真方法與之對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明：只要維修時(shí)間不是過大，考慮維修時(shí)間與否對(duì)可用度的影響不大，本文優(yōu)化方法得到的備件方案合理可行。需要說明的是，仿真方法雖然精度更高，但在實(shí)際處理大批量備件運(yùn)算時(shí)，其時(shí)間將不可估量，不便于工程應(yīng)用，這也是本文解析方法的優(yōu)勢所在。