周裕然，趙華新，周 陽(yáng)

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

算子半群的擾動(dòng)理論是算子半群的重要內(nèi)容之一，許多學(xué)者對(duì)此作了大量的研究工作[1-7]。文獻(xiàn)[8]中定理1給出了算子A+B生成雙參數(shù)半群{T(s,t)}s,t≥0的證明過(guò)程，其中設(shè){T(s,t)}s,t≥0是Banach空間X上被算子A生成的雙參數(shù)C半群，B為有界線性算子。本文在此基礎(chǔ)上，改變定理1的條件，即將雙參數(shù)C半群換為雙參數(shù)n階α次積分C半群，得到新的擾動(dòng)定理，并且推廣了相關(guān)結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，X為無(wú)限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)；D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0。

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0，使JnT(s)=0，s≥0。

2 基本概念和引理

定義1[5]設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，{T(s,t)}s,t≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)，若存在算子A=(A1,A2)使

(2)CT(s,t)=T(0,t)T(s,0)；

(3)?x∈D(A),s,t≥0,

引理1[5](Hill-Yosida)設(shè)A=(A1,A2)為雙參數(shù)n階α次積分C半群{T(s,t)}s,t≥0的無(wú)窮小生成元，當(dāng)且僅當(dāng)：

引理2[5]設(shè){T(s,t)}s,t≥0是雙參數(shù)n階α次積分C半群，則存在M≥0,ω≥0使得

||T(s,t)||≤||C-1||M1eω1sM2eω2t≤

||C-1||Meω1s+ω2t，

3 主要結(jié)論

||S(s,0)||≤M1e(ω1+M1‖B1‖)s和

||S(0,t)||≤M1e(ω1+M1‖B1‖)t，

M1,M2≥1，ω1,ω2∈R。

因此，算子Ai+Bi(i=1，2)是閉稠定算子，

ρ(Ai+Bi)?(ω1+M1||B1||,+∞)并且λ>ωiMi||Bi||時(shí)，由拉普拉斯變換

利用SAS 9.0軟件對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行多因素方差分析（ANOVA）、最小二乘法（LSD）進(jìn)行各水平之間的多重比較以及二次響應(yīng)面回歸分析。

可知R(λ,Ai+Bi)(i=1,2)是有界線性算子，又因?yàn)?/p>

||CR(λ,(A1+B1,A2+B2))x||=

令S(s,t)=C-1SC(s,0)S(0,t)，?s,t≥0，

則由引理1得算子A+B生成雙參數(shù)n階α次積分C半群{S(s,t)}s,t≥0。

VT(s,t)=

(1)

證明令V0(s,t)=T(s,t)，定義

有(s,t)→V(s,t)x連續(xù)。

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明。

||Vn(s,t)||≤

(2)

當(dāng)n=0，顯然||V0(s,t)||≤||C-1||Meω1s+w2t成立：

假設(shè)取n時(shí)有

當(dāng)取n+1時(shí)，

||Vn+1(s,t)x||=

||C-1||2Mn+2||B||n+1eω1s+w2t||x||·

所以對(duì)于?x>0有

(3)

由(2)式得(3)式在任意有界區(qū)間上相當(dāng)于一致算子拓?fù)涫且恢逻B續(xù)的，所以對(duì)于?x≥X，都有(3)式成立。

下面證明唯一性：設(shè)對(duì)于?s,t≥0,當(dāng)x∈[0,+∞),(s,t)→V(s,t)x是連續(xù)的，且有

則||V(s,t)x-U(s,t)x||≤

||V(u,v)x-U(u,v)x||dudv。

又由||V(s,t)x-U(s,t)x||=0，所以，對(duì)于?s,t≥0,V(s,t)x=U(s,t)x。

||S(s,t)x-S(s,t)x||≤

證明由定理1和推論1得

||S(s,t)x-S(s,t)x||≤

||S(u,v)||||x||dudv≤

Me(ω1+M‖B‖)u+(ω2+M‖B‖)v||x||dudv=