康俊濤， 張亞州， 秦世強(qiáng)

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 武漢 430070)

橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)需要對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)分析，并通過對(duì)比基準(zhǔn)有限元模型計(jì)算響應(yīng)與結(jié)構(gòu)的實(shí)際響應(yīng)來分析構(gòu)件損傷位置及損傷程度，及時(shí)進(jìn)行預(yù)警[1].然而，由于建模時(shí)的簡(jiǎn)化、結(jié)構(gòu)尺寸的變異、材料性能的不確定性等，按照設(shè)計(jì)圖紙建造的初始有限元模型與結(jié)構(gòu)實(shí)際情況存在一定的差異，并不能作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的基準(zhǔn)模型[2].利用結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)信息可以提高有限元模型對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的模擬精度.通過改變初始有限元模型中的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)(如材料彈性模量、支座約束等)以達(dá)到有限元模型計(jì)算響應(yīng)與結(jié)構(gòu)的實(shí)際響應(yīng)相符合的目的，該技術(shù)稱為有限元模型修正技術(shù)[3].

有限元模型修正[4]通過以下分析過程來實(shí)現(xiàn)：首先對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜動(dòng)力測(cè)試，并根據(jù)測(cè)試信號(hào)分析出結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力特性(如結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)振型等)；其次對(duì)按照?qǐng)D紙建造的初始有限元模型進(jìn)行分析，得出模型靜動(dòng)力特性；然后利用結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)特性與模型計(jì)算特性之間的誤差構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)；最后通過最優(yōu)化方法尋找目標(biāo)函數(shù)的最小值來完成有限元模型修正.

有限模型修正研究較廣，傳統(tǒng)的有限元模型修正僅提供一個(gè)使得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的修正結(jié)果[5].然而一些學(xué)者指出，由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、測(cè)試信息的不完備、測(cè)試噪聲等原因，用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特性并不一定能完全代表結(jié)構(gòu)的實(shí)際特性，從而導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的最小值所對(duì)應(yīng)的修正結(jié)果并不一定能代表結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況，一些局部最優(yōu)解可能更好地代表結(jié)構(gòu)實(shí)際情況[6-7].因此，由傳統(tǒng)的僅提供一個(gè)有限元模型修正結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)樘峁┒鄠€(gè)修正結(jié)果，然后讓決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況來確定最終采用的修正結(jié)果顯得更為合理[8].

為提供多個(gè)修正結(jié)果，學(xué)者們主要采取了以下幾種方法：全局優(yōu)化算法[9-10](Global Optimization Algorithms，GOAs)，小生境技術(shù)[11](Sequential Niche Technique，SNT)和多模型建模[6](Modeling to Generate Alternatives，MGA).GOAs通過對(duì)整個(gè)可行域進(jìn)行系統(tǒng)地搜索來獲取全局最優(yōu)和一些局部最優(yōu)值.GOAs在模型修正領(lǐng)域應(yīng)用較廣，但大部分研究集中在尋找全局最優(yōu)，而丟棄局部最優(yōu)，且對(duì)局部最優(yōu)的質(zhì)量不予評(píng)價(jià).SNT需要和其他優(yōu)化算法配合使用.每次尋優(yōu)需要運(yùn)行一次優(yōu)化算法，并記錄尋找到的最優(yōu)解及其所處區(qū)域，在下一次尋優(yōu)時(shí)排除此前記錄的尋找到極值的區(qū)域，在剩余區(qū)域內(nèi)再次進(jìn)行尋優(yōu).SNT算法對(duì)參數(shù)空間的搜索更加詳盡和科學(xué)，每次在更小的參數(shù)空間進(jìn)行尋優(yōu)提高了優(yōu)化算法的尋優(yōu)精度，但與SNT配合使用的優(yōu)化算法多為進(jìn)化算法，每尋找一個(gè)局部最優(yōu)值都需要多次迭代，因此完成整個(gè)尋優(yōu)過程需要花費(fèi)大量時(shí)間.MGA方法旨在提供多個(gè)修正結(jié)果，這些結(jié)果具有相近的目標(biāo)函數(shù)值，但是自變量的值卻相差較大.在模型修正領(lǐng)域，多位學(xué)者[6-7]采用MGA方法提供了多個(gè)修正結(jié)果.MGA通過參數(shù)及選擇策略的設(shè)置可以極大地提高優(yōu)化速度，但同時(shí)解的精度會(huì)有所損失.

綜上所述，為提供多個(gè)模型優(yōu)化結(jié)果，本文將尋優(yōu)速度快的穩(wěn)態(tài)遺傳算法(Steady-State Genetic Algorithm，SSGA)和尋優(yōu)精度高的梯度下降(Gradient Descent，GD)算法相結(jié)合，提出了一種混合智能算法，該算法在保證優(yōu)化速度的同時(shí)，提高了優(yōu)化精度.最后分別采用數(shù)值函數(shù)和ASCE-Benchmark數(shù)值結(jié)構(gòu)模型對(duì)所提混合智能算法性能進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 有限元模型修正及多解問題

有限元模型修正屬于逆問題，即根據(jù)響應(yīng)輸出來推測(cè)系統(tǒng)屬性.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以將其描述為

X=f-1(Y)

(1)

式中：X為結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸入；Y為結(jié)構(gòu)響應(yīng)；f為結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)屬性.有限元模型修正的過程可以描述為：通過改變結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)屬性f(如材料彈性模量、支座剛度等)來減小結(jié)構(gòu)實(shí)際響應(yīng)與有限元(FE)模型計(jì)算響應(yīng)之間的誤差，即

changef→min|YRE-YFE|

(2)

式中：YRE為結(jié)構(gòu)實(shí)際響應(yīng)；YFE為有限元計(jì)算響應(yīng).

如圖1所示，同一個(gè)結(jié)構(gòu)的實(shí)際響應(yīng)是一定的，但是由于結(jié)構(gòu)測(cè)試時(shí)傳感器擺放位置不同，測(cè)試信號(hào)的處理方式不同，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)采取的模態(tài)階次不同等，用于模型修正的響應(yīng)Y可能會(huì)有區(qū)別，從而導(dǎo)致修正結(jié)果即系統(tǒng)屬性f的不同.

圖1 模型修正中多解問題的產(chǎn)生示意圖

如圖2所示，采用5階模態(tài)頻率及振型所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)在A處有更低的目標(biāo)函數(shù)值，但是B處的目標(biāo)函數(shù)值與A處目標(biāo)函數(shù)值非常接近.然而如果在目標(biāo)函數(shù)中增加第6階模態(tài)信息，那么目標(biāo)函數(shù)值會(huì)發(fā)生變化，B處所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值可能會(huì)比A處更低.

圖2 目標(biāo)函數(shù)

有學(xué)者[12-13]指出，由于目標(biāo)函數(shù)中不可能包含所有的結(jié)構(gòu)信息，所以有可能造成真實(shí)結(jié)構(gòu)損傷所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值比全局最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值大的現(xiàn)象.而傳統(tǒng)的有限元模型修正只提供一個(gè)最優(yōu)修正結(jié)果，這可能會(huì)漏掉能夠代表結(jié)構(gòu)真實(shí)情況的修正結(jié)果.因此，在尋找全局最優(yōu)解的同時(shí)，也尋找到在目標(biāo)函數(shù)值上與全局最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)值相接近，但是在自變量上相距較遠(yuǎn)的局部最優(yōu)解，這樣顯得更為合理.

2 基本算法介紹

2.1 穩(wěn)態(tài)遺傳算法

穩(wěn)態(tài)遺傳算法最先由Syswerda[14]提出，Caicedo等[6]對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了高效率的穩(wěn)態(tài)遺傳算法，所提算法以遺傳算法為基礎(chǔ)，同時(shí)增加了MGA解及其伴侶解的選擇過程，并且后續(xù)的交叉、變異也僅在MGA解及其伴侶解之間進(jìn)行.文獻(xiàn)[6]將MGA解定義為在目標(biāo)函數(shù)值上相近，但在自變量上具有一定距離的解.最終的模型修正結(jié)果即是MGA解集內(nèi)的元素.MGA解的伴侶解被定義為在目標(biāo)函數(shù)值上與MGA解相近，且在自變量上與MGA解相接近的一個(gè)解.在判定兩個(gè)解的距離遠(yuǎn)近時(shí)，作者采用了兩個(gè)解與某一定點(diǎn)所形成的夾角的大小.

在每輪迭代更新中，只有部分子代取代父代，因此只需計(jì)算新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值即可.對(duì)于復(fù)雜模型的修正，在優(yōu)化過程中最為耗時(shí)的就是計(jì)算個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，因此，穩(wěn)態(tài)遺傳算法的最大特點(diǎn)就是優(yōu)化速度快.

由于穩(wěn)態(tài)遺傳算法設(shè)置為每輪迭代由部分更優(yōu)的子代取代較差的父代，所以在迭代后期會(huì)出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值更優(yōu)的子代取代較差父代MGA解的情況，最終導(dǎo)致MGA解只剩下最優(yōu)的一個(gè)值.為了保證MGA解的個(gè)數(shù)，穩(wěn)態(tài)遺傳算法選擇在MGA解有多個(gè)的時(shí)候終止迭代，導(dǎo)致最終解的精度不高.

2.2 梯度下降算法

梯度下降算法利用個(gè)體所處位置的梯度，也即最速下降方向進(jìn)行優(yōu)化.由于只利用個(gè)體所處位置信息進(jìn)行尋優(yōu)，因此梯度下降算法具有很快的尋優(yōu)速度，且具有易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn).

梯度下降算法中采用下式進(jìn)行迭代更新解的位置：

(3)

由于梯度下降算法中個(gè)體只感知周圍很小一個(gè)區(qū)域的梯度信息，所以梯度下降算法很容易陷于局部最優(yōu)，且個(gè)體的最終優(yōu)化結(jié)果與其初始位置密切相關(guān)，即使初始位置相近的兩個(gè)個(gè)體，最終也可能優(yōu)化出兩個(gè)完全不同的結(jié)果.

3 基于SSGA和GD的混合智能算法

3.1 算法思想

混合智能算法(SSGA-GD)將SSGA和GD算法相結(jié)合，分別利用各自算法的優(yōu)點(diǎn).在算法前期利用SSGA搜索速度快和搜索域廣的優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)個(gè)體不再進(jìn)化或者進(jìn)化速度慢時(shí)，讓個(gè)體進(jìn)入GD算法，利用GD算法局部搜索速度快和搜索精度高的特點(diǎn)來提高M(jìn)GA解的精度.在GD算法中，個(gè)體的初始位置也即是MGA解的位置，因此解決了GD算法對(duì)初始位置敏感的問題.

3.2 算法流程

本文所提算法流程如圖3所示，具體步驟如下.

步驟1在自變量的定義域內(nèi)初始化種群.SSGA每次迭代只計(jì)算很少一部分個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，因此種群中個(gè)體數(shù)量的增加并不會(huì)顯著增加計(jì)算量，但是較多的個(gè)體數(shù)量會(huì)增加尋找到最優(yōu)值的概率.

步驟2計(jì)算每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，并據(jù)此將所有個(gè)體進(jìn)行排序.

步驟3排序后的種群中，第一個(gè)個(gè)體自動(dòng)選為MGA解，剩余個(gè)體按照順序計(jì)算是否滿足以下兩個(gè)條件，滿足則選為MGA解，否則忽略.

條件1該個(gè)體與MGA解集中所有元素形成的夾角θ大于設(shè)定值，如圖4所示.

圖3 混合智能算法計(jì)算流程

圖4 角度控制示意圖

即需要滿足：

(4)

式中：θ1和θ2分別為該個(gè)體與已有MGA解形成的夾角；α為設(shè)定的夾角控制值.

條件2該個(gè)體與最優(yōu)MGA解的目標(biāo)函數(shù)值之比小于設(shè)定值：

(5)

式中：J1為最優(yōu)MGA解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值；Ji為該個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值；β為設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)控制值.

步驟4判斷是否進(jìn)入GD程序，如果進(jìn)入則將所有的MGA解分別作為一個(gè)初始位置進(jìn)行梯度尋優(yōu).否則進(jìn)入下一步驟.本文設(shè)置個(gè)體是否進(jìn)入GD的判定準(zhǔn)則為：在最近的5次迭代過程中MGA解的優(yōu)化程度小于一個(gè)定值(本文取定值為10-5)，此值可根據(jù)問題特點(diǎn)進(jìn)行修改，取值越小，進(jìn)入GD的概率越小，反之則越大.

步驟5尋找每個(gè)MGA解的伴侶解，伴侶解需要滿足以下兩個(gè)條件：

條件1MGA解與其伴侶解之間的夾角θc小于設(shè)定值α，即

θc<α

(6)

條件2MGA解與其伴侶解目標(biāo)函數(shù)值之間比值大于設(shè)定值，即

(7)

式中：Ji為該MGA解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值；Ji c為該MGA解對(duì)應(yīng)伴侶解的目標(biāo)函數(shù)值；β為設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)控制值.

步驟6MGA解與其伴侶解之間進(jìn)行交叉，產(chǎn)生的新個(gè)體進(jìn)行變異，并計(jì)算新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值.

步驟7根據(jù)新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，采用輪盤賭策略以一定的概率用新產(chǎn)生的子代個(gè)體替換父代個(gè)體.

步驟8判斷是否滿足迭代終止條件，滿足則結(jié)束，輸出MGA解集，否則進(jìn)入步驟3.本文設(shè)置迭代終止條件為迭代次數(shù)達(dá)到上限.

3.3 數(shù)值算例

采用 Rastrigin’s Path函數(shù)測(cè)試算法尋找多個(gè)極值的能力以及在尋優(yōu)精度上的表現(xiàn)，函數(shù)如下：

(8)

式中：n為問題的維度；Xi為問題的自變量.

Rastrigin’s Path函數(shù)圖像如圖5所示.參數(shù)每個(gè)維度的定義域均為[-1,1]，在定義域內(nèi)，函數(shù)共有4個(gè)峰值，分別位于(0.502 6,0.502 6), (-0.502 6, -0.502 6), (-0.502 6,0.502 6), (0.502 6,-0.502 6) 附近，且4個(gè)峰值的目標(biāo)函數(shù)值相同.

圖5 Rastrigin’s Path函數(shù)圖像

采用SSGA-GD進(jìn)行多解尋優(yōu)，同時(shí)將SSGA作為對(duì)比算法驗(yàn)證算法性能.兩種算法的基本參數(shù)設(shè)定相同，不同之處在于SSGA-GD在進(jìn)化過程中MGA解增加了梯度尋優(yōu)的過程.參數(shù)設(shè)置如表1所示.表中α和β的取值可根據(jù)問題的特點(diǎn)進(jìn)行改變，cosα取值越大，最終修正結(jié)果的數(shù)量越多；β取值越小，最終修正結(jié)果的數(shù)量越多，但排序靠后的MGA解的質(zhì)量也越差.

由于4個(gè)極值對(duì)稱分布，且目標(biāo)函數(shù)值相同，將每輪迭代過程中算法尋找到的4個(gè)MGA解的目標(biāo)函數(shù)值的平均值作圖，結(jié)果如圖6所示.可以看出，相較于穩(wěn)態(tài)遺傳算法，改進(jìn)的算法具有更快的優(yōu)化速度，并且在精度上也有明顯的提升.表2為最后的優(yōu)化結(jié)果，可以看出，在計(jì)算時(shí)間僅增加0.13%的情況下，改進(jìn)算法尋找到的4個(gè)極值均具有更高的精度.

表1 SSGA-GD參數(shù)設(shè)置

圖6 SSGA和SSGA-GD迭代曲線

表2 SSGA與SSGA-GD結(jié)果對(duì)比

4 有限元模型修正

4.1 ASCE-Benchmark模型

為了給不同的模型修正方法提供一個(gè)統(tǒng)一的對(duì)比和評(píng)價(jià)平臺(tái)，國(guó)際結(jié)構(gòu)控制協(xié)會(huì)(IASC)和美國(guó)土木工程協(xié)會(huì)(ASCE)于1998年在位于加拿大的英屬哥倫比亞大學(xué)(UBC)建立了ASCE-Benchmark模型[15]，如圖7所示.

圖7 ASCE-Benchmark結(jié)構(gòu)

ASCE-Benchmark模型為一鋼框架模型，建立于加拿大UBC地震工程實(shí)驗(yàn)室.該結(jié)構(gòu)為4層等高、2×2等跨的鋼結(jié)構(gòu)框架，層高3.6 m，每跨2.5 m.為了能夠模擬實(shí)際情況，在第1、2、3層設(shè)置樓板，第1層樓板的質(zhì)量為4×800 kg，第2、3層板的質(zhì)量為4×600 kg，第4層樓板有對(duì)稱和非對(duì)稱兩種設(shè)置方式，質(zhì)量分別為4×400 kg和(3×400+1×550) kg.在每層中設(shè)置斜撐.結(jié)構(gòu)鋼材屈服強(qiáng)度為300 MPa.支撐、梁以及柱的截面尺寸及材料屬性如表3所示.

表3 ASCE-Benchmark參數(shù)

4.2 有限元模型及模態(tài)試驗(yàn)

根據(jù)ASCE-Benchmark模型[16]建立的有限元模型共含有36個(gè)節(jié)點(diǎn)和116個(gè)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)獨(dú)立的自由度Dx，Dy，Rz，每層樓板有共同的Dx，Dy，Rz3個(gè)自由度，共120個(gè)自由度.其中，梁和柱采用歐拉-伯努利梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，斜撐采用拉壓桿單元進(jìn)行模擬.

圖8 ASCE-Benchmark結(jié)構(gòu)的有限元模型及損傷位置示意圖

圖9 模態(tài)識(shí)別穩(wěn)態(tài)圖

本文設(shè)置的損傷形式如圖8所示.選取120個(gè)自由度非對(duì)稱結(jié)構(gòu)有限元模型，為便于得到可視化結(jié)果，共選取兩組參數(shù)進(jìn)行修正，桿件53、54的彈性模量為變量X1，桿件33、57、58的彈性模量為變量X2，設(shè)置損傷工況為X1彈性模量損傷為初始彈性模量的30%，X2為初始彈性模量的90%.

利用有限元程序計(jì)算結(jié)構(gòu)在設(shè)定損傷工況下的瞬態(tài)響應(yīng)，記錄每層的x、y兩個(gè)方向的加速度響應(yīng).對(duì)得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)利用隨機(jī)子空間法(Stochastic Subspace Identification, SSI)[17]進(jìn)行模態(tài)識(shí)別，并利用穩(wěn)態(tài)圖(見圖9)輔助確定模態(tài)階次，識(shí)別結(jié)果如表4所示(ft為頻率識(shí)別值).頻率、阻尼比和振型的穩(wěn)定準(zhǔn)則分別為相鄰兩階的誤差不超過兩者中最小值的1%、5%和1%.

表4 SSI頻率識(shí)別結(jié)果

4.3 ASCE-Benchmark有限元模型修正

根據(jù)識(shí)別結(jié)果和模型計(jì)算之間的誤差構(gòu)建目標(biāo)函數(shù).選取前5階模態(tài)的自然頻率和前4階的模態(tài)振型和作為修正目標(biāo)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

(9)

式中：fai為有限元模型分析得到的第i階頻率；fti為損傷模型隨機(jī)子空間法識(shí)別出的頻率結(jié)果；MACj為第j階模態(tài)置信準(zhǔn)則，

(10)

式中：φi和φj分別表示需要對(duì)比的兩個(gè)陣型.MAC結(jié)果范圍為[0 1]，越接近1，則說明兩者越有可能是同一階模態(tài).

目標(biāo)函數(shù)的圖像如圖10所示.從圖像中可以看出，目標(biāo)函數(shù)在(0.3,0.9)和(0.9,0.3)附近均有一個(gè)極值.

圖10 目標(biāo)函數(shù)圖像

圖11 SSGA和SSGA-GD迭代曲線

4.4 尋優(yōu)結(jié)果及分析

分別采用SSGA和SSGA-GD對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，算法中參數(shù)設(shè)置情況同上算例.將每輪迭代中前兩個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值取平均，然后作圖11，從圖中可以看出，SSGA-GD優(yōu)化速度明顯優(yōu)于SSGA.優(yōu)化結(jié)果如表5和6所示.表6中誤差的計(jì)算公式如下：

(11)

式中：E為誤差；f為初始有限元模型的頻率(fini)或修正后模型的頻率(fup)；fid為識(shí)別的頻率.

可以看出兩種算法計(jì)算時(shí)間相差不大，且均尋找到了定義域內(nèi)的兩個(gè)極值.從圖11、表5及表6中均可看出，SSGA-GD的尋優(yōu)精度明顯優(yōu)于SSGA.從表6中可以看出， 初始有限元模型與實(shí)測(cè)結(jié)果有較大誤差，頻率最大差值達(dá)到9.15%.經(jīng)過兩種算法修正后誤差均有減小，且SSGA-GD的修正精度優(yōu)于SSGA的修正精度.SSGA-GD中，修正結(jié)果1與識(shí)別結(jié)果之間的最大誤差僅為0.09%，其中多階修正結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相同，修正結(jié)果2與實(shí)測(cè)結(jié)果最大誤差也僅為0.28%， 可以看出兩個(gè)修正結(jié)果均具有較高的精度.

表5 SSGA和SSGA-GD結(jié)果對(duì)比

表6 有限元模型修正前后頻率對(duì)比

5 結(jié)論

本文分析了有限元模型中的多解問題，并且為了尋找到全局最優(yōu)以及質(zhì)量較好的局部最優(yōu)，將尋優(yōu)速度快但精度低的穩(wěn)態(tài)遺傳算法與尋優(yōu)精度高但受初始位置影響大的梯度下降算法相結(jié)合，分別利用兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種尋優(yōu)速度快、精度高的混合智能算法.采用數(shù)值算例和ASCE-Benchmark模型修正過程測(cè)試了所提算法尋找多個(gè)解的能力，同時(shí)將穩(wěn)態(tài)遺傳算法作為對(duì)比算法，測(cè)試改進(jìn)前后算法多解尋優(yōu)能力及計(jì)算效率.

(1) 數(shù)值算例尋優(yōu)結(jié)果表明，所提混合智能算法能尋找到自變量定義域內(nèi)的多個(gè)極值，且相比于穩(wěn)態(tài)遺傳算法，改進(jìn)的算法具有更高的尋優(yōu)精度.

(2) 在有限元模型過程中，所提算法修正能準(zhǔn)確找到定義域內(nèi)的兩個(gè)極值，且相對(duì)穩(wěn)態(tài)遺傳算法均具有更高的精度，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)頻率誤差最大值從9.15%分別下降到0.09%和0.28%，表明兩個(gè)尋優(yōu)結(jié)果均具有較高的精度.多個(gè)質(zhì)量較優(yōu)的修正結(jié)果可以為決策者提供更多的選擇.