湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (410081) 祁盛苗 謝圣英

直觀想象是六大核心素養(yǎng)之一，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的關(guān)系，利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀理解問(wèn)題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物[1].

文[2]中，江智如基于直觀想象素養(yǎng)，對(duì)2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(A卷)一試第10題進(jìn)行了解法探究，提供了三種解題方法：幾何法、導(dǎo)數(shù)法和AM-GM不等式法.其中，幾何法利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行求解，導(dǎo)數(shù)法和AG-GM不等式法都把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.考察了考生數(shù)形結(jié)合思想、直觀想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力[2].本文在此基礎(chǔ)上，對(duì)該題解法進(jìn)行再探究.

1.試題重現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且圓Ω與x軸相切于Γ的焦點(diǎn)F.求圓Ω的半徑.

2.解法再探究

2.1 相同切線法

思路分析：由條件“圓與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)”知，它們?cè)谠擖c(diǎn)有相同的切線，因此可考慮利用二者在公共點(diǎn)處的切線重合進(jìn)行求解.

圖1

解法1:如圖1所示，易知拋物線Γ的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)圓Ω的半徑為r(r>0).

由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于Γ的焦點(diǎn)F，故圓Ω的方程為(x-1)2+(y-r)2=r2.設(shè)圓Ω與拋物線Γ相切于點(diǎn)T(x0,y0)，則在點(diǎn)T處，圓Ω與拋物線Γ的切線方程分別為

(x0-1)(x-1)+(y0-r)(y-r)=r2①.

評(píng)注：解法1由條件“圓Ω與拋物線Γ恰有一個(gè)公共點(diǎn)”得到它們?cè)谠擖c(diǎn)處相切，即有相同的切線，因此分別寫(xiě)出二者在該公共點(diǎn)處的切線方程，利用它們表示同一條直線得到半徑r關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)的表達(dá)式，再由切點(diǎn)滿足拋物線Γ的方程，求得半徑.相比于利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，要求考生具有扎實(shí)的幾何功底[2]的幾何法，此解法巧用考生在初高中都學(xué)過(guò)的切線，更符合考生的思維習(xí)慣，考生更容易從頭腦中的圖示和產(chǎn)生式中提取熟悉的知識(shí)，高效解題.該解法數(shù)形結(jié)合，考察了考生直觀想象能力，具體表現(xiàn)為借助幾何直觀理解問(wèn)題，并建立形與數(shù)的關(guān)系從而解決問(wèn)題.

2.2切線長(zhǎng)相等法

思路分析：同樣從“相同切線”入手.考慮到圓Ω與拋物線Γ有公切線，又考慮到圓Ω與x軸相切，這兩條切線必然相交于圓外一點(diǎn)，因此可用切線長(zhǎng)定理求解.

圖2

解法2：如圖2所示，點(diǎn)F為拋物線Γ的焦點(diǎn)，點(diǎn)T為圓Ω與拋物線Γ的唯一公共點(diǎn).過(guò)點(diǎn)T作二者的公切線TB交x軸于點(diǎn)B.

評(píng)注：同是利用切線解題，與解法1考慮兩圓錐曲線的公切線不同，解法2從一條圓錐曲線的兩條切線入手，利用過(guò)圓外一點(diǎn)的該圓的兩條切線長(zhǎng)相等求解.因巧設(shè)切點(diǎn)T的坐標(biāo)，減少了未知量的個(gè)數(shù)，從而可減少計(jì)算量.此解法同樣數(shù)形結(jié)合，考察了考生直觀想象能力.此外，受解法2啟示，在解法1中，也可設(shè)切點(diǎn)T的坐標(biāo)為(t2,2t)，再求解.

3.總結(jié)與啟示

直線和圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題是高中幾何中一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，這道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題將直線換成了二次曲線，考慮兩條圓錐曲線的關(guān)系，因此可如同解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題一樣，將二者的方程聯(lián)立.但由于直線換成了二次曲線，所以需要突破利用根與系數(shù)的關(guān)系這種常用解法，另尋其他方法求解.又因二者只有一個(gè)公共點(diǎn)，想到它們?cè)谠擖c(diǎn)相切，以此為突破口，最終得到文中的兩種方法，解題思路充分體現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)中幾何直觀和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

史寧中教授認(rèn)為，在大多數(shù)情況下,數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的而不是“證”出來(lái)的.“看”是一種建立在長(zhǎng)期的有效能的觀察和思考的基礎(chǔ)上的直覺(jué)判斷.人能夠獲取知識(shí)是因?yàn)榫哂幸环N先天的“直觀能力”，但一個(gè)好的直觀能力的養(yǎng)成卻是依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)的[3].且已有研究表明[4]，近些年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中部分問(wèn)題出現(xiàn)了“競(jìng)賽化”的趨勢(shì)，或以數(shù)學(xué)競(jìng)賽相關(guān)定理為背景，或以數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題技巧為背景等等，以考察學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).這啟示教師在發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的日常教學(xué)中，不僅要挑選有利于培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的經(jīng)典例題，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，憑借幾何直觀進(jìn)行思考，還可以挑選、設(shè)計(jì)或改編一些與高中教材和考試大綱密切相關(guān)的、難度適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)競(jìng)賽幾何題，鼓勵(lì)學(xué)生自主尋找多種解法并反思總結(jié)，使學(xué)生不斷積累直觀想象經(jīng)驗(yàn)，形成對(duì)幾何圖形敏銳的洞察力和良好的直觀想象素養(yǎng)，從而提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力.