贠來峰,繆云飛,王國(guó)平,胡 俊,黃照協(xié)

(1.江蘇永豐機(jī)械有限責(zé)任公司,江蘇 盱眙 211722;2.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094; 3.南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京 210094;4.陸軍裝備部駐福州地區(qū)軍代室,福建 福州 350003)

對(duì)于批量生產(chǎn)的彈藥產(chǎn)品而言,抽樣檢驗(yàn)是一種不可或缺的檢驗(yàn)手段[1]。抽樣檢驗(yàn)是通過樣本來推斷產(chǎn)品的批質(zhì)量是否合格,它不可避免地會(huì)犯兩類錯(cuò)誤[2]。第一類錯(cuò)誤:將合格的產(chǎn)品錯(cuò)判為不合格,導(dǎo)致整批產(chǎn)品拒收,使生產(chǎn)方蒙受損失,稱為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α。第二類錯(cuò)誤:將不合格產(chǎn)品錯(cuò)判為合格,導(dǎo)致使用方蒙受損失,稱為使用方風(fēng)險(xiǎn)β。

標(biāo)準(zhǔn)型抽樣檢驗(yàn)[3]通常要求事先確定雙方的風(fēng)險(xiǎn)率,即事先給定生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn),然后采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法制定對(duì)雙方都予以保護(hù)的檢驗(yàn)方案。目前,抽樣檢驗(yàn)包含兩大體系[4],一是基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的抽樣檢驗(yàn)方法[5],二是基于Bayes理論的抽樣檢驗(yàn)方法[6-8]。理論與實(shí)踐表明,基于Bayes理論的抽樣方法由于采用了先驗(yàn)信息從而能大幅減少試驗(yàn)樣本量。按照待檢產(chǎn)品的質(zhì)量特性屬性可以將抽樣檢驗(yàn)分為計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)和計(jì)量型抽樣檢驗(yàn)。按照抽取樣本的次數(shù)又可分為一次抽樣檢驗(yàn)方案、二次抽樣檢驗(yàn)方案和序貫抽樣檢驗(yàn)方案等。其中一次抽樣檢驗(yàn)的方案由樣本大小與接收常數(shù)組成,抽樣過程簡(jiǎn)單,操作方便[9-11]。

針對(duì)彈藥產(chǎn)品可靠性交驗(yàn)試驗(yàn),文獻(xiàn)[12]已經(jīng)對(duì)可靠性抽樣風(fēng)險(xiǎn)公式進(jìn)行了改進(jìn),建立了可靠性逐批檢驗(yàn)的新型計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)方法。密集度的大小也是反映彈藥質(zhì)量好壞的一個(gè)重要方面,依據(jù)給定的驗(yàn)收指標(biāo)判定密集度質(zhì)量水平的抽樣檢驗(yàn),應(yīng)屬于計(jì)量型抽樣方案。目前,彈藥產(chǎn)品靶場(chǎng)密集度交驗(yàn)試驗(yàn)采用固定樣本量,更適用于孤立批驗(yàn)收,所需樣本量也較大。

本文針對(duì)彈藥產(chǎn)品密集度的質(zhì)量水平逐批抽樣檢驗(yàn)所面臨的現(xiàn)實(shí)問題,建立了一種新的計(jì)量型抽樣檢驗(yàn)方法。基于彈丸密集度檢驗(yàn)構(gòu)造了密集度的先驗(yàn)密度函數(shù),推導(dǎo)了Bayes后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)公式,制定了計(jì)量型一次抽樣檢驗(yàn)方案,并制定了相應(yīng)的抽樣方案表,可有效提升彈藥產(chǎn)品密集度批質(zhì)量檢驗(yàn)水平。

1 密集度檢驗(yàn)的雙方風(fēng)險(xiǎn)

1.1 密集度抽樣檢驗(yàn)

密集度是彈藥產(chǎn)品一個(gè)主要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo),也是重要的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)。承制單位生產(chǎn)一批彈藥,密集度是否達(dá)到了戰(zhàn)技指標(biāo)和質(zhì)量指標(biāo)的要求是需要檢驗(yàn)的。通常采用抽樣檢驗(yàn)方法對(duì)彈藥產(chǎn)品密集度的質(zhì)量水平進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。

1.2 雙方風(fēng)險(xiǎn)的含義

(1)

(2)

因此,有:

(3)

(4)

1.3 公式推導(dǎo)

(5)

令

(6)

(7)

設(shè)總體密集度B的先驗(yàn)密度函數(shù)為f0(y),則有:

(8)

(9)

可得:

(10)

(11)

(12)

將式(8)、式(10)～式(12)代入式(3)、式(4),可得包含先驗(yàn)密度函數(shù)的兩類風(fēng)險(xiǎn)公式:

(13)

(14)

其中,先驗(yàn)密度函數(shù)f0(y)待定。

2 密集度的先驗(yàn)密度函數(shù)

在Bayes抽樣檢驗(yàn)方法中,必須首先確定密集度B的先驗(yàn)密度函數(shù)f0(y)。

對(duì)于質(zhì)量穩(wěn)定的產(chǎn)品,總體密集度服從伽馬分布,其概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(15)

(16)

(17)

上述分布參數(shù)是由歷史批次試驗(yàn)結(jié)果得到的。這里引入一個(gè)先驗(yàn)估計(jì)的量B0,該值表征了歷史試驗(yàn)結(jié)果好壞的程度,B0越大,歷史試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)越差。先驗(yàn)估計(jì)的準(zhǔn)確性服從伽馬分布的密度函數(shù):

(18)

式中:λ0為準(zhǔn)確性常數(shù)。因此,該分布數(shù)學(xué)期望的值為E(B)=B0,表明先驗(yàn)估計(jì)在B0處估計(jì)準(zhǔn)確的可能最大。

(19)

將式(17)、式(18)代入式(19),可得:

(20)

將式(20)代入式(13)、式(14),得到兩類風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算公式:

(21)

(22)

根據(jù)變異系數(shù)d的定義,有:

(23)

工程實(shí)踐中一般取d=0.2～0.4。因此,

(24)

(25)

(26)

(27)

式中:d為變異系數(shù),在當(dāng)前彈藥產(chǎn)品質(zhì)量水平下,取d=0.35。

3 樣本量與雙方風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系

取BL=0.28,B0=0.26,圖1給出了接收常數(shù)分別為0.26(小于BL)、0.28(等于BL)、0.30(大于BL)時(shí)抽樣風(fēng)險(xiǎn)隨樣本量n的變化情況。計(jì)算中取n=3～40,則:①接收常數(shù)一定時(shí),抽樣風(fēng)險(xiǎn)均隨樣本量的增大呈下降趨勢(shì);②當(dāng)k≤BL時(shí),使用方風(fēng)險(xiǎn)始終小于生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn);③當(dāng)k=BL時(shí),使用方風(fēng)險(xiǎn)仍然小于生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)。但隨著樣本量n的增加,兩者差距越來越小;④當(dāng)k>BL時(shí),兩者相交,出現(xiàn)在某一樣本量時(shí)生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)等于使用方風(fēng)險(xiǎn),且超過該樣本量之后,使用方風(fēng)險(xiǎn)大于生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn),該情況下,抽樣方案不利于使用方。

圖1 風(fēng)險(xiǎn)隨樣本量的變化

4 接收常數(shù)與雙方風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系

取BL=0.28,B0=0.26,圖2給出了樣本量n=7時(shí)抽樣風(fēng)險(xiǎn)隨接收常數(shù)的變化情況。

圖2 風(fēng)險(xiǎn)隨接收常數(shù)的變化

由圖2可見,使用方風(fēng)險(xiǎn)隨著接收常數(shù)的增大而增大,生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)隨著接收常數(shù)的增大而減小。在此例中,若要求α=β,則接收常數(shù)k=0.302,此時(shí)α=β=0.193;若要求α=2β,則接收常數(shù)k=0.267,此時(shí)α≈2β=0.32。所以,針對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)要求,得到的接收常數(shù)也是不同的。在設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí),應(yīng)先明確對(duì)抽樣風(fēng)險(xiǎn)的要求。

5 抽樣方案表的確定

5.1 基本原則

按照計(jì)量型一次抽樣檢驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)思路,以驗(yàn)收質(zhì)量水平和生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)及使用方風(fēng)險(xiǎn)為設(shè)計(jì)依據(jù),使抽樣方案滿足指定的設(shè)計(jì)要求。抽樣方案采用以下2個(gè)原則。

保護(hù)使用方原則:即α>β,本文取α≈2β,α≤0.2。

懲劣原則:當(dāng)BL確定后,隨著B0的增大,樣本量n應(yīng)逐漸變大,從而檢驗(yàn)成本增加,以給生產(chǎn)方增加壓力。

5.2 搜索策略

按照上述原則,采用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算。編程的流程圖如圖3所示。

圖3 抽樣方案表的計(jì)算流程圖

5.3 計(jì)算結(jié)果

針對(duì)某一具體彈藥產(chǎn)品指定的驗(yàn)收質(zhì)量水平BL=0.28和密集度驗(yàn)前估計(jì)值B0=0.19～0.28,通過風(fēng)險(xiǎn)公式和搜索策略計(jì)算得到了一次抽樣樣本量及接收常數(shù),見表1。

從表1可以看出,隨著驗(yàn)前估計(jì)值的增大(即歷史試驗(yàn)的評(píng)估結(jié)果變差),樣本量呈逐漸增大的趨勢(shì),接收常數(shù)逐漸減小。在歷史數(shù)據(jù)較優(yōu)的情況下,樣本量降低到最小值n=3,但隨著驗(yàn)前估計(jì)值的逐漸增大,接收常數(shù)減小。

表1 某彈藥密集度檢驗(yàn)抽樣方案表

5.4 使用方法

①確定彈藥產(chǎn)品的密集度驗(yàn)前估計(jì)值B0;

②通過B0查詢抽樣方案表,獲得對(duì)應(yīng)的抽樣方案;

③根據(jù)樣本量進(jìn)行試驗(yàn);

④比較試驗(yàn)結(jié)果和接收數(shù),判定是否接收批產(chǎn)品。

6 與經(jīng)典計(jì)量抽樣方法的對(duì)比

為了直觀體現(xiàn)本文提出方法的有效性,以某型彈藥產(chǎn)品為例,在相同的條件下,與經(jīng)典的計(jì)量抽樣方法進(jìn)行了對(duì)比。彈丸密集度試驗(yàn)經(jīng)典計(jì)量抽樣方法采用文獻(xiàn)[2]中的方案。密集度驗(yàn)收質(zhì)量水平取BL=0.28,驗(yàn)前估計(jì)值取B0=0.21,取風(fēng)險(xiǎn)α=0.2,β=0.1。表2給出了2種方法所需的樣本量和抽樣風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)比結(jié)果表明,本文提出的方法抽樣檢驗(yàn)樣本量更少,實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)更小,有利于節(jié)約試驗(yàn)成本。

表2 兩種計(jì)量抽樣方法的對(duì)比

7 結(jié)束語

基于Bayes理論,結(jié)合彈藥批產(chǎn)品密集度檢驗(yàn)的相關(guān)信息,以驗(yàn)收質(zhì)量水平和驗(yàn)前估計(jì)信息為設(shè)計(jì)依據(jù),建立了新型的計(jì)量型一次抽樣檢驗(yàn)方法,構(gòu)造了密集度的先驗(yàn)分布,推導(dǎo)了兩類風(fēng)險(xiǎn)后驗(yàn)公式,并制定了相應(yīng)的抽樣方案表,適用于逐批彈藥密集度質(zhì)量水平的檢驗(yàn)。與現(xiàn)行的計(jì)量抽樣檢驗(yàn)方法相比,該方法具有2個(gè)鮮明的特點(diǎn):一是對(duì)于質(zhì)量穩(wěn)定且優(yōu)良的產(chǎn)品,總體樣本量少;二是樣本量隨產(chǎn)品密集度質(zhì)量水平變化而變化,當(dāng)產(chǎn)品的批質(zhì)量水平較優(yōu)時(shí),抽樣檢驗(yàn)的樣本量減少,當(dāng)產(chǎn)品的批質(zhì)量水平較差時(shí),抽樣檢驗(yàn)的樣本量增大。