張樹杉 王洪梅

[摘要]小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透著很多的建模思想，通過(guò)對(duì)數(shù)量問(wèn)題、總價(jià)問(wèn)題、行程問(wèn)題的教學(xué)片段進(jìn)行分析比較，探討如何加深學(xué)生對(duì)“歸一問(wèn)題”的理解，感悟數(shù)學(xué)思想、模型等，使建模思想得到有效滲透。

[關(guān)鍵詞]問(wèn)題解決;數(shù)學(xué)模型;歸一問(wèn)題

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）20-0072-02

數(shù)學(xué)模型即“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的故事”，是現(xiàn)實(shí)世界的簡(jiǎn)化及本質(zhì)的描述。數(shù)學(xué)建模是指“從數(shù)學(xué)的角度對(duì)所需要研究的問(wèn)題做一個(gè)模擬，去掉與之無(wú)關(guān)的因素，保留數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出：“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題?！倍W(xué)階段的數(shù)學(xué)建模與高中階段的不同，模型的內(nèi)容與建模的過(guò)程相對(duì)于高中的要求要低很多，但是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中同樣滲透著很多的建模思想。下面以三年級(jí)上冊(cè)中的“歸一問(wèn)題”為例，談?wù)勅绾卧趩?wèn)題解決中讓學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)模型。

【教學(xué)片段一】

出示例1：3件上衣用了15個(gè)扣子，15件上衣需要多少個(gè)扣子？

（教師在引導(dǎo)學(xué)生讀懂題目意思的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解答，并鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方式解答）

生1：

師：能說(shuō)一說(shuō)你畫的圖表示什么含義嗎？

生1：我先畫了3件上衣，并標(biāo)注了“15個(gè)”;第二排是15件上衣所需要的扣子的數(shù)量。

生2：

生3：

師：能說(shuō)一說(shuō)你這樣畫的理由嗎？

生3：我用3段表示15個(gè)扣子，先求出一段需要多少個(gè)扣子，進(jìn)而就可以求出15段（即15件上衣）需要多少個(gè)扣子。列式：15÷3=5（個(gè)），15x5=75（個(gè)）。

師：同學(xué)們畫的圖雖然簡(jiǎn)單，但能有效解決問(wèn)題。從畫圖的情況看，我們首先需要知道一件衣服用了多少個(gè)扣子，然后才能求出15件衣服用了多少個(gè)扣子，即由“1”求“多”。

分析：數(shù)學(xué)中，把每一件上衣用了多少個(gè)扣子稱為“每份數(shù)”，15件衣服即“份數(shù)”，15件衣服需要的扣子數(shù)稱為“總數(shù)”，進(jìn)而建立它們之間的關(guān)系“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解。

【教學(xué)片段二】

出示例2：7個(gè)書包140元，照這樣，買10個(gè)書包需要用多少元？

師：能說(shuō)一說(shuō)你對(duì)題目的理解嗎？

生4：我用1個(gè)圓圈表示1個(gè)書包，7個(gè)圓圈就表示7個(gè)書包，先求出1個(gè)書包的價(jià)錢，進(jìn)而求出10個(gè)書包需要用多少錢。列式：140÷7=20（元），20x10=200（元）。

生5：我用7段表示7個(gè)書包的價(jià)錢，先求出一段也就是一個(gè)書包的價(jià)錢，進(jìn)而求出10段也就是10個(gè)書包的價(jià)錢。列式：140÷7x10=200（元）。

師：你們的方法真好，太厲害了。

分析：數(shù)學(xué)中，把一個(gè)書包多少元稱為“單價(jià)”，10個(gè)書包的“10”稱為“數(shù)量”，10個(gè)書包的價(jià)格稱為“總價(jià)”，進(jìn)而建立它們之間的關(guān)系“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，從而順利建模解答問(wèn)題。

【教學(xué)片段三】

出示例3：4小時(shí)行駛了1200千米，8小時(shí)行駛多少千米？

師：這一題和前兩題有點(diǎn)相似，說(shuō)一說(shuō)你是如何思考的。

生6：我用一條線段表示4小時(shí)行駛1200千米，要求8小時(shí)行駛多少千米，就可以用兩條線段表示。列式：1200÷4=300（千米），300x8=2400（千米）。

生7：我和他想的不一樣，我是這樣想的，既然知道了4小時(shí)行駛了1200千米，要求8小時(shí)行駛多少千米，可以用8-4=4（小時(shí)），這樣就多出了4個(gè)小時(shí)，所以8小時(shí)行駛了1200+1200=2400千米。

生8：我和他們想的都不一樣。我是這樣想的，4小時(shí)行駛了1200千米，而8剛好是4的2倍，所以8小時(shí)行駛了兩個(gè)1200千米，即8÷4x1200=2400千米。

師：你真棒！知道和我們以前學(xué)習(xí)的“倍”的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，真是個(gè)愛思考的學(xué)生。

分析：1小時(shí)行駛了多少千米，數(shù)學(xué)中稱之為“速度”，8小時(shí)稱為“時(shí)間”，8小時(shí)行駛的千米數(shù)稱為“路程”。根據(jù)題意可建立相應(yīng)的模型“速度×?xí)r間=路程”，進(jìn)而求解。

【教學(xué)反思】

思考1：教學(xué)片段一利用的是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一模型，教學(xué)片段二利用的是“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”這一模型，教學(xué)片段三利用的是“速度×?xí)r間=路程”這一模型，這三類模型在數(shù)學(xué)中統(tǒng)稱“歸一問(wèn)題”模型，即知道“1”可以求出“許多”，反之，知道“許多”也可以求出“1”。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)極其復(fù)雜且具有挑戰(zhàn)性的過(guò)程，也是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是讓學(xué)生在某種學(xué)習(xí)中獲得帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)沒有復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其基本內(nèi)容仍是以四則混合運(yùn)算為主的問(wèn)題解決。從成人的視角去看數(shù)學(xué)模型是及其簡(jiǎn)單的，但是學(xué)生獨(dú)立思考、自主建構(gòu)與解決問(wèn)題的過(guò)程其實(shí)并不簡(jiǎn)單，許多問(wèn)題的解決過(guò)程都是學(xué)生“再創(chuàng)造”的過(guò)程。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與思維水平的提升離不開好的活動(dòng)設(shè)計(jì)，尤其在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模思想的滲透與培養(yǎng)既要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，也要兼顧不同水平和層次的學(xué)生的需求，這就要求教師要精心設(shè)計(jì)活動(dòng)。上述的三個(gè)教學(xué)片段由相應(yīng)的問(wèn)題引出了豐富的學(xué)習(xí)材料。為了便于比較，促進(jìn)學(xué)生的抽象概括能力，還對(duì)這些材料采用精準(zhǔn)的呈現(xiàn)順序，讓學(xué)生經(jīng)歷了自主探究、獨(dú)立思考、嘗試解決的過(guò)程。在比較這些材料時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生由“1”求出“許多”，使學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，既加深了學(xué)生對(duì)“歸一問(wèn)題”的理解，又突出了“歸一問(wèn)題”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與解題的規(guī)律。在整個(gè)建模的過(guò)程中，教師更加注重暴露學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、爭(zhēng)論、追問(wèn)中逐步厘清問(wèn)題。縱觀整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，每一次的學(xué)習(xí)探究，學(xué)生都在體會(huì)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，都在感悟數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)模型等，建模思想得到了有效滲透。

思考2：人們認(rèn)識(shí)客觀世界，把握客觀事物的規(guī)律，要通過(guò)探究事物與事物之間的異同，尋找事物與事物之間錯(cuò)綜復(fù)雜的內(nèi)在的聯(lián)系來(lái)現(xiàn)實(shí)，這就需要對(duì)事物進(jìn)行比較。通過(guò)比較，能夠找出不同事物共同的本質(zhì)屬性，促進(jìn)歸納概括和數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。設(shè)計(jì)上述三道題的目的是想讓學(xué)生能夠主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去比較、分析、解決一些同類的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，深刻地感悟并理解數(shù)學(xué)模型思想。通過(guò)對(duì)“數(shù)量問(wèn)題、總價(jià)問(wèn)題、行程問(wèn)題”進(jìn)行分析比較，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)“拋開情境，這些問(wèn)題的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)都是相同的”，進(jìn)而窺探到數(shù)學(xué)模型的影子。不僅解決問(wèn)題的過(guò)程能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程還能夠幫助學(xué)生跳出具體的情境，向更高的抽象思維水平邁進(jìn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要教給學(xué)生“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)內(nèi)容（好吃是指學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生感興趣、熱愛學(xué);有營(yíng)養(yǎng)是指教給學(xué)生數(shù)學(xué)的思想和方法），又要教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[s].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2011（7）：9-11.

（責(zé)編 羅艷）