毛建軍

摘 要：在高中數(shù)學概念、公式、解題教學活動中，我們應指導學生恰當而巧妙地運用特殊化思想來思考數(shù)學問題。這不僅能拓寬學生的解題思路，提高學生解決問題的能力，還能增強學生學習數(shù)學的信心，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：特殊化思想;特殊值法;概念;公式;數(shù)學歸納法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2020）09-079-1

所謂特殊化，是將一般問題的研究轉(zhuǎn)化為特殊情形，通過特殊情況的解決去探索一般規(guī)律，尋找解決一般問題的途徑或者否定已有的猜想。這種思考方法稱為特殊化思想。我們教師應在數(shù)學教學中注意特殊化思想的運用，以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生探索知識，理解知識、掌握知識、提高解決問題的能力。筆者現(xiàn)根據(jù)自身平時的教學實踐談些點滴體會，與同行商榷。

一、特殊化思想在數(shù)學概念教學中的應用

高中的數(shù)學概念具有很強的抽象性和嚴密性，深刻理解概念的本質(zhì)是數(shù)學概念教學的重要任務，對于某些教學概念，教師可以運用特殊化思想進行教學，以便突出概念的本質(zhì)，使學生理解其含義，加深對概念的記憶。

例1.定義在R上的任意奇函數(shù)f（x），f（0）是否確定？為什么？

經(jīng)過學習小組討論后，不少學生認為不確定，筆者給出的答案是f（0）確定的。有部分學生有疑惑，此時筆者提示引導，注意奇函數(shù)定義中的“任意”二字，其定義為：對定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么，對特殊的x的值的等式是否成立呢？此時學生們恍然大悟，齊聲回答取x=0，則有f（-0）=-f（0）=f（0），所以f（0）=0。

例2.判斷函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，1）的奇偶性？

經(jīng)過學習小組討論后，不少學生認為是偶函數(shù)。筆者給出的答案是錯誤。為什么？學生們感到很詫異。于是筆者引導學生思考，仍要注意奇、偶函數(shù)定義中的“任意”二字，由奇、偶函數(shù)的定義可知：對定義域內(nèi)任意的x，f（x）和f（-x）都必須有意義，而對特殊的x=-1，是否有意義？此時學生們茅塞頓開，迅速得出f（x）是非奇非偶函數(shù)的結(jié)論。同時又可進一步推出奇、偶函數(shù)的性質(zhì)：奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。

上面兩例的教學，都運用了特殊化思想。利用特殊值法，幫助學生加深了對奇、偶函數(shù)概念的理解，有利于學生領(lǐng)會函數(shù)奇偶性的本質(zhì)。

二、特殊化思想在數(shù)學公式教學中的應用

高中數(shù)學公式比較多，且有些容易混淆。如何指導學生記憶這些數(shù)學公式，是我們在數(shù)學公式教學中應該關(guān)注的一個問題。如果我們在教學中能運用特殊化思想，可以幫助學生理解公式，同時也能起到糾正錯誤，幫助記憶的效果。

比如等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1，前n項和公式Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1），其中的兩個公式中指數(shù)n和n-1容易混淆，在教學時指導學生運用特殊化思想，可取特殊值n=1進行驗證，便能進行區(qū)分。

再如圓臺的側(cè)面積公式S圓臺側(cè)=π（r1+r2）l，可令r1=0，r2=r時，得到S圓錐側(cè)=πrl，再令r1=r2=r時，得到S圓柱側(cè)=2πrl。

三、特殊化思想在解題教學中的應用

在解題時運用特殊化思想，可以充分挖掘隱藏于問題之中與之相關(guān)的特殊值、特殊點、特殊圖形、特殊位置和特殊結(jié)構(gòu)等，可以打通解題思路，簡化某些題解過程，避免繁瑣的運算，可以收到以簡馭繁，化難為易，事半功倍的效果。每年的高考題中（尤其是選擇題和填空題）都有幾道題可直接運用特殊化思想獲解。

（一）有關(guān)數(shù)列，函數(shù)等含有參數(shù)的問題，可賦與參數(shù)特殊值，再通過數(shù)值的計算獲得正確的解答，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為具體問題求解。

例3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=30，前2n項和為S2n=100，則它的3n項和S3n為（ ）。

A.130 B.190 C.210 D.260

析：令n=1時，原題轉(zhuǎn)化為：已知S1=30，S2=100，求S3？

解：令n=1時，S1=a1=30，S2=a1+a2=100，可得a2=70，d=40，從而得到a3=110，進而得出S3=a1+a2+a3=210，故選C。

例4.已知函數(shù)f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b為常數(shù)，則方程f（ax+b）=0解集為 。

解：分別令兩個函數(shù)中變量x=0，可分別得到f（0）=a，f（0）=2，從而得出a=2，令f（0）=0，即方程x2+2x+2=0無實數(shù)根，所以方程f（ax+b）=0也無實數(shù)根，即方程f（ax+b）=0解集為。

以上兩例都是運用特殊化思想，恰當選取特殊數(shù)值，靈活地獲得正確答案，充分節(jié)省解題時間，提高了解題的效率。

（二）在求解曲線系恒過定點的有關(guān)問題時，常通過取特殊值，將其劃歸轉(zhuǎn)為特殊曲線的問題解決。

例5.求證：對于任意a∈R，曲線y=（a+1）x2+2ax+a恒過定點，并求定點坐標。

解：曲線系經(jīng)過的定點可通過其中任意兩條曲線的交點來確定。

取a=0及a=-1分別得y=x2和y=-2x-1兩個方程，由這兩個方程聯(lián)立方程組得：y=x2y=-2x-1，解得：x=-1y=1。把x=-1和y=1代入原曲線方程1=（a+1）-2a+a，此時等式對任意a∈R恒成立，故曲線系恒經(jīng)過定點（-1，1）。

（三）在處理探索性問題時，運用特殊化思想，先研究簡單、個別、特殊情況，從中歸納出一般的結(jié)論或規(guī)律，再尋求方法予以證明。

例6.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=3an+42an+3，n∈N*，求a2，a3，試判定an與2的大小，并加以證明。

解：由題意易得，a2=107，a3=5841，經(jīng)過比較得出：a1>2，a2>2，a3>2，猜想an>2，n∈N*。用數(shù)學歸納法證明如下：

①當n=1時，a1=2>2，不等式成立;

②假設當n=k時，不等式成立，即：ak>2;

當n=k+1時，ak+1-2=3ak+42ak+3-2=（3-22）ak+（4-32）2ak+3=（3-22）（ak-2）2ak+3>0，

所以ak+1>2，即當n=k+1時，不等式也成立;

綜合①②得：an>2，n∈N*。

例7.在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多有 個。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：四棱錐是多式多樣的，我們從“側(cè)面是直角三角形”這個條件出發(fā)，構(gòu)造出一個側(cè)棱PA垂直于底面且底面四邊形ABCD為矩形的特殊四棱錐P-ABCD模型，再由三垂線定理可知四個側(cè)面均可為直角三角形。故選D。

以上兩例仍然是利用研究特殊情況先猜想出一般性結(jié)論再進行嚴密論證，以及構(gòu)造出與題設相關(guān)的特殊圖形作為解決問題的模型，使直接求解困難或無法借助定理、性質(zhì)入手的探索性問題得到解決。

總之，在高中數(shù)學教學活動中，我們?nèi)裟苤笇W生恰當而巧妙地運用特殊化思想來思考數(shù)學問題，不僅能拓寬解題思路，提高解決問題的能力，有效的節(jié)省時間，達到事倍功半的效果;還能增強學生學習數(shù)學的信心，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

（作者單位：鹽城市阜寧縣第一高級中學，江蘇 鹽城224000）