王雅麗， 高承華

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引 言

近年來(lái), 在許多物理問(wèn)題中出現(xiàn)了邊界條件依賴(lài)特征參數(shù)的S-L問(wèn)題, 引起了諸多學(xué)者的廣泛關(guān)注并獲得了許多深刻結(jié)果[1-4]. 如文獻(xiàn)[2]利用Prüfer變換研究了邊界條件依賴(lài)特征參數(shù)的特征值問(wèn)題的S-L理論, 得到了特征值的存在性, 交錯(cuò)性以及特征值對(duì)應(yīng)特征函數(shù)的振蕩性. 文獻(xiàn)[4]得到了連續(xù)情形下問(wèn)題的漸近公式及特征值的交錯(cuò)性, 對(duì)應(yīng)特征函數(shù)的振蕩性等性質(zhì).

對(duì)邊界條件依賴(lài)于特征參數(shù)的離散右定S-L問(wèn)題的譜的研究也已經(jīng)取得了豐富的結(jié)果[5-9]. 如2016年, 文獻(xiàn)[7]研究了如下邊界條件依賴(lài)線性特征參數(shù)的離散右定S-L問(wèn)題：

的譜， 其中m(t)>0,t∈[1,T]Z, 即m(t)在[1,T]Z上不變號(hào).對(duì)于邊界條件依賴(lài)特征參數(shù)的離散左定S-L問(wèn)題的譜研究相對(duì)少見(jiàn). 2017年, 文獻(xiàn)[10]研究了邊界條件依賴(lài)線性特征參數(shù)的離散左定S-L問(wèn)題

的譜. 其中,r(t)在[1,T]Z上變號(hào).受以上文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文研究如下二階離散左定S-L問(wèn)題

的譜, 這里Δ是前差分算子, 滿足Δu(t)=u(t+1)-u(t),是后差分算子, 滿足u(t)=u(t)-u(t-1),λ是譜參數(shù),p:[0,T]Z→(0,+),q:[1,T]Z→(0,+),r(t)≠0且在[1,T]Z上變號(hào). 進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[10]的結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

本文總假定:

(A1) 對(duì)所有的t∈[0,T]Z有p(t)>0, 對(duì)所有的t∈[1,T]Z有q(t)≥0;

(A2)r(t)在t∈[1,T]Z上變號(hào), 即在[1,T]Z上有m個(gè)點(diǎn)使得r(t)>0, 另外T-m個(gè)點(diǎn)使得r(t)<0；

(A3)δM正定， 其中δ=ad-bc,

由(A3)可知,δab>0,δcd>0且detM=δbc>0, 于是ac>0,bd>0.

設(shè)y(t,λ)是方程(1)滿足初始條件

y(0,λ)=p(0)(cλ+d),Δy(0,λ)=aλ+b

(3)

的解, 則y(t,λ)為如下廣義Sturm序列:

y(0,λ)=p(0)(cλ+d);

y(1,λ)=(a+p(0)c)λ+(b+p(0)d);

(a+p(0)c)λi+Pi-1(λ),i=2,…,T

(4)

這里Pi-1(λ)是關(guān)于λ的i-1次多項(xiàng)式. 特別地,

(a+p(0)c)λT+1+PT(λ).

定義H:=Y⊕C. 則H在內(nèi)積

之下構(gòu)成Hilbert空間.

定義A:D(A)→H，

A(y,α)=(-(p(t)Δy(t))+q(t)y(t),

-ε(by(0)-dp(0)Δy(0))),

其中D(A)={(y,α)y∈Y, -ay(0)+cp(0)Δy(0)=α},ε=sgnδ. 于是問(wèn)題(1)-(2)等價(jià)于AY=λSY， 這里S=(y,α)=(ry,α).

引理2.1算子A在D(A)上是正定的.

證明 由Hilbert空間中內(nèi)積的定義可得

這里f=(y(0),p(0)Δy(0))T, 于是由(A1)及(A3)可知算子A正定.

3 主要結(jié)果

引理3.1多項(xiàng)式y(tǒng)(t-1,λ)與y(t,λ),t=1,…,T+1無(wú)相同零點(diǎn).

證明 反設(shè)λ=λ0是y(t-1,λ)與y(t,λ)的零點(diǎn). 則由(4)式可得y(t-2,λ0)=0. 進(jìn)一步可得y(t-3,λ0)=…=y(1,λ0)=y(0,λ0)=0. 這與y(1,λ0)≠y(0,λ0)=0矛盾.

引理3.2設(shè)λ=λ0是y(t,λ)=0的零點(diǎn), 則y(t-1,λ0)y(t+1,λ0)<0.

證明 由于y(t,λ0)=0, 由引理3.1可知y(t-1,λ0)≠0. 于是由(4)式可知

因此

y(t-1,λ0)y(t+1,λ0)=

由(7)式可知,y(T+1,λ)的最高次項(xiàng)為

(a+p(0)c)λT+1.

因此當(dāng)λ足夠大時(shí),y(t,λ)的符號(hào)取決于a+p(0)c的符號(hào). 若a+p(0)c>0, 則

sgny(T+1,λ)=(-1)T-m+1,λ→-;

若a+p(0)c<0, 則

sgny(T+1,λ)=(-1)T-m,λ→-.

t∈[1,i-1]Z

和方程(1)以及y(i)=0組成問(wèn)題的特征值. 特別地

則

所以不失一般性接下來(lái)我們總假定

(A4)δ<0,c<0.

引理3.3多項(xiàng)式y(tǒng)(i,λ)=0與y(i+1,λ)=0,i=1,…,T的根滿足如下交錯(cuò)性質(zhì)：

(ii)y(i,λ)=0與y(i+1,λ)=0,i=1,…,T的正(負(fù))根互相分離.

所以當(dāng)r(1)>0時(shí), 若λ→-則y(2,λ)→+; 若λ→+則y(2,λ)→+.于是y(2,λ)=0有兩個(gè)正根且滿足當(dāng)r(1)<0時(shí), 若λ→-則y(2,λ)→-; 若λ→+則y(2,λ)→-. 于是y(2,λ)=0有一個(gè)負(fù)根一個(gè)正根且滿足因此,y(1,λ)=0與y(2,λ)=0分別有1個(gè), 2個(gè)單根且正(負(fù))根互相分離.

不妨假設(shè)i=k-1時(shí)結(jié)論成立, 即y(k-1,λ)=0與y(k,λ)=0分別有k-1個(gè)、k個(gè)單根且正(負(fù))根也有交錯(cuò)性. 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)令

接下來(lái)考慮y(k,λ)=0與y(k+1,λ)=0的根的交錯(cuò)性. 不妨設(shè)r(k)>0, 則r(t)在[1,k]Z上有mk-2+2個(gè)為正以及k-2-mk-2個(gè)為負(fù). 由(4)式可知sgny(k+1,-)=-sgny(k,-),sgny(k+1,+)=-sgny(k,+),以及y(k+1,0)>y(k,0)>0, 且由引理3.2可知

u=1,2,…,mk-2+2,

v=1,2,…,k-2-mk-2.

內(nèi)各有y(k+1,λ)=0的一個(gè)根. 另一方面,y(k+1,λ)=0至多有k+1個(gè)根. 于是在這k+1個(gè)區(qū)間內(nèi)y(k+1,λ)=0只有一個(gè)根. 因此y(k,λ)=0與y(k+1,λ)=0的正(負(fù))根互相分離.綜上可知,y(i,λ)=0與y(i+1,λ)=0,i=1,…,T的正(負(fù))根互相分離.證畢.

推論3.4由引理3.3可知, 問(wèn)題(1),(3)恰有T+1個(gè)特征值且滿足

引理3.5假設(shè)(A1)～(A4)成立, 則

{y(1,λ), …,y(T,λ),y(T+1,λ)}

(5)

變號(hào)k-1次. 接下來(lái)討論如下序列的變號(hào)次數(shù)

{y(0,λ),y(1,λ),…,y(T,λ),y(T+1,λ)}

(6)

定理3.6假設(shè)(A1)～(A4)成立, 則

例3.7考慮如下離散左定S-L問(wèn)題:

其中, |r(t)=16|,r(1)>0,r(2)>0,r(3)<0.則

y(0,λ)=-λ+1,

y(1,λ)=-4λ+3,

y(2,λ)=(2-r(1)λ)y(1,λ)-y(0,λ),

y(3,λ)=(2-r(2)λ)y(2,λ)-y(1,λ),

y(4,λ)=(2-r(3)λ)y(3,λ)-y(2,λ),

由Matlab 7.0軟件計(jì)算可得,

即

這與引理3.3的結(jié)論一致且問(wèn)題共有4個(gè)特征值, 其中有1個(gè)負(fù)特征值, 3個(gè)正特征值. 接下來(lái)我們來(lái)驗(yàn)證振蕩性.

{0.1067, 3.4267, 11.5957, 39.5568, 0},

{0.9599, 2.8396, 2.8978, 1.0970, 0},

{0.8301, 2.3205, -2.4958, -0.5290, 0},

{0.2439, -0.02439, 0.002399, 0.0001702, 0}.

從而可知問(wèn)題的解y(t,λ),t=0, 1, 2,3,4變號(hào)k-1次.這與定理3.6的結(jié)論一致.