摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力，《四邊形的內(nèi)角和》一課中，教師慣用的證明方法就是課本中的分割法，將四邊形分割成三角形，利用三角形的內(nèi)角和證明，在這個(gè)過程中，是否有其他的證明方法，如何充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，值得我們?nèi)シ此伎偨Y(jié)，學(xué)生想出來的辦法是否嚴(yán)謹(jǐn)，值得我們?nèi)パ芯刻剿鳌?/p>

關(guān)鍵詞：四邊形;內(nèi)角和;證明;轉(zhuǎn)化

本學(xué)期在教授人教版教材八年級上冊《多邊形的內(nèi)角和》一節(jié)的課前備課時(shí)，證明四邊形內(nèi)角和為360°，根據(jù)教材，利用分割法將四邊形分割成三角形來證明。四邊形轉(zhuǎn)化為三角形求內(nèi)角和，這種辦法對于學(xué)生來說易想且簡單，并且有利于幫助學(xué)生利用規(guī)律求出n邊形內(nèi)角和，于是我預(yù)設(shè)了以下幾種學(xué)生容易想到的辦法。

圖1直接連接一條對角線，將四邊形分割成兩個(gè)三角形，即180°×2=360°。

圖2連接兩條對角線AC、BD，形成四個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和相當(dāng)于4個(gè)三角形內(nèi)角和減去周角360°，4×140°-360°=360°。

這四種方法中，圖1和圖2是絕大部分學(xué)生能夠想到的辦法，對于少部分學(xué)生來講，圖3與圖4就需要教師的引導(dǎo)。

老師會(huì)提問，圖2中的點(diǎn)P是兩條對角線的交點(diǎn)，比較特殊，如果點(diǎn)P沒有這么特殊，你還能將四邊形分割成三角形嗎？

學(xué)生經(jīng)過教師的引導(dǎo)，可以得出圖3的方法，教師再提問，點(diǎn)P還能取在其他地方嗎？點(diǎn)P能取在四邊形的邊上嗎？學(xué)生可能會(huì)得出圖4?？偨Y(jié)得出P點(diǎn)可以取在四邊形內(nèi)部，也可取在四邊形的邊上，當(dāng)點(diǎn)P取在對角線交點(diǎn)處，其實(shí)就是特殊的圖1。

教學(xué)這節(jié)課時(shí)，老師都會(huì)探究這幾種方法，以上幾種方法可以類比到其他的多邊形中，很多時(shí)候，我為了教授完課堂教學(xué)的內(nèi)容，放棄了讓學(xué)生深入挖掘的想法，從而扼殺了學(xué)生思維的創(chuàng)造性和發(fā)散性，這并不是真正的數(shù)學(xué)教學(xué)。于是這次我在備課的時(shí)候，準(zhǔn)備讓學(xué)生暢所欲言，給他們時(shí)間，讓他們思維在探索的世界里遨游。

如備課時(shí)的預(yù)設(shè)情景一樣，在實(shí)際的教學(xué)過程中，學(xué)生很順利的得出上面四種方法。

老師再提問：點(diǎn)P除了取在四邊形內(nèi)部以及邊上，還能取在其他地方嗎？

學(xué)生們興趣一下就提高了，他們很快就得出了點(diǎn)P取在四邊形外的情形。

學(xué)生們在四邊形ABCD外取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于三個(gè)三角形內(nèi)角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

到了這里，學(xué)生的積極性就被調(diào)動(dòng)起來了，任教的兩個(gè)班級想了很多方法。

有同學(xué)就想出了這樣一種辦法，他將四邊形分割成了三個(gè)直角三角形和一個(gè)長方形。

老師：同學(xué)們，這種方法成立嗎？

學(xué)生經(jīng)過計(jì)算，四邊形的內(nèi)角和可以是三個(gè)三角形的內(nèi)角和加上4個(gè)直角的度數(shù)，減去多余的三個(gè)平角。

老師給予答案的肯定，再提問，所有的四邊形都可以這樣做輔助線嗎？如果它本身是一個(gè)長方形呢？還能這樣做嗎？

學(xué)生：不能

老師：那這種方法可以用來證明四邊形內(nèi)角和嗎？

學(xué)生現(xiàn)在就開始產(chǎn)生意見的分歧，經(jīng)過討論，他們一致認(rèn)為可以，但是要分類，可以分為特殊的四邊形和一般的四邊形討論。

老師：那我們之前的幾種方法需要分類嗎？

學(xué)生：不需要，因?yàn)樗械乃倪呅味伎梢酝ㄟ^連接分割成三角形，圖1～圖4的方法適合于一切四邊形。

看著同學(xué)們在矛盾中頓悟出來的想法，我感到無比的愉悅。這正是這節(jié)課的目的所在。

學(xué)生又提出，這個(gè)圖形太特殊，可以不用作水平和豎直的線，他們又畫出以下圖形：

學(xué)生列式3×180°+360°-180°=360°

學(xué)生：可以三個(gè)三角形的內(nèi)角和加上中間四邊形360°，再減去多出來的3個(gè)平角。

老師：這個(gè)方法對嗎？

學(xué)生A：不對，我們的目的就是為了證明四邊形的內(nèi)角和360°，這里直接使用了。

老師對回答給予肯定，并對以上兩種分法進(jìn)行了區(qū)別分析。

老師：還有的別的方法可以證明嗎？上一節(jié)課我們是怎么證明三角形內(nèi)角和的？

學(xué)生回憶通過做平行線。

老師：那四邊形內(nèi)角和能不能作平行線證明了？同學(xué)們下課后去思考一下還有沒有其他方法。

到這里下課鈴聲響起了，我不得不停下本堂課的繼續(xù)深入了，但是下課不代表停止思考，我把剩下的思考空間作為課后作業(yè)留給了學(xué)生，讓他們繼續(xù)拓展，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生方法和思維的延伸。

兩天以后的一節(jié)練習(xí)課，專門就學(xué)生找到的方法進(jìn)行了討論。

學(xué)生A：我最開始嘗試做BD的平行線AE，并延長BA，

∵∠B=∠FAE，∠D=∠CEA，

∴∠BAC+∠B+∠C+∠D

=∠BAC+∠FAC+∠CAE+∠C+∠CEA

=180°+180°

=360°

在此處鍵入公式。

老師：同學(xué)們她證得對嗎？

基本上所有學(xué)生認(rèn)為這種證明方法沒有問題，是對的，并且還有同學(xué)提出，他這樣畫輔助線麻煩了，不需要延長BA，只需做出BD的平行線AE，此時(shí)四邊形的內(nèi)角和就等于兩組同旁內(nèi)角360°，再加上一個(gè)三角形的內(nèi)角和180°，減去多算的一組鄰補(bǔ)角之和180°即可，都得到了學(xué)生的認(rèn)可。

但是在我刻意有疑問的目光中，同學(xué)們逐漸感覺出不對了。

學(xué)生B發(fā)現(xiàn)了：我認(rèn)為這種證法不完整，也應(yīng)該像上一節(jié)課有種方法一樣分類證明，是不是所有的四邊形都能做出其中一邊的平行線呢，如果四邊形本身有一組對邊或兩組對邊都平行的話就不需要做輔助線，直接利用平行線的性質(zhì)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可證。所以如果要用這種方法，那就要幾種情況討論，要分類，要嚴(yán)謹(jǐn)。

其他同學(xué)這才恍然大悟。

雖然發(fā)現(xiàn)這點(diǎn)的同學(xué)不多，但是哪怕只有一位學(xué)生從之前的證明中已經(jīng)得到反思，并且應(yīng)用了起來，也是教學(xué)的一種進(jìn)步，他們已經(jīng)意識(shí)到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

所以在后面學(xué)生C提出了可以過不同頂點(diǎn)做同一條邊的兩條平行線的方法時(shí)，他自動(dòng)參照了同學(xué)B的回答，將他的證明步驟完善了。

大家經(jīng)過又一輪的討論，又得出其他幾種平行線的做法，在這就不一一贅述了。

學(xué)生：方程思想行不行？

設(shè)四邊形內(nèi)角和為x，大四邊形的內(nèi)角和就等于兩個(gè)小四邊形的內(nèi)角和減去兩個(gè)平角，可以列一個(gè)方程x=2x-2×180°，解得x=360°。

此時(shí)，我覺得我的內(nèi)心是比較激動(dòng)的，以前確實(shí)沒有想過用方程去證明，但仔細(xì)一想，這個(gè)方法不對，它的前提建立在四邊形內(nèi)角和都相等的基礎(chǔ)上，學(xué)生忽略了這一點(diǎn)，這一點(diǎn)也是以后幾何證明中經(jīng)常犯的問題，此時(shí)正是一次好的教育機(jī)會(huì)。

老師：你們覺得可行嗎？

這次全班是一致的同意意見，對的。

我注視著他們?nèi)缓笪⑿?，學(xué)生們很了解，當(dāng)老師出現(xiàn)了這副神態(tài)的時(shí)候，肯定有問題了。

于是他們開始一步步排查，得出的結(jié)論還是沒錯(cuò)。滿臉好奇的樣子！

老師：我們證明的是什么？

學(xué)生：四邊形內(nèi)角和360°。

老師：方程中用到了三個(gè)四邊形，我們都沒有證明出四邊形內(nèi)角和360°，你怎么知道它們的內(nèi)角和是相等的，證明能都設(shè)為x？

學(xué)生們恍然大悟。

老師最后提出問題：這些證明方法的方法，能用來證明五邊形，六邊形、n邊形的內(nèi)角和嗎？通過我們對四邊形內(nèi)角和的探索，你有哪些收獲呢？

課后，我調(diào)查了學(xué)生們對本節(jié)課的想法，學(xué)生們普遍的想法是從來沒有覺得四邊形的證明方法有這么多，自己能想出一種不同的方法很有成就感，也從其他同學(xué)不完整以及錯(cuò)誤的證法中，得到一些啟發(fā)，學(xué)會(huì)思辨，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

當(dāng)然四邊形的內(nèi)角和證明方法肯定還有許多，這些就等待我們在以后的教學(xué)中再繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去挖掘。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是發(fā)散的，是有趣的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求教師在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，這樣的課堂，幫助培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，實(shí)際上也是在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，也是給學(xué)生們提供了更廣泛的思維空間，讓他們在多角度，多側(cè)面，多途徑的思考中，篩選出最佳的解法，這些都是作為教師的我們應(yīng)該做的，在新課標(biāo)要求下，教師不應(yīng)該一味的照本宣科，應(yīng)該改革創(chuàng)新，及時(shí)反思，并且不斷改進(jìn)，只有這樣才能培養(yǎng)出具有獨(dú)立思辨能力的未來人。

作者簡介：

唐穎，重慶市，重慶市人和中學(xué)。