曹盼 王冬生 鞏傅維

摘? 要 利用易化物理軟件繪制兩個(gè)等量電荷電場的函數(shù)圖像和矢量圖像，采用數(shù)據(jù)探究法直觀搜尋極值條件，引入三項(xiàng)均值不等式定量分析極值，啟發(fā)學(xué)生思維，獲得兩個(gè)電荷電場分布的重要特征。

關(guān)鍵詞 電場分布;三項(xiàng)均值不等式;易化物理

中圖分類號(hào)：G633.7? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2020）01-0027-03

1 前言

兩個(gè)等量點(diǎn)電荷的電場分布是高考考查的熱點(diǎn)，巧妙結(jié)合了“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀兩種重要的分析方法。其中極值的確定是電場分布的一個(gè)難點(diǎn)，通過電場線能夠直觀判斷電場的分布[1]，但想精確確定還得靠數(shù)學(xué)分析。利用導(dǎo)數(shù)法（微積分）求極值是一種常見的徹底解決問題的通用方法，現(xiàn)在的高二學(xué)生已經(jīng)學(xué)過導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)。和高等數(shù)學(xué)方法帶來的快捷相比，初等數(shù)學(xué)方法的巧妙應(yīng)用常能使人眼前一亮，對(duì)思維產(chǎn)生很大的沖擊。

在讀鄒兆貴的《小球重力瞬時(shí)功率取極值時(shí)相應(yīng)位置的探討》[2]一文時(shí)，對(duì)應(yīng)用均值不等式的方法很是欣賞，其表達(dá)形式和同種電荷中垂線上的電場形式非常相似。按照參考文獻(xiàn)“順藤摸瓜”閱讀相關(guān)文章，發(fā)現(xiàn)文章都把三項(xiàng)均值不等式當(dāng)成自然的結(jié)論?；蛟S是因?yàn)閷?duì)兩個(gè)數(shù)的均值不等式太熟悉了，以至于自然接受了三項(xiàng)均值不等式，用直覺代替了嚴(yán)謹(jǐn)。

在讀殷正徐的《應(yīng)用GeoGebra軟件深入研究一道高考物理題——等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的場強(qiáng)研究》[3]時(shí)，體會(huì)到將函數(shù)曲線和矢量圖結(jié)合起來的圖解表征是一個(gè)很有創(chuàng)意的思路，能夠有效促進(jìn)復(fù)雜規(guī)律的認(rèn)知。

本文在直觀的圖像基礎(chǔ)上，試圖應(yīng)用數(shù)據(jù)探究法和均值不等式系統(tǒng)探討兩個(gè)等量同種電荷、異種電荷在連線和中垂線兩個(gè)方向上的電場分布規(guī)律，兼顧效率與嚴(yán)謹(jǐn)，啟發(fā)思維。

2 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：三項(xiàng)均值不等式的證明

啟發(fā)式，從兩項(xiàng)到三項(xiàng)? 兩項(xiàng)均值不等式，

a>0，b>0容易證明。如何從兩項(xiàng)到三項(xiàng)？可先應(yīng)用兩次到四項(xiàng)：

當(dāng)a=b=c=d時(shí)取等號(hào)。然后把第四項(xiàng)d做一個(gè)替換，注意：等式的替換需要等量替換，不等式的替換只需符合條件（這里是非負(fù)數(shù)）。取，（1）式變?yōu)?，化簡得，?dāng)時(shí)取等號(hào)。

硬算法，利用因式分解? 利用兩項(xiàng)均值不等式不難證明：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca? ? ? ? ? ?（2）

當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。采用作差法：

（a+b+c）3-33abc=（a+b+c）[（a+b）2+2（a+b）c+c2]-27abc

=（a+b+c）[a2+b2+c2-（ab+bc+ca）]+3（a+b+

c）（ab+bc+ca）-27abc

由（2）式可得：

（a+b+c）3-33abc≥3（a+b+c）（ab+bc+ca）-27abc

=3[a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）]-18abc

≥3（2abc+2bac+2cab）-18abc

=0

則，且當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。

3 兩等量異種電荷連線和中垂線上的電場

等量異種電荷連線上的電場分布? 設(shè)兩個(gè)點(diǎn)電荷距離為l=2d，取中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，左側(cè)是正電荷，向右為正方向。則，。

合場強(qiáng)要分段計(jì)算，，其中x≠±d。

利用易化物理繪圖，輸入腳本[4]：

拖動(dòng)兩個(gè)滑竿k和m，使q1和q2相等，如圖1所示。

可見，等量異種電荷連線上的電場呈左右對(duì)稱分布，電荷兩側(cè)電場方向相同且越向外越小，越靠近場源電場越大，電荷連線之內(nèi)電場方向相同且有極小值。極小值可利用兩項(xiàng)均值不等式探究，合場強(qiáng)：

由可得：

當(dāng)r1=r2=d時(shí)，即兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)合場強(qiáng)最小。

等量異種電荷中垂線上的電場分布? 為了有效地結(jié)合函數(shù)圖像和矢量圖像，將兩點(diǎn)電荷豎直放置。由對(duì)稱性可得合場強(qiáng)，其中?？梢娫竭h(yuǎn)離場源，每個(gè)場源產(chǎn)生的電場越小;同時(shí)，θ越大，其余弦值越小，每個(gè)場源的豎直分電場貢獻(xiàn)越小。綜合兩個(gè)因子，中垂線上離中心越遠(yuǎn)，合場強(qiáng)越小。如圖2所示，拖動(dòng)滑竿m（表示θ）可以看到離中心越遠(yuǎn)，輔助圓的半徑越小，函數(shù)值越小，電場越小。

4 兩等量同種電荷連線和中垂線上的電場

等量同種電荷連線上的電場分布? 設(shè)兩電荷都帶正電，取向右為正方向。則合場強(qiáng)，其中x≠±d，作出E-x圖像，如圖3所示。

可見，等量同種電荷連線上的電場呈中心對(duì)稱分布，電荷兩側(cè)電場方向相反且越向外越小，越靠近場源電場越大。電荷連線之內(nèi)以中點(diǎn)為界，電場方向相反，且中點(diǎn)合場強(qiáng)為零（此時(shí)兩電場大小相等方向相反）。

兩等量電荷連線上的電場，無論同種還是異種，都是越靠近場源電場越大，越遠(yuǎn)離場源電場越小;在電荷連線之內(nèi)的區(qū)域中點(diǎn)，電場最小。

等量同種電荷中垂線上的電場分布? 由對(duì)稱性可得合場強(qiáng)，將代入有：

在兩電荷中點(diǎn)處，sinθ=sin0=0，E=0;沿著中垂線到無窮遠(yuǎn)，cosθ=cosπ/2=0，依然有E=0。隨著θ的增大，正弦增大，余弦減小，合場強(qiáng)不會(huì)一直增大，而是先增大后減小，如圖4所示。拖動(dòng)滑竿m（表示θ），可以看到離中心越遠(yuǎn)，輔助圓的半徑先增大后減小，函數(shù)值先增大后減小，電場先增大后減小。

設(shè)置m，使最小增量為0.001 rad，先將滑竿快速定位在極大值附近，然后用方向鍵微調(diào)，尋找合場強(qiáng)E的大小，極值附近的數(shù)據(jù)見表1。由表1數(shù)據(jù)分析可知，極大值位置在θ=0.615和0.616之間。

精確分析極大值位置，采用導(dǎo)數(shù)法操作性很強(qiáng)，有很多資料可以參考，這里就不重復(fù)了。采用初等方法探究，設(shè)f（θ）=sinθcos2θ。

1）函數(shù)法。f（θ）=sinθ（1-sin2θ）=-sinθ（sinθ+1）（sinθ-1），

這是關(guān)于sinθ的三次函數(shù)，有三個(gè)零點(diǎn)，即-1、0和+1，如圖5所示。為了解函數(shù)的大致形狀，可以采用“穿針引線”的方法，注意開始的負(fù)號(hào)，從右下方開始“穿針”。

由于θ∈[0，π/2），即sinθ∈[0，1），且從0增到1，因此，f（θ）是先從0開始增大，然后減小到0（無窮遠(yuǎn)），之間只有一個(gè)極大值。

2）基本不等式法。經(jīng)驗(yàn)表明，乘積要有最大值，需要和為常數(shù)。三角函數(shù)的恒等式sin2θ+cos2θ=1提供了一個(gè)思考的方向。需要先給f（θ）=sinθcos2θ平方，才能出現(xiàn)sin2θ，

此時(shí)f（θ）2=sin2θcos4θ;余弦成了四次方，改寫成兩個(gè)平方的乘積，即f（θ）2=sin2θcos2θcos2θ。現(xiàn)在不是兩項(xiàng)的乘積，而是三項(xiàng)的乘積，利用“配常數(shù)”的方法有：

當(dāng)2sin2θ=cos2θ，即時(shí)，f（θ）取最大值，E也取最大值。此時(shí)，，代入（4）式得。

5 結(jié)語

在定量分析兩個(gè)等量點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場分布時(shí)，選擇連線上和中垂線上兩個(gè)典型的方向，先利用易化物理軟件繪制合場強(qiáng)的函數(shù)圖像和矢量圖像，獲得一種直觀的整體的認(rèn)識(shí)，然后通過數(shù)據(jù)探究極值條件，最后利用均值不等式進(jìn)行探討，獲得兩個(gè)點(diǎn)電荷電場分布的重要特征。

參考文獻(xiàn)

[1]曹盼.利用運(yùn)動(dòng)模擬繪制點(diǎn)電荷的電場線和等勢線[J].物理通報(bào)，2014（11）：93-95.

[2]鄒兆貴.小球重力瞬時(shí)功率取極值時(shí)相應(yīng)位置的探討[J].物理教師，2018，39（12）：72-75.

[3]殷正徐.應(yīng)用GeoGebra軟件深入研究一道高考物理題：等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的場強(qiáng)研究[J].物理之友，

2017，33（8）：47-49.

[4]曹盼.高中物理虛擬學(xué)習(xí)平臺(tái)易化物理開發(fā)與應(yīng)用研究[D].陜西：延安大學(xué)，2019.