鄢雨璐， 張 樂， 劉書魁， 唐昌建， 林興德， 幸浩洋

(四川大學(xué)物理學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

物質(zhì)是世界的基礎(chǔ)，然而根據(jù)實(shí)驗(yàn)推理，發(fā)現(xiàn)在宇宙當(dāng)中還有我們看不到的物質(zhì)，稱之為暗物質(zhì). 在已知的宇宙中，暗物質(zhì)約占宇宙總能量的四分之一，而可以看到的物質(zhì)只占了4.9%. 雖然已經(jīng)有許多證據(jù)證明暗物質(zhì)存在，但是在實(shí)驗(yàn)中我們?nèi)晕凑业桨滴镔|(zhì)，主要原因是暗物質(zhì)不參與我們所知道的電磁相互作用和強(qiáng)相互作用. 目前已知最有可能的暗物質(zhì)候選粒子模型為WIMPs，由于本底的影響，使得探測(cè)WIMPs的難度增大[1]. 因此暗物質(zhì)直接探測(cè)實(shí)驗(yàn)通常都是在低本底的環(huán)境中進(jìn)行. 然而CDEX實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，即便在地下2.4 km處依然有g(shù)amma信號(hào)存在[2]，gamma信號(hào)會(huì)對(duì)低能本底信號(hào)產(chǎn)生重要影響，而且當(dāng)前暗物質(zhì)探測(cè)實(shí)驗(yàn)探測(cè)能量閾值越來越低，這就要求我們必須充分理解本底能譜當(dāng)中出現(xiàn)在低能區(qū)域的gamma本底構(gòu)成.

直接探測(cè)暗物質(zhì)實(shí)驗(yàn)中的低能gamma本底主要是來自于高能gamma射線的康普頓散射，因此需要研究低能康普頓散射沉積能譜. 目前已經(jīng)有實(shí)驗(yàn)測(cè)量了低能康普頓散射能譜，如Barker[3]發(fā)現(xiàn)keV能區(qū)的康普頓能譜有康普頓臺(tái)階出現(xiàn). 根據(jù)現(xiàn)有的IA理論可知，臺(tái)階的出現(xiàn)是由原子的束縛效應(yīng)引起的[4]，但是他們的結(jié)果只觀測(cè)了356 keV的gamma射線的臺(tái)階. 為了找到影響康普頓臺(tái)階的因素，我們使用Geant4進(jìn)行了模擬實(shí)驗(yàn). Geant4軟件廣泛應(yīng)用于高能物理領(lǐng)域，但是也可以實(shí)現(xiàn)一些低能物理過程，比如低能康普頓散射. 該軟件使用IA理論實(shí)現(xiàn)對(duì)原子束縛效應(yīng)的模擬. 因此我們可以通過Geant4軟件來重現(xiàn)康普頓臺(tái)階，并研究康普頓臺(tái)階與初始光子能量的關(guān)系，以及用Kahane計(jì)算的散射函數(shù)替換軟件中的散射函數(shù)，研究了不同散射函數(shù)對(duì)相鄰臺(tái)階高度的影響.

本文通過對(duì)不同能量入射光子產(chǎn)生的康普頓臺(tái)階進(jìn)行分析，得出康普頓臺(tái)階與入射光子能量之間的依賴關(guān)系. 這有助于我們?cè)诎滴镔|(zhì)探測(cè)本底能譜中對(duì)低能本底區(qū)域的康普頓臺(tái)階有更深的了解.

2 康普頓散射理論

康普頓散射是光子與電子之間相互作用的一種物理過程. 經(jīng)典康普頓散射理論最早應(yīng)用于自由電子，假設(shè)電子處于靜止?fàn)顟B(tài)，單微分散射截面是使用Klein-Nishina公式(公式1)計(jì)算[3]：

(1)

當(dāng)我們研究光子與原子中的電子之間的相互作用時(shí)，上述理論就不再適用. 這是由于原子內(nèi)的電子并非自由，而是會(huì)受到原子核的影響，形成束縛狀態(tài)，并且不同殼層電子的束縛能級(jí)不同. 當(dāng)光子因散射損失的能量接近束縛能級(jí)時(shí)，康普頓散射能譜就會(huì)產(chǎn)生變化(如圖1所示)，在低能區(qū)域的能譜當(dāng)中有數(shù)個(gè)類似于臺(tái)階的結(jié)構(gòu)出現(xiàn).

圖1 考慮束縛效應(yīng)的康普頓散射能譜示意圖：灰色曲線為經(jīng)典的康普頓散射能譜；黑色曲線為考慮束縛效應(yīng)的康普頓散射能譜Fig.1 Schematic diagram of the Compton scattering spectrum considering the binding effect: the red curve is the classic Compton scattering energy spectrum; the blue curve is the Compton scattering energy spectrum considering the binding effect

為了描述這種變化產(chǎn)生的原因， IA理論被提出來[5-6]. 該理論將原子中的每個(gè)電子都當(dāng)作獨(dú)立電子，并對(duì)電子分布函數(shù)做近似計(jì)算. 計(jì)算得到的康普頓單微分截面為：

(2)

可以發(fā)現(xiàn)，IA理論將電子的束縛效應(yīng)表達(dá)為一個(gè)因子，代表實(shí)際參與康普頓散射過程的等效電子數(shù)目，這個(gè)因子也就是散射函數(shù). 需要注意的是，散射函數(shù)是一個(gè)與入射能量及散射角度相關(guān)的函數(shù)，在這里將其變?yōu)榕c動(dòng)量傳遞相關(guān)的函數(shù).

3 康普頓散射模擬

3.1 康普頓散射模擬設(shè)置及算法

為了探究低能康普頓散射中臺(tái)階的性質(zhì)，我們使用Geant4作為主要研究工具[7]. 在軟件中有3個(gè)用來處理低能康普頓物理過程的模型：Livermore模型、Penelope模型和Monash模型. 在這些模型中，原子中的電子均已考慮到原子的束縛效應(yīng). 因此模擬時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)這些模型都在高純鍺的能譜中重現(xiàn)了康普頓臺(tái)階結(jié)構(gòu). 鍺元素的k層電子能量為11.07 keV，當(dāng)光子與束縛電子相互作用使得電子殼層進(jìn)行重組后，能量就會(huì)沉積. 因此對(duì)于k層電子來說，沉積能量不會(huì)少于11.07 keV. 也就是說高純鍺的康普頓能譜在11.07 keV處就會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階，其他臺(tái)階出現(xiàn)的原因也是如此.

我們研究了Livermore模型和Monash模型. 這兩個(gè)模型都使用了IA理論框架，并且都可以被用來模擬低能康普頓散射，但是依然有能量限制. 兩個(gè)模型在入射光子能量為100 eV以上時(shí)才足夠精確. 兩個(gè)模型的不同點(diǎn)在于：Livermore模型是一個(gè)簡(jiǎn)單的兩體模型，初始電子與反沖電子的動(dòng)量均在光子平面內(nèi)；而Monash模型是相對(duì)論效應(yīng)下的三維兩體模型，它利用特殊的相對(duì)論變換，將電子的束縛效應(yīng)當(dāng)作類似反康普頓散射.

模擬實(shí)驗(yàn)的探測(cè)器我們使用600 g高純鍺，為直徑7.6 cm、高2.5 cm的圓柱體. Gamma源使用點(diǎn)源，垂直入射到高純鍺的圓面. Gamma能量設(shè)為239 keV、511 keV、1.46 MeV、2.62 MeV，這4種能量可以從相應(yīng)的gamma放射源212Pb、22Na、40K、208Tl中得到. 每次模擬打入光子數(shù)5×108個(gè)，以保證在M層臺(tái)階盡量多的計(jì)數(shù). 模擬中會(huì)將多次康普頓散射排除，只保留發(fā)生一次康普頓散射的事例. 另外我們將原Geant4模型中的散射函數(shù)替換為Kahane的散射函數(shù)進(jìn)行了模擬，稱為修正的模型.

3.2 模擬結(jié)果

在將Livermore模型和Monash模型以及修改散射函數(shù)的兩個(gè)模型使用Geant4軟件進(jìn)行模擬后, 我們對(duì)得到的康普頓散射能譜中的每一個(gè)康普頓臺(tái)階進(jìn)行線性擬合，發(fā)現(xiàn)每個(gè)殼層所產(chǎn)生的康普頓臺(tái)階的斜率與初始能量有關(guān)(如圖2所示).

圖2 不同模型下不同能量入射光子產(chǎn)生康普頓臺(tái)階的斜率:(a)K殼層康普頓臺(tái)階的斜率;(b)L殼層康普頓臺(tái)階的斜率

Fig.2 The slopes of the Compton step for incident photons with different energies under different models: (a) the slope of the Compton step of K-shell; (b) the slope of the Compton step of L-shell

通過比較，我們可以發(fā)現(xiàn)IA理論框架下康普頓臺(tái)階的斜率與初始能量有關(guān). 無論是K殼層的臺(tái)階還是L殼層的臺(tái)階，都可以明顯看到，隨著入射光子能量的增大，康普頓臺(tái)階斜率的絕對(duì)值在誤差允許范圍內(nèi)隨之減小，直至趨近于零. 在入射能量較低的情況下，康普頓臺(tái)階斜率的絕對(duì)值受入射光子能量的影響非常明顯. 隨著入射光子能量的增大，康普頓臺(tái)階斜率的絕對(duì)值越來越接近于零，這種影響就變得越弱. 兩個(gè)模型模擬結(jié)果的不同之處：從圖2中可以看出，Monash模型得到的斜率值比Livermore模型的更大，說明Monash模型的模擬得到的康普頓臺(tái)階總是比Livermore模型更加陡峭. 這是由兩個(gè)模型處理散射的方法不同引起的. 正如前文所說，Livermore模型是將康普頓散射中的所有粒子包含在一個(gè)平面中， 而Monash模型考慮的康普頓散射則是一個(gè)三維過程，存在末態(tài)電子飛出光子平面的情況. 因此兩個(gè)模型的康普頓臺(tái)階斜率會(huì)受到影響，但從斜率隨能量變化的趨勢(shì)上來看，兩個(gè)模型具有相同趨勢(shì).

4 結(jié) 論

本文通過模擬實(shí)驗(yàn)詳細(xì)探究了入射光子能量對(duì)不同殼層的康普頓臺(tái)階傾斜程度的影響. 模擬中我們主要使用了Livermore和Monash兩個(gè)康普頓散射模型[8]，并且對(duì)兩個(gè)模型的散射函數(shù)進(jìn)行了替換. 通過比較，發(fā)現(xiàn)在誤差范圍內(nèi)可以看出康普頓臺(tái)階的傾斜程度隨入射光子能量的增大而減小，直至趨近于零. 臺(tái)階受到散射結(jié)構(gòu)的影響，Monash模型模擬的康普頓沉積能譜的臺(tái)階更加陡峭，斜率的絕對(duì)值比Livermore模型的大.

通過對(duì)不同入射能量的光子產(chǎn)生的康普頓臺(tái)階的研究，我們發(fā)現(xiàn)了康普頓臺(tái)階的傾斜程度隨入射光子能量變化的規(guī)律，這為解析低能區(qū)域暗物質(zhì)本底提供有力的依據(jù)，使得充分了解低能區(qū)域暗物質(zhì)本底來源成為可能.