廣東省廣州市第十六中學(xué)

POS理論是美國(guó)學(xué)者杜賓斯基等人提出的一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論,APOS由“Action(操作)”“Process(程序)“Object(對(duì)象)”和“Schema(圖式)”四個(gè)英文單詞的首字母組合而成,它體現(xiàn)了建構(gòu)過程的四個(gè)重要的階段.數(shù)學(xué)公式的教學(xué)有兩種形式,例子到原理,原理到例子,前者是一種發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí),符合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論.因此本文將嘗試把APOS理論運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)公式的教學(xué)上,通過《完全平方公式》這一課的教學(xué)設(shè)計(jì)來探究其對(duì)公式教學(xué)的理論指導(dǎo)意義和實(shí)踐性.

1 “操作(A)階段”

在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前,教師基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),創(chuàng)設(shè)問題情境,或者提出與當(dāng)前認(rèn)知相沖突的問題,燃起學(xué)生思考的火花,使得學(xué)生必須經(jīng)過具體的“操作活動(dòng)”,如動(dòng)手操作、猜想、回憶、計(jì)算、推理等,親自體驗(yàn),為公式(a+b)2=a2+2ab+b2的學(xué)習(xí)提供感性基礎(chǔ).

教學(xué)設(shè)計(jì)

國(guó)王要對(duì)兩個(gè)有功的騎士獎(jiǎng)賞,擴(kuò)大他們的封地.兩位騎士原來各有一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形領(lǐng)地,第一個(gè)騎士對(duì)國(guó)王說:“您可不可以再給我一塊邊長(zhǎng)為b的正方形封地呢?”國(guó)王答應(yīng)了他.第二個(gè)騎士說:“我只要您把我原來的正方形領(lǐng)地邊長(zhǎng)增加b米,變成一個(gè)更大的正方形就好了.”國(guó)王想不通,問:“你們的要求不是一樣的嗎?”同學(xué)們,你們覺得是嗎?

師生活動(dòng)教師用課件展示問題情境.學(xué)生閱讀題目,思考問題,計(jì)算比較.

設(shè)計(jì)意圖教師把抽象枯燥的數(shù)學(xué)問題融入有趣的故事,吸引學(xué)生的注意力,思考如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題.

2 “程序(P)階段”

在“操作(A)階段”學(xué)生獲得了直觀感知,緊接著,就要對(duì)其進(jìn)行組織和處理,經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、歸納和概括等過程,才能實(shí)現(xiàn)頓悟和知識(shí)的內(nèi)化,是感性認(rèn)識(shí)逐漸上升到理性認(rèn)識(shí)的階段.在這一階段,我們要設(shè)置由淺到深的問題,不斷的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,完全平方公式的展開式究竟有幾項(xiàng)?每一項(xiàng)有什么特點(diǎn)?兩數(shù)和的完全平方公式和兩數(shù)差的完全平方公式有什么聯(lián)系和不同?它們各自的幾何意義是什么?

教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一、教師引導(dǎo)學(xué)生用兩種方式研究問題的結(jié)果:

(1)列代數(shù)式計(jì)算比較大小:

(2)作圖比較大小.

從圖形中同時(shí)發(fā)現(xiàn)了完全平方公式:

師生活動(dòng)學(xué)生思考解決問題,反思解題方法.教師引導(dǎo)學(xué)生回答問題,對(duì)回答的情況進(jìn)行分析點(diǎn)評(píng).教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注代數(shù)式的幾何意義.

設(shè)計(jì)意圖教師從代數(shù)和幾何兩方面來解釋完全平方公式,抓住公式的本質(zhì)特征.

活動(dòng)二、

師:同學(xué)們,通過剛才的學(xué)習(xí),你知道怎么計(jì)算下面的式子嗎?

(1)(a-b)2;(2)(2x+3y)2;(3)(2x-3y)2

教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生用兩種方式計(jì)算(a-b)2:

方式一:

方式二:

教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生用不同方法計(jì)算(2x+3y)2和(2x-3y)2.

教師提問:這些題目計(jì)算的結(jié)果有什么共同點(diǎn)?(a+b)2和(a-b)2的結(jié)果有什么區(qū)別和聯(lián)系?

師生活動(dòng)學(xué)生動(dòng)筆解決問題,有的學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這些算式都是完全平方公式,但是有些學(xué)生還在用乘法法則進(jìn)行計(jì)算.教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng).通過提問來引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出完全平方公式的特征,能夠用整體法套用公式進(jìn)行計(jì)算,還能夠用幾何圖形解釋它們的意義.

設(shè)計(jì)意圖教師給出問題,讓學(xué)生在計(jì)算的過程中,探究其中的規(guī)律.教師用一系列的問題,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出完全平方公式,并說出它們的特征,區(qū)別.

3 “對(duì)象(O)階段”

學(xué)生通過前面的程序,在大腦中不斷進(jìn)行描述和反思,抽象概括出公式所特有的本質(zhì)特征,對(duì)其賦予形式化的定義及內(nèi)涵,使其達(dá)到精確化,在頭腦中建立起直觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)形象.是在理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,達(dá)到全新認(rèn)識(shí)的階段.在這一階段,我們可以不斷的改變公式里的字母和符號(hào),使學(xué)生充分感悟到公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的可變性,公式對(duì)應(yīng)的幾何意義,同時(shí)還應(yīng)特別注意符號(hào)的正確處理.

教學(xué)設(shè)計(jì)

師生共同總結(jié)完全平方公式,并強(qiáng)調(diào)了公式的結(jié)構(gòu)特征.

教師順便引導(dǎo)學(xué)生能否類比(a+b)2,用圖形面積解釋(a-b)2和(2x+3y)2?

例題:運(yùn)用剛剛學(xué)過的知識(shí)計(jì)算:

(1)(3p+5)2;(2)(2x-7y)2;(3)(-2a-5)2

學(xué)生做題,教師觀察學(xué)生答題情況,重點(diǎn)點(diǎn)評(píng)第(3)個(gè)小題,有如下三種算法:

原式=[(-2a)- 5]2=(-2a)2- 2(-2a)·5+52=4a2+20a+25;

原式=[(-2a)+(-5)]2=(-2a)2+2(-2a)(-5)+(-5)2=4a2+20a+25;

原式=[-(2a+5)]2=(2a+5)2=4a2+20a+25.教師請(qǐng)同學(xué)們比較思考,三種方式哪種最方便?

師生活動(dòng)學(xué)生嘗試用完全平方公式計(jì)算結(jié)果.教師觀察學(xué)生的做題情況,發(fā)現(xiàn)不同的解題思路,展示典型的解答過程,進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

設(shè)計(jì)意圖能夠用幾何圖形解釋完全平方公式的幾何意義.理解完全平方公式的字母可變,結(jié)構(gòu)不變性,讓學(xué)生通過練習(xí)題加以鞏固熟練.

練習(xí)1、計(jì)算:(1)(4a2-3b)2;(2)(-5x+y)2;(3)

2、運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)992;(2)1022.

3、計(jì)算:(1)(x+y)2-(x-y)2;(2)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2.

師生活動(dòng)學(xué)生在作業(yè)本上進(jìn)行計(jì)算,與同學(xué)的不同解答過程進(jìn)行對(duì)照反思,總結(jié)更好的計(jì)算方法.教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生的解答過程,總結(jié)其中一些易錯(cuò)點(diǎn),符號(hào)的處理方式.

設(shè)計(jì)意圖挑選典型習(xí)題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練,特別注意符號(hào)問題.

4 “圖式(S)階段”

教師提供反映新知識(shí)的特例、相關(guān)性質(zhì)等情境給學(xué)生探究,學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深入學(xué)習(xí).對(duì)前面幾個(gè)階段的經(jīng)歷及大腦中原有相關(guān)認(rèn)識(shí)的不斷的整合、精致,最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu),形成綜合的心理圖式.是理論應(yīng)用于實(shí)際的過程.在這一階段,我們可以采用題組變式訓(xùn)練和綜合拓展練習(xí),加深學(xué)生對(duì)公式內(nèi)部各個(gè)整體之間的關(guān)系和兩個(gè)完全平方公式之間各個(gè)整體的關(guān)系的理解和運(yùn)用.同時(shí)還能把完全平方公式推廣運(yùn)用到三項(xiàng)及以上的平方運(yùn)算中,起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用,真正實(shí)現(xiàn)公式的靈活運(yùn)用.

教學(xué)設(shè)計(jì)

例題1:已知a+b=4,ab=3,求(a+b)2,(a-b)2;

變式:已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,求a2+b2和ab.

教師點(diǎn)評(píng):(a-b)2,(a+b)2,a2+b2以及ab這些式子之間都有聯(lián)系,知道其中兩個(gè)就可以求另外一些式子.

例題2、你會(huì)計(jì)算(a+b+c)2嗎?

教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生解答過程,可以有兩種做法,并引導(dǎo)學(xué)生哪種方法更簡(jiǎn)便:

原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2;

原式=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

教師再提問:你能用幾何圖形表示它的意義嗎?

練習(xí):計(jì)算:(1)(x+2y-3)2;(2)(2x+y-1)(2x+y+1)

師生活動(dòng)學(xué)生嘗試運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.教師觀察學(xué)生觀察練習(xí)題中每一項(xiàng)的符號(hào)特點(diǎn),選擇正確的公式進(jìn)行運(yùn)算.注意對(duì)學(xué)生的不同解題思路進(jìn)行肯定.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生對(duì)完全平方公式有更深入的理解,能熟練的對(duì)公式進(jìn)行靈活運(yùn)用.

結(jié)論:公式教學(xué)不應(yīng)是簡(jiǎn)單的告知學(xué)生公式的具體內(nèi)容,然后題海戰(zhàn)術(shù),直至學(xué)生能熟練的運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.而應(yīng)該讓學(xué)生感知公式的來源,領(lǐng)悟公式的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì),熟練掌握公式的正用逆用和靈動(dòng)運(yùn)用.完全平方公式這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),充分體現(xiàn)了學(xué)生在公式學(xué)習(xí)中,在“操作”中體驗(yàn)、在“程序”中感悟、在“對(duì)象”中歸納、在“圖式”中升華,分層次逐步遞進(jìn),體現(xiàn)了完全平方公式學(xué)習(xí)的螺旋上升,由感性到理性,到理解公式的本質(zhì),直至公式的綜合運(yùn)用.本節(jié)課能有效的提高了學(xué)生的抽象概括能力,準(zhǔn)確運(yùn)用公式的能力,數(shù)形結(jié)合的能力和問題解決的能力.因此,APOS理論對(duì)于本節(jié)公式課的教學(xué)的理論指導(dǎo)意義和實(shí)踐性都很有效果.