華南師范大學(xué)附屬南沙中學(xué)廣州市馮少勤名師工作室

教學(xué)內(nèi)容安排在人教版八年級下冊第十八章“平行四邊形”,目標(biāo)定位是理解利用平行四邊形性質(zhì)分析三角形中位線性質(zhì)的合理性,掌握三角形中位線定理的證明,從中滲透轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理的核心素養(yǎng).以下設(shè)計僅對定理證明的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計,呈現(xiàn)主要環(huán)節(jié)和意圖,探索如何突破添加輔助線證明的難點,并提出三點教學(xué)思考.

1 設(shè)計簡案

環(huán)節(jié)1 回顧定理

問題1:何為三角形中位線?中位線定理內(nèi)容是什么?

設(shè)計意圖:教師提出問題,學(xué)生回答問題.直截了當(dāng)回顧舊知,明確研究對象,理清證明目標(biāo):兩條線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

環(huán)節(jié)2 獲得思路

問題2:如何證明三角形的中位線定理?從定理的結(jié)論出發(fā),顯然是兩條線段的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系,證明兩線平行的方法一般有哪些?證明兩線相等的方法一般有哪些?這些方法可行嗎?

追問1:有沒有一個方法既涉及到兩條線段的位置關(guān)系又涉及到數(shù)量關(guān)系?之前知識是否學(xué)到類似的結(jié)論?

追問2:構(gòu)造平行四邊形,用平行四邊形的性質(zhì)證明三角形的中位線性質(zhì),有無它的合理性?你是如何理解的?

設(shè)計意圖:從問題入手,挖掘已有的證明經(jīng)驗,激發(fā)思維,尋求方法,篩選方法.通過問題導(dǎo)向和追問思維,師生共同梳理方法,形成觀念:通過三角形的全等研究平行四邊形性質(zhì),反過來,也可通過平行四邊形性質(zhì)獲得中位線性質(zhì).并形成圖1的證明思維導(dǎo)圖,旨在通過對知識尋根問源,回顧平行四邊形性質(zhì)的獲得過程幫助學(xué)生理解構(gòu)造平行四邊形的合理性,對比兩個結(jié)論的求證路徑找到可行的方法,理解證明思路的來源,初步感知證明思路的切入口:添加輔助線構(gòu)造新的圖形.

圖1

學(xué)生初步嘗試,得證明方法1(圖2):延長DE到點F,使得DE=EF,連接CF.(或者再分別連接DC、AF)

環(huán)節(jié)3 拓寬思路

該環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)實錄片段:

師:剛才的這種方法,如何添加輔助線實現(xiàn)線段倍長?還有其它考慮方向?qū)崿F(xiàn)倍長嗎?

生:他是通過補長DE來實現(xiàn)的,應(yīng)該還可以通過截BC來實現(xiàn).

師:對!那如何通過補或截來實現(xiàn)位置關(guān)系的證明?需要構(gòu)造一個什么新的圖形?這個新的圖形的構(gòu)造是隨意的嗎?構(gòu)造時它的邊長最好是哪些邊?

生:通過構(gòu)造一個平行四邊形,這個平行四邊形不是隨意構(gòu)造的,它的邊長最好是兩條目標(biāo)線段為邊長,即可以考慮:以DE為邊長的平行四邊形,或者以BC為邊長的平行四邊形.

師:基于以上分析,還有其它證明方法嗎?請小組協(xié)作尋找新的證明方法.

設(shè)計意圖:以一種方法為跳板,通過深度剖析證明的思路以及涉及的思想方法,幫助學(xué)生形成模型,突破數(shù)學(xué)抽象.再通過后續(xù)的小組共同協(xié)作,利用新得到的工具重新解決問題,以達(dá)到知識的遷移與創(chuàng)新.

環(huán)節(jié)4 再用思路

小組代表展示各種證明思路:

證法2(圖3):過點C作AB的平行線CF,交DE延長線于點F.

證法3(圖4):過點E作AB的平行線EF,交BC于點G,過點A作BC的平行線AF,交GE于F.

設(shè)計意圖:呈現(xiàn)一般的證明方法,并對方法進(jìn)行分析總結(jié):證法2 用了補DE的方法,證法3 用了截BC的方法,其中證法1、2、3 都是用一個中點同側(cè)進(jìn)行補短或截長構(gòu)造平行四邊形.基于總結(jié)順應(yīng)思維提出思考:可以考慮利用兩個中點向兩側(cè)來補短或截長嗎?讓學(xué)生嘗試得出如下更一般的證法,從證法2、3到證法4、5 體現(xiàn)了從特殊到一般的證明思路和研究方法,符合認(rèn)知規(guī)律.

可讓學(xué)生課后完成:

證法4(圖5):在線段DE上任意取一點F,延長FD于點I,使得DF=DI,延長FE于點J,使得EJ=EF,連接BI,AF,CJ.

證法5(圖6):在BC上任取一點M,過點E作DM的平行線EN交BC于點N,過點A作BC的平行線AG,交DM于點G,交EN于點F.

證法6(圖7):連接CD,并延長CD于點F,使得DF=CD,連接AF,BF,BF交ED于點H.

環(huán)節(jié)5 總結(jié)提煉

問題3:經(jīng)歷了剛才的證明你獲得了哪些數(shù)學(xué)思想方法?觀察各種證法的圖形,你發(fā)現(xiàn)了三角形與平行四邊形有什么特殊的聯(lián)系?譬如它們之間如何轉(zhuǎn)換?

小結(jié):事實上,任何一個三角形都能通過中位線的圖形變換割補成一個與之面積相等的平行四邊形,反過來,任何一個平行四邊形都能恒等變換成與之面積相等的三角形,所以平行四邊形的問題我們可以用三角形來解決,三角形的問題也可以用平行四邊形的相關(guān)知識來突破.

設(shè)計意圖:梳理知識,升華思想,掌握方法,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,創(chuàng)新認(rèn)知.

2 教學(xué)思考

2.1 理解教材

三角形中位線是平行四邊形性質(zhì)、判定之后的一個推論,結(jié)論含有兩條線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,是四邊形、三角形的有關(guān)證明以及計算的重要定理.對三角形中位線的研究,體現(xiàn)了三角形、四邊形相關(guān)知識系統(tǒng)的統(tǒng)一性;同時中位線的定理證明涉及到很多數(shù)學(xué)思考與思想方法,其數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)涵價值高,此為學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力提供了豐富的素材.

2.2 理解學(xué)生

學(xué)生此前已經(jīng)掌握了全等三角形、利用全等三角形探索得到平行四邊形的性質(zhì)和判定.具有研究四邊形問題時會轉(zhuǎn)化成三角形問題研究的意識和一定的研究經(jīng)驗,以及一定的邏輯推理能力.當(dāng)然,也存在一些不利的教學(xué)因素.其一,中位線的定理的證明思路多種多樣,如何基于學(xué)生已有的證明經(jīng)驗梳理出可行的證明方法,是個難點;其二,定理的原幾何圖形簡單,涉及的兩個結(jié)論需要學(xué)生構(gòu)造新的圖形(全等三角形、平行四邊形),構(gòu)造的關(guān)鍵是如何利用兩個中點添加輔助線,這是學(xué)生的另一個難點.

2.3 理解教學(xué)

教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為本源,因此,需要注重通過問題導(dǎo)向,在數(shù)學(xué)活動中引入數(shù)學(xué)思考以發(fā)展思維能力.從證明思路的獲得上引導(dǎo)學(xué)生嘗試用平行四邊形的方法證明結(jié)論,通過不同方法的截長補短獲得證明思路的多樣性,能從分析問題解決問題的過程中滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、從特殊到一般的思想,并關(guān)注數(shù)學(xué)建模以及邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.同時,順應(yīng)學(xué)生思維,通過對整堂課的小結(jié),帶領(lǐng)學(xué)生反思、揭示三角形與平行四邊形整體架構(gòu),強化了兩個內(nèi)容的系統(tǒng)統(tǒng)一性.

教學(xué)應(yīng)以思維發(fā)生的載體而生長深入,因此考慮如何基于學(xué)生已有的證明經(jīng)驗梳理出可行的證明方法?采取的是拋開腳手架,從認(rèn)知的一般情況入手,模擬遇到問題的第一反應(yīng):尋求方法解決問題.通過問題導(dǎo)向,調(diào)動學(xué)生已有的證明經(jīng)驗,挖掘出能夠可行的素材,通過思維導(dǎo)圖的呈現(xiàn),幫助學(xué)生梳理出證明的優(yōu)解:構(gòu)造平行四邊形,雖然這種處理方法學(xué)生不太容易獲得思路,但是此種方法符合學(xué)生遇到問題的真實情況,思維的活動更活躍更靈動,也為學(xué)生今后分析問題解決問題提供了示范.

教學(xué)應(yīng)以思路拓寬而形成能力,因此考慮到添加輔助線的多樣性、抽象性和不確定性,學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力以及圖形直觀素養(yǎng)尚在較低水平,思維的深廣度尚不能獨立解決問題.為此,在得到一種證明方法后,不急于展示其它方法,而以此為藍(lán)本,進(jìn)行方法的深度透析,通過問題導(dǎo)向,把需要構(gòu)造的平行四邊形定性:通過截長補短構(gòu)造以目標(biāo)線段DE或者BC為邊長的平行四邊形,獲得此認(rèn)知后讓學(xué)生嘗試考慮其他證明方法,同時拓寬思維:利用一個中點截長補短;利用兩個中點截長補短,滲透從特殊到一般的研究方向,這樣處理不會一下子拔得太高,讓學(xué)生先感悟了理解了方法,才能更好的使用方法,從而提升學(xué)生對證明思路的發(fā)散度和思維超越,以達(dá)到知識遷移以及知識的創(chuàng)新.

2.4 理解數(shù)學(xué)

教師的教法和學(xué)生的學(xué)法離不開數(shù)學(xué)理解,數(shù)學(xué)知識是個整體,整體中的每一部分又相互聯(lián)系,因此,在教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)知識整體和聯(lián)系的學(xué)習(xí)至關(guān)重要.有三點需要理解清晰.

一是思路為什么這樣來?需要理解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈.基于學(xué)生已學(xué)的知識和方法經(jīng)驗,引導(dǎo)學(xué)生對知識尋根問源,通過回顧平行四邊形的性質(zhì)的獲得過程以及平行四邊形對邊的性質(zhì)理解構(gòu)造平行四邊形的合理性,對證明方法進(jìn)行梳理和呈現(xiàn)思維導(dǎo)圖,讓知識方法來得自然、合理、有據(jù),解決了知識怎么來的問題.

二是知識去哪兒,怎么去?在獲得第一種證明方法后,從方法的特征中深度解剖證明的思路,通過問題串的引導(dǎo)以及小組協(xié)作完成任務(wù)單以突破其他添加輔助線的方法,拓寬學(xué)生的思維,提升學(xué)生對性質(zhì)證明思路的發(fā)散度和思維超越,以達(dá)到知識遷移以及知識的創(chuàng)新,從而達(dá)到分析問題解決問題的能力的培養(yǎng),解決了知識怎么去的問題.而通過對比各種證明思路以及方法,對比各種證明方法的圖形,發(fā)現(xiàn)圖形的相互轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)三角形與平行四邊形之間面積恒等與方法互動的創(chuàng)新結(jié)論,解決知識去哪里的問題.

三是整體和聯(lián)系的學(xué)科價值觀如何呈現(xiàn)?課最后的小結(jié)內(nèi)容,基于三角形與平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的著重點是本節(jié)課的證明過程與研究方法,并在此基礎(chǔ)上增加了圖形之間的定性轉(zhuǎn)化,通過對比各個證明圖形的切割與合成,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)三角形與平行四邊形在形狀上是可以相互轉(zhuǎn)化,任何一個三角形都可以通過中位線的切割變換成與之面積相等的平行四邊形,反之亦然.這深刻體現(xiàn)了我國《九章算術(shù)》中的出入相補轉(zhuǎn)化思想,此結(jié)論的獲得使得課堂更具有人文味,內(nèi)涵更豐富.

3 結(jié)束語

核心素養(yǎng)中提到關(guān)鍵能力,它體現(xiàn)在知識學(xué)習(xí)的三種形態(tài):知識的理解,遷移以及創(chuàng)新,簡單概括就是指數(shù)學(xué)的思維和方法的理解和遷移應(yīng)用.如何基于學(xué)生已有的知識設(shè)置教學(xué)活動引入數(shù)學(xué)思考,從數(shù)學(xué)活動中獲得素養(yǎng)的養(yǎng)成,最佳的方法莫過于學(xué)生的經(jīng)歷與體驗感悟,思維的產(chǎn)生也必然是順應(yīng)學(xué)生的已有認(rèn)知進(jìn)而產(chǎn)生拓展的,教師要利用好教學(xué)的載體,通過引導(dǎo)分析,對比,歸納,以問促思,拓寬思維的發(fā)散度以及加深思維的深刻性.