袁紅莉 張大鵬 金順福

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 秦皇島 066004)

0 引 言

區(qū)塊鏈?zhǔn)且粋€(gè)由系統(tǒng)中所有節(jié)點(diǎn)集體維護(hù)的分布式數(shù)據(jù)庫(kù)，具有去中心化、不可篡改、數(shù)據(jù)透明及交易安全等特性。區(qū)塊鏈概念在2008年被提出，并于2009年1月正式發(fā)布[1]。如今歷經(jīng)10余年的發(fā)展，區(qū)塊鏈技術(shù)不斷推廣，其應(yīng)用已延伸到金融、醫(yī)療、通信等領(lǐng)域。

區(qū)塊鏈技術(shù)憑借自身的優(yōu)勢(shì)推動(dòng)著眾多領(lǐng)域的創(chuàng)新。Khaqqi等人[2]提出了一種基于信息化與自動(dòng)化的新型排放交易政策(emission trading scheme，ETS)，利用區(qū)塊鏈技術(shù)和防篡改智能儀表保證了數(shù)據(jù)的透明性和可信性。基于多準(zhǔn)則分析法的結(jié)果表明，所提方案可以實(shí)現(xiàn)減少排放量并鼓勵(lì)長(zhǎng)期采用減排技術(shù)的雙重目標(biāo)。Zyskind等人[3]建立了一個(gè)去中心化的個(gè)人數(shù)據(jù)管理平臺(tái)，將區(qū)塊鏈與區(qū)塊外存儲(chǔ)相結(jié)合，使用戶在接受第三方服務(wù)時(shí)，可以擁有和控制自己的數(shù)據(jù)，提高了數(shù)據(jù)的安全性。Fu和Fang[4]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上引入權(quán)益證明(proof-of-stake，POS)與可信任證明(proof-of-credibility score，POCS)的混合機(jī)制進(jìn)行“挖礦”，基于節(jié)點(diǎn)之間的連接程度衡量節(jié)點(diǎn)的工作量。上述文獻(xiàn)主要集中于區(qū)塊鏈技術(shù)的應(yīng)用研究。

自2016年起，部分學(xué)者基于排隊(duì)論方法對(duì)區(qū)塊鏈基礎(chǔ)理論進(jìn)行了研究。Kasahara等人[5,6]建立了一個(gè)批量服務(wù)的M/Gb/1模型，使用補(bǔ)充變量法得到了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中的平均交易數(shù)及交易平均確認(rèn)時(shí)間。然而，該模型沒(méi)有體現(xiàn)區(qū)塊的生成過(guò)程與區(qū)塊鏈的建立過(guò)程。Li等人[7]提出了一種批量服務(wù)的GI/M/1型隨機(jī)排隊(duì)模型，用矩陣幾何解方法得到了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中的平均交易數(shù)、每個(gè)區(qū)塊內(nèi)的平均交易數(shù)及交易平均確認(rèn)時(shí)間。與文獻(xiàn)[5,6]相比，該模型的服務(wù)過(guò)程包含了區(qū)塊的生成過(guò)程和區(qū)塊鏈的建立過(guò)程2個(gè)階段。要指出的是，上述文獻(xiàn)均未考慮空塊coinbase交易，并缺少對(duì)礦工收益的研究。

本文將區(qū)塊的生成過(guò)程抽象為休假，區(qū)塊鏈的建立過(guò)程抽象為服務(wù)，考慮區(qū)塊容量，在離散時(shí)域下建立帶有批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型。利用再生循環(huán)法，求得穩(wěn)態(tài)下交易平均確認(rèn)時(shí)間，研究區(qū)塊容量、挖礦系數(shù)與交易到達(dá)率對(duì)區(qū)塊鏈系統(tǒng)性能的影響。結(jié)合博弈理論，構(gòu)建收益函數(shù)，在完全不可見(jiàn)情形下得到交易的納什均衡到達(dá)率與社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率。改進(jìn)布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)算法，以區(qū)塊鏈系統(tǒng)社會(huì)收益最大化為目標(biāo)，面向交易制定合理的收費(fèi)方案。

1 區(qū)塊鏈交易確認(rèn)過(guò)程及系統(tǒng)模型

1.1 交易確認(rèn)過(guò)程

區(qū)塊鏈?zhǔn)且环N把區(qū)塊以鏈的方式組織在一起的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，主要解決在沒(méi)有第三方信任機(jī)構(gòu)參與的情況下如何在所有節(jié)點(diǎn)之間達(dá)成共識(shí)的問(wèn)題。專注于一個(gè)礦工，給出區(qū)塊鏈中的交易確認(rèn)過(guò)程如圖1所示。

圖1 區(qū)塊鏈中的交易確認(rèn)過(guò)程

區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的交易不斷產(chǎn)生。用戶產(chǎn)生某筆交易后，需要廣播該交易至區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的所有礦工。每個(gè)礦工先進(jìn)行交易驗(yàn)證，再把驗(yàn)證通過(guò)的交易放入各自的內(nèi)存池中。爭(zhēng)奪區(qū)塊記賬權(quán)的礦工從內(nèi)存池中選出交易構(gòu)建候選區(qū)塊，并通過(guò)求解數(shù)學(xué)難題，即挖礦過(guò)程，進(jìn)行工作量證明。獲勝礦工的候選區(qū)塊升級(jí)為新區(qū)塊，同時(shí)將新區(qū)塊廣播給其余未獲勝礦工。未獲勝礦工首先將各自的候選區(qū)塊作廢并驗(yàn)證收到的新區(qū)塊，然后將驗(yàn)證結(jié)果發(fā)送給獲勝礦工。只有當(dāng)成功驗(yàn)證新區(qū)塊的礦工數(shù)目超過(guò)系統(tǒng)規(guī)定的閾值時(shí)，獲勝礦工才可以將新區(qū)塊接入?yún)^(qū)塊鏈，并反饋新區(qū)塊確認(rèn)消息給其余礦工。獲勝礦工之外的所有礦工收到新區(qū)塊確認(rèn)消息后，從各自的內(nèi)存池中清除新區(qū)塊中所含的交易。若新區(qū)塊是空塊，獲勝礦工直接將新區(qū)塊接入?yún)^(qū)塊鏈。

由圖1可知，區(qū)塊鏈交易的一個(gè)生命周期由交易產(chǎn)生、交易傳播、交易放入?yún)^(qū)塊及區(qū)塊接入?yún)^(qū)塊鏈構(gòu)成。

在區(qū)塊鏈系統(tǒng)中，區(qū)塊容量、挖礦系數(shù)及單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的交易數(shù)目等都會(huì)影響交易用戶的體驗(yàn)質(zhì)量(quality of experience，QoE)。為了提高區(qū)塊鏈系統(tǒng)的性能，需要建立合理的數(shù)學(xué)模型，定量刻畫(huà)交易平均確認(rèn)時(shí)間的變化趨勢(shì)。

1.2 新型G-限量休假模型

由區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的交易確認(rèn)過(guò)程可知，每個(gè)區(qū)塊的容量均有上限，且一個(gè)區(qū)塊內(nèi)的所有交易同時(shí)得到驗(yàn)證。將挖礦過(guò)程視為休假，空塊接入?yún)^(qū)塊鏈的過(guò)程視為空載服務(wù)期，非空新區(qū)塊的驗(yàn)證(假設(shè)每個(gè)區(qū)塊均可以通過(guò)驗(yàn)證)及接入?yún)^(qū)塊鏈的過(guò)程視為普通服務(wù)期，建立一種帶有批量服務(wù)及空載服務(wù)期的新型G-限量休假模型。該模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖2所示。

圖2 新型G-限量休假模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移

休假期內(nèi)，礦工求解數(shù)學(xué)難題。數(shù)學(xué)題越難，即挖礦系數(shù)越小，休假期越長(zhǎng)。難題求解成功后，休假結(jié)束。此時(shí)，若獲勝礦工產(chǎn)生的新區(qū)塊為空塊，系統(tǒng)轉(zhuǎn)入空載服務(wù)期，否則轉(zhuǎn)入普通服務(wù)期。

若系統(tǒng)轉(zhuǎn)入空載服務(wù)期，獲勝礦工將空塊接入?yún)^(qū)塊鏈后，空載服務(wù)期結(jié)束。若系統(tǒng)轉(zhuǎn)入普通服務(wù)期，獲勝礦工之外的所有礦工驗(yàn)證非空新區(qū)塊內(nèi)的交易，獲勝礦工將非空新區(qū)塊接入?yún)^(qū)塊鏈后，普通服務(wù)期結(jié)束。任何一個(gè)服務(wù)期結(jié)束，系統(tǒng)均返回休假期，進(jìn)行下一次的挖礦過(guò)程。相鄰2次挖礦過(guò)程起始點(diǎn)之間的時(shí)間長(zhǎng)度稱為一個(gè)挖礦循環(huán)。

區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移持續(xù)進(jìn)行。與已有模型不同，新型G-限量休假模型中交易驗(yàn)證呈現(xiàn)出批量服務(wù)特點(diǎn)且具有空載服務(wù)期。

2 模型解析

在離散時(shí)間排隊(duì)系統(tǒng)中，交易的到達(dá)和離去均只能發(fā)生在單位時(shí)隙處，假設(shè)交易的到達(dá)與離去分別發(fā)生在時(shí)隙末端與時(shí)隙首端，且在該時(shí)隙末端到達(dá)的交易不會(huì)在此時(shí)隙首端離去，將會(huì)在下一個(gè)時(shí)隙首端離去。

文獻(xiàn)[5-7]對(duì)新型G-限量休假模型作出如下假設(shè)。

空載服務(wù)期與普通服務(wù)期形態(tài)相同，簡(jiǎn)稱為服務(wù)期。服務(wù)期的時(shí)間長(zhǎng)度S服從一般分布，其概率分布、均值和母函數(shù)分別為

bk=P{S=k}，k≥1

令A(yù)S表示一個(gè)服務(wù)期內(nèi)到達(dá)的交易數(shù)量，其概率分布和母函數(shù)分別為

aj=P{AS=j}

休假期的時(shí)間長(zhǎng)度V服從一般分布，其概率分布、均值和母函數(shù)分別為

vk=P{V=k}，k≥1

按照先到先服務(wù)的規(guī)則將交易放入?yún)^(qū)塊，且每個(gè)區(qū)塊最多可容納M個(gè)交易。將一個(gè)服務(wù)期與其后的休假期之和稱為忙循環(huán)。當(dāng)一個(gè)忙循環(huán)內(nèi)平均到達(dá)的交易數(shù)小于區(qū)塊容量，即p(E[V]+E[S])

2.1 服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻的交易數(shù)母函數(shù)

令Qb表示一個(gè)服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的交易數(shù)，其概率分布和母函數(shù)分別為

qk=p{Qb=k}，k≥0

考慮相繼2個(gè)服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的交易數(shù)，有：

對(duì)上式取母函數(shù)，可得：

(1)

引入部分母函數(shù)，可得：

式(1)可改寫(xiě)為

(2)

引理1對(duì)任意小實(shí)數(shù)ε>0，當(dāng)|z|=1+ε時(shí)，一個(gè)非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量C的母函數(shù)滿足如下不等式：

|C(z)|≤1+εE[C]+ο(ε)

其中，|C(z)|為母函數(shù)C(z)的模，E[C]為隨機(jī)變量C的均值。

證明令一個(gè)非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量C的概率分布和母函數(shù)分別為ck和C(z)。

ck=P{C=k}，k≥0

對(duì)任意小實(shí)數(shù)ε>0，當(dāng)|z|=1+ε時(shí)，有：

(3)

根據(jù)泰勒公式[8]，可得：

=1+εE[C]+ο(ε)

(4)

綜合式(3)和式(4)，可得：

|C(z)|≤1+εE[C]+ο(ε)

證畢。

由式(2)可知，為了確定服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻的交易數(shù)母函數(shù)Qb(z)，必須給出部分母函數(shù)QM(z)的系數(shù)q0,q1, …,qM-1。

在式(2)的分母中，令g(z)=-S(Λ(z))V(Λ(z))，由引理1可得：

|g(z)|≤1+εp(E[V]+E[S])+ο(ε)

(5)

令f(z)=zM，根據(jù)泰勒公式[8]，f(z)表示為

|f(z)|=(1+ε)M=1+εM+ο(ε)

(6)

綜合式(5)和式(6)，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件p(E[V]+E[S])

f(z)在|z|=1+ε內(nèi)有M個(gè)零點(diǎn)。由Rouche定理[9]可知，g(z)+f(z)在|z|=1+ε內(nèi)也有M個(gè)零點(diǎn)，即式(2)的分母有M個(gè)零點(diǎn)。略去零點(diǎn)z=1，其他M-1個(gè)零點(diǎn)記為zm，m=1,…,M-1。

式(2)的分子與分母有相同的零點(diǎn)，給出M-1個(gè)方程如下：

(7)

在式(2)中，令z=1，使用洛必達(dá)法則，給出方程如下：

(8)

結(jié)合式(7)和式(8)可唯一確定部分母函數(shù)QM(z)的系數(shù)q0,q1,…,qM-1，進(jìn)而可以給出服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻交易數(shù)母函數(shù)Qb(z)。

2.2 交易平均確認(rèn)

交易確認(rèn)時(shí)間定義為從一個(gè)交易進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)到包含這筆交易的區(qū)塊接入到區(qū)塊鏈為止的時(shí)間間隔，記為T(mén)。

處理非空竭休假模型的常用工具之一是再生循環(huán)法[10]。使用該方法需要給出一個(gè)服務(wù)期內(nèi)平均服務(wù)的交易數(shù)和每個(gè)交易服務(wù)完成時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)尚存交易數(shù)的母函數(shù)。

E[Φ]=p(E[V]+E[S])

(9)

一個(gè)區(qū)塊內(nèi)的交易是批量服務(wù)的，為了方便解析，人為設(shè)定區(qū)塊內(nèi)的交易順序，但是不同交易服務(wù)完成時(shí)刻的間隔為0。

令Ln表示一個(gè)區(qū)塊內(nèi)的第n個(gè)交易服務(wù)完成時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)尚存交易的數(shù)量，則Ln=Qb+As-n，n=1,…,Φ。Ln的母函數(shù)Ln(z)為

Ln(z)=E[zQb+As-n]

利用再生循環(huán)法和PASTA性質(zhì)[11]，得到穩(wěn)態(tài)下任意時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的交易數(shù)母函數(shù)L(z)為

將式(2)代入上式，整理后可得：

L(z)=

(10)

對(duì)式(10)求導(dǎo)，令z=1，可得任意時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的交易數(shù)均值E[L]為

(11)

由Little公式[12]可得，交易平均確認(rèn)時(shí)間E[T]為

(12)

直觀地，交易平均確認(rèn)時(shí)間隨交易到達(dá)率單調(diào)不減。為了在不同的區(qū)塊容量與挖礦系數(shù)下定量刻畫(huà)交易平均確認(rèn)時(shí)間的變化趨勢(shì)，需進(jìn)行系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)。

3 交易平均確認(rèn)時(shí)間的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)所用CPU型號(hào)為Intel(R) Core(TM) i7-4790，CPU運(yùn)行頻率為3.60 GHz，系統(tǒng)內(nèi)存為8.00 GB。數(shù)值實(shí)驗(yàn)在Matlab 2016a環(huán)境中運(yùn)行，仿真實(shí)驗(yàn)在Myeclipse 2014環(huán)境中采用Java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)[13,14]假設(shè)挖礦過(guò)程服從參數(shù)為θ的幾何分布，服務(wù)期的時(shí)間長(zhǎng)度服從參數(shù)為μ的幾何分布，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)與仿真實(shí)驗(yàn)。在穩(wěn)態(tài)條件的約束下，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定為服務(wù)強(qiáng)度μ=0.04，區(qū)塊容量M=50、100，挖礦系數(shù)θ=0.06、 0.08、 0.10、 0.12。

針對(duì)不同的區(qū)塊容量M，圖3刻畫(huà)了挖礦系數(shù)θ與交易到達(dá)率p對(duì)交易平均確認(rèn)時(shí)間E[T]的影響。

圖3表明，當(dāng)區(qū)塊容量M與挖礦系數(shù)θ固定時(shí)，交易平均確認(rèn)時(shí)間E[T]隨交易到達(dá)率p的增大呈上升趨勢(shì)。交易到達(dá)率越大，區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的交易數(shù)越多。由于一個(gè)區(qū)塊所能容納的交易數(shù)是有限的，系統(tǒng)中的交易數(shù)越多，服務(wù)完成全部交易所需要的區(qū)塊數(shù)越多，每個(gè)交易平均經(jīng)歷的挖礦循環(huán)次數(shù)也就越多。因而交易平均確認(rèn)時(shí)間呈上升趨勢(shì)。

(a) M=50

(b) M=100

縱向分析圖3，在相同的區(qū)塊容量M與交易到達(dá)率p下，挖礦系數(shù)θ越大，交易平均確認(rèn)時(shí)間E[T]越小。挖礦系數(shù)大，意味著礦工求解數(shù)學(xué)難題的時(shí)間短，即挖礦過(guò)程短，交易可以更早地放入?yún)^(qū)塊并得到確認(rèn)。因而交易平均確認(rèn)時(shí)間呈下降趨勢(shì)。

對(duì)比圖3(a)與圖3(b)，在相同的挖礦系數(shù)θ與交易到達(dá)率p下，區(qū)塊容量M越大，交易平均確認(rèn)時(shí)間E[T]越小。一個(gè)區(qū)塊所能容納的交易數(shù)越多，服務(wù)完成全部交易所需的區(qū)塊數(shù)越少，每個(gè)交易平均經(jīng)歷的挖礦循環(huán)越少，因而交易平均確認(rèn)時(shí)間下降。隨著交易到達(dá)率p的增大，區(qū)塊容量M對(duì)交易平均確認(rèn)時(shí)間E[T]的影響變大。當(dāng)交易到達(dá)率較小時(shí)，系統(tǒng)中的交易幾乎可以放入一個(gè)區(qū)塊內(nèi)，此時(shí)區(qū)塊容量對(duì)交易平均確認(rèn)時(shí)間的影響小。當(dāng)交易到達(dá)率較大時(shí)，往往需要多個(gè)區(qū)塊才能服務(wù)完成全部交易。區(qū)塊容量越小，所需區(qū)塊數(shù)越多，每個(gè)交易平均經(jīng)歷的挖礦循環(huán)越多，此時(shí)區(qū)塊容量對(duì)交易平均確認(rèn)時(shí)間的影響變大。

在區(qū)塊鏈系統(tǒng)中，交易到達(dá)率越小，交易平均確認(rèn)時(shí)間越短，用戶體驗(yàn)的服務(wù)質(zhì)量越好。而交易到達(dá)率越大，區(qū)塊鏈系統(tǒng)的收益越高。綜合考慮區(qū)塊鏈用戶的體驗(yàn)質(zhì)量與區(qū)塊鏈系統(tǒng)的收益，需要研究交易的納什均衡行為與社會(huì)最優(yōu)行為。

4 交易費(fèi)方案

4.1 納什均衡行為

每個(gè)交易都愿意進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)得到服務(wù)，但又不愿意承受過(guò)長(zhǎng)的等待時(shí)間。假設(shè)交易到達(dá)區(qū)塊鏈系統(tǒng)時(shí)，在完全不可見(jiàn)情形下，每個(gè)交易均從個(gè)體利益的角度出發(fā)，決定是否進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)接受服務(wù)[15]。

交易的個(gè)人收益定義為完成服務(wù)所獲得的回報(bào)減去等待確認(rèn)所花費(fèi)的成本。交易的個(gè)人收益Gind(p)表示如下。

Gind(p)=R-CE[T]

其中，R為交易完成服務(wù)所獲得的回報(bào)，C為交易在區(qū)塊鏈系統(tǒng)滯留時(shí)單位時(shí)間所花費(fèi)的成本。為了保證新到達(dá)的交易一定選擇進(jìn)入空的區(qū)塊鏈系統(tǒng)，須滿足R>CE[T]。

考慮系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件，設(shè)置交易到達(dá)率的上界為pmax，分析交易的納什均衡到達(dá)率。

當(dāng)Gind(pmax)≥0時(shí)，區(qū)塊鏈系統(tǒng)的全部交易都將獲得非負(fù)的收益，即每個(gè)交易的收益為非負(fù)值。交易以概率qe=1進(jìn)入系統(tǒng)為一個(gè)均衡策略，區(qū)塊鏈系統(tǒng)的納什均衡到達(dá)率pe=pmax。

當(dāng)Gind(0)≤0時(shí)，即使進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)的交易可以直接接受服務(wù)，其所獲收益也為非正值。交易以概率qe=0進(jìn)入系統(tǒng)為一個(gè)均衡策略，區(qū)塊鏈系統(tǒng)的納什均衡到達(dá)率pe=0。

當(dāng)Gind(0)≤Gind(p)≤Gind(pmax)時(shí)，只有部分進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)的交易可以獲得非負(fù)的收益。交易以概率0

為了揭示交易個(gè)人收益的變化規(guī)律，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。沿用第3節(jié)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，并設(shè)置R=350,C=6。在M=50下，交易個(gè)人收益Gind(p)隨交易到達(dá)率p的變化情況如圖4所示。

圖4 交易個(gè)人收益的變化趨勢(shì)

由圖4觀察到，對(duì)于所有的挖礦系數(shù)θ，交易個(gè)人收益Gind(p)均隨交易到達(dá)率p的增大呈下降趨勢(shì)。隨著交易到達(dá)率的增加，交易平均確認(rèn)時(shí)間延長(zhǎng)，交易所花費(fèi)的時(shí)間成本提高，因而交易個(gè)人收益下降。個(gè)人收益為0時(shí)所對(duì)應(yīng)的交易到達(dá)率即為納什均衡到達(dá)率。在相同的區(qū)塊容量M下，挖礦系數(shù)θ越大，納什均衡到達(dá)率pe越大。交易完成服務(wù)所獲得的回報(bào)是固定的，挖礦系數(shù)越大，交易所花費(fèi)的成本越小。增大交易到達(dá)率，直至成本與服務(wù)所獲得的回報(bào)持平，即達(dá)到均衡狀態(tài)。因此納什均衡到達(dá)率變大。

4.2 社會(huì)最優(yōu)行為

區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益定義為單位時(shí)間內(nèi)所有交易的個(gè)人收益與獲勝礦工獲得的區(qū)塊獎(jiǎng)勵(lì)之和。社會(huì)收益Gsoc(p)表示如下：

Gsoc(p)=p(R-CE[T])+Q

(13)

其中，Q為單位時(shí)間內(nèi)獲勝礦工獲得的區(qū)塊獎(jiǎng)勵(lì)。

通過(guò)最大化社會(huì)收益Gsoc(p)，可以得到交易的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率p*表示如下。

(14)

從式(12)無(wú)法得到交易到達(dá)率p的顯示解，同時(shí)式(13)中社會(huì)收益Gsoc(p)關(guān)于p的單調(diào)性也無(wú)法確定。為了得到較準(zhǔn)確的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率，使用智能尋優(yōu)算法。

布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)算法[16]的全局搜索能力強(qiáng)，但收斂速度較慢。為了提高收斂速度同時(shí)也能獲得較高的尋優(yōu)精度，引入自適應(yīng)步長(zhǎng)與動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)縮放因子改進(jìn)布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)算法，沿用第4.1節(jié)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，并設(shè)置Q=10，求解不同挖礦系數(shù)下的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率。改進(jìn)的布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)算法的主要步驟如下。

步驟 1初始化鳥(niǎo)窩數(shù)量n，宿主發(fā)現(xiàn)外來(lái)蛋的概率pa，鳥(niǎo)窩位置的上界Ub與下界Lb，當(dāng)前迭代次數(shù)Gen=0，最大迭代次數(shù)MaxGen，步長(zhǎng)s的最大值smax與最小值smin，步長(zhǎng)縮放因子r的最大值rmax與最小值rmin。

步驟 2初始化鳥(niǎo)窩位置nesti。

fori=1:n

nesti=Lb+(Ub-Lb)×rand

endfor

步驟 3更新鳥(niǎo)窩位置對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值fnewi。

fori=1:n

計(jì)算第i個(gè)鳥(niǎo)窩位置所對(duì)應(yīng)的平均隊(duì)長(zhǎng)

%平均隊(duì)長(zhǎng)由式(11)得到

計(jì)算第i個(gè)鳥(niǎo)窩位置所對(duì)應(yīng)的平均確認(rèn)時(shí)間

%平均確認(rèn)時(shí)間根據(jù)Little公式得到

fnewi=Gsoc(nesti)

%社會(huì)收益由式(13)得到

endfor

步驟 4尋找當(dāng)前最優(yōu)鳥(niǎo)窩位置bnest，計(jì)算當(dāng)前最大目標(biāo)函數(shù)值fmax。

fmax=Gsoc(best)

Gen=Gen+1 %更新當(dāng)前迭代次數(shù)

ifGen>MaxGen

then跳轉(zhuǎn)到步驟 7

endif

步驟5使用自適應(yīng)步長(zhǎng)s更新鳥(niǎo)窩位置。

fori=1:n

di=(nesti-best)/dmax

%dmax表示當(dāng)前最優(yōu)位置與其余鳥(niǎo)

窩位置距離的最大值

si=smin+(smax-smin)×di

nesti=best+si

endfor

步驟 6以概率pa更新鳥(niǎo)窩位置。

fori=1:n

ifrand>pa

r=rmax-(rmax-rmin)×Gen/MaxGen

%確定動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)縮放因子

si=r×(nestm-nestw)

nesti=nesti+si

endif

endfor

返回步驟 3

步驟7輸出鳥(niǎo)窩位置best為社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率p*，目標(biāo)函數(shù)值fmax為最大社會(huì)收益Gsoc(p*)。

基于參數(shù)n=10，rmax=0.999999，MaxGen=40，pa=0.25，Ub=0.9，Lb=0.1，smax=0.01，smin=0.01，rmin=0.000001，利用改進(jìn)的布谷鳥(niǎo)算法解出社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率與最大社會(huì)收益如表1所示。

表1 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率

比較圖4的納什均衡到達(dá)率與表1的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率，觀察到在相同的挖礦系數(shù)下，交易的納什均衡到達(dá)率大于社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率。為了降低交易的納什均衡到達(dá)率使之與社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率一致，制定交易費(fèi)收取方案, 實(shí)現(xiàn)區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)最優(yōu)。

4.3 交易費(fèi)

(15)

=p(R-CE[T])+Q

(16)

比較式(15)與式(16)可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益并不受交易費(fèi)的影響。區(qū)塊鏈系統(tǒng)包括交易與礦工2部分。面向交易收取的費(fèi)用全部轉(zhuǎn)移給了礦工，因此區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益不變。

f=Gind(p*)

使用與圖4相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，基于不同的挖礦系數(shù)計(jì)算出交易費(fèi)如表2所示。

表2 交易費(fèi)數(shù)值結(jié)果

從表2 可以看出，隨著挖礦系數(shù)θ的增大，交易費(fèi)f呈上升趨勢(shì)。挖礦系數(shù)越大，即礦工求解數(shù)學(xué)難題越快，交易平均確認(rèn)時(shí)間越短，可能有更多的交易到達(dá)系統(tǒng)。為控制交易到達(dá)率，使之與社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率一致，需設(shè)置較高的交易費(fèi)。

5 結(jié) 論

基于區(qū)塊鏈系統(tǒng)的交易確認(rèn)過(guò)程，提出了一種帶有批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型，研究交易納什均衡到達(dá)率與社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率。采用再生循環(huán)法，給出了穩(wěn)態(tài)下交易平均確認(rèn)時(shí)間的表達(dá)式。進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)與仿真實(shí)驗(yàn)，研究了區(qū)塊容量、挖礦系數(shù)及交易到達(dá)率對(duì)交易平均確認(rèn)時(shí)間的影響。構(gòu)建交易的個(gè)人收益函數(shù)，給出了交易的納什均衡到達(dá)率。構(gòu)建區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益函數(shù)，改進(jìn)布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)算法，得到了交易的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在相同的挖礦系數(shù)下，交易的納什均衡到達(dá)率高于社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率?；谠撈睿贫ń灰踪M(fèi)方案，實(shí)現(xiàn)區(qū)塊鏈系統(tǒng)社會(huì)收益的最大化。