康杰 段忠東

摘要：壓縮感知是近年來出現(xiàn)的采樣和信號處理方法，它利用了信號中普遍存在的稀疏特性，從而可以以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率的采樣速率采集壓縮樣本，并依概率恢復(fù)得到真實信號。結(jié)構(gòu)振動信號具有一定的稀疏性。對其進(jìn)行壓縮采樣并進(jìn)行信號重構(gòu)，離散傅里葉原子的頻率往往與信號實際頻率不匹配，造成頻率泄漏，降低信號重構(gòu)精度。針對離散原子庫存在的缺陷，采用Polar插值對正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法進(jìn)行了改進(jìn)。以O(shè)MP算法選擇的最優(yōu)原子為基礎(chǔ)，利用Polar插值在最優(yōu)原子臨近構(gòu)建頻域連續(xù)原子庫，構(gòu)建了信號重構(gòu)的優(yōu)化模型，通過凸優(yōu)化算法獲得實際頻率的最優(yōu)估計。改進(jìn)算法以較小的計算量實現(xiàn)對OMP算法得到的離散原子頻率的修正。通過對結(jié)構(gòu)振動的數(shù)值模擬和對模型試驗壓縮信號的重構(gòu)，結(jié)果表明，與常規(guī)算法相比，改進(jìn)算法可有效提高信號重構(gòu)精度，特別是在壓縮觀測值數(shù)量較少的情況下，精度提升效果更加明顯。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動;壓縮感知;OMP算法;Polar插值;連續(xù)原子庫

中圖分類號：O327;TN911.7文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0450-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.002

引言

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是近年來出現(xiàn)的一種新的信號采集和處理理論。CS理論指出，對于在信號本身或者在某種變換下具有稀疏性的信號，僅需采集少量壓縮觀測值（相比奈奎斯特采樣樣本）即可高精度地重構(gòu)出原始信號。與奈奎斯特采樣定理相比，CS理論充分利用了信號稀疏性，能夠極大地減少信號的采集與傳輸。此外壓縮觀測值具有均等性，在數(shù)據(jù)傳輸過程中，丟失部分觀測值對信號重構(gòu)幾乎沒有影響。基于以上優(yōu)勢，國內(nèi)外針對CS理論開展了大量研究工作，其應(yīng)用領(lǐng)域涉及單像素相機成像，醫(yī)學(xué)核磁共振成像，雷達(dá)成像，數(shù)據(jù)通信，無線傳感網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測等。

信號稀疏性是壓縮感知理論應(yīng)用的重要前提。對于頻域稀疏信號，一般通過離散傅里葉原子庫對其分解來獲取稀疏性。然而離散傅里葉原子庫包含的頻率信息十分有限，僅對應(yīng)頻域范圍內(nèi)一組離散點，無法與信號中任意分布的頻率成分精確匹配，這在一定程度上損害了信號的稀疏性。增加原子數(shù)量可使原子庫包含更多頻率信息，能夠有效提高信號稀疏分解質(zhì)量，但原子之間的強相關(guān)性對CS重構(gòu)算法挑選原子產(chǎn)生負(fù)面影響。一些改進(jìn)方法隨之產(chǎn)生，Dai等在原子選擇過程中通過回溯思想來優(yōu)化原子挑選質(zhì)量;Duarte等提出采用受限聯(lián)合子空間信號模型來提高選擇原子準(zhǔn)確性。雖然這些方法恢復(fù)信號精度有所增加，但依然受到離散原子庫頻率信息不足的影響。

一些研究人員開始探討在頻域連續(xù)區(qū)間上尋找原子進(jìn)行壓縮感知信號重構(gòu)。Ekanadham等通過Polar插值圓弧近似構(gòu)建頻域連續(xù)原子庫，并在此基礎(chǔ)上與BP算法結(jié)合提出了CBP算法。Polar插值連續(xù)原子庫可以有效覆蓋信號包含的頻率成分，因此CBP算法重構(gòu)信號精度較高。Tang等基于原子范數(shù)概念提出了SDP算法，將稀疏信號重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為求解半正定方程，徹底擺脫了離散原子庫的束縛，從而獲取了較高的信號恢復(fù)精度。值得注意的是，無論CBP算法還是SDP算法，在信號重構(gòu)過程中都會產(chǎn)生巨大計算量，在處理大規(guī)模信號重構(gòu)問題時存在較大困難。

本文出發(fā)點在于探討如何以較小的計算量獲取高質(zhì)量的重構(gòu)信號。OMP算法在重構(gòu)信號過程中具有復(fù)雜度低、效率高等特點，但算法精度受到離散原子庫的限制。而Polar插值能夠在頻率參數(shù)點附近構(gòu)建連續(xù)原子庫，具有較好的靈活性與可操作性。因此采用Polar插值對OMP算法進(jìn)行改進(jìn)，增加較小的計算量來提高信號重構(gòu)精度。在基于離散原子庫重構(gòu)信號過程中，OMP算法所挑選出的原子頻率參數(shù)與信號頻率成分存在一定誤差，采用Polar插值在已挑選原子頻率參數(shù)附近構(gòu)建連續(xù)原子庫，通過凸優(yōu)化算法對挑選的原子頻率參數(shù)進(jìn)行校正，提高信號重構(gòu)精度。本文利用結(jié)構(gòu)振動信號的頻域稀疏性，通過數(shù)值模擬和模型試驗獲得壓縮觀測值，采用本文提出的改進(jìn)算法進(jìn)行信號重構(gòu)，結(jié)果表明，對于理想頻域稀疏信號，改進(jìn)算法可有效提高信號重構(gòu)精度，特別是在壓縮觀測值數(shù)量較少的情況下，精度提升效果更加明顯。而對于近似稀疏信號，改進(jìn)算法也能在一定程度上提升信號重構(gòu)精度。

1 基于Polar插值改進(jìn)的OMP算法

壓縮感知理論中，壓縮矩陣φ為扁平矩陣，即其行數(shù)遠(yuǎn)小于列數(shù)。按式（2）得到的壓縮信號y的觀測值數(shù)要遠(yuǎn)小于信號x的維數(shù)，即對信號x進(jìn)行了壓縮。這個壓縮過程在物理實現(xiàn)上一般是在模擬信號階段實現(xiàn)的。在對x進(jìn)行壓縮采樣后，目標(biāo)就是如何通過壓縮觀測值y重構(gòu)原信號x。下面通過構(gòu)建基于Polar插值的連續(xù)字典庫，結(jié)合OMP算法來提高信號重構(gòu)的精度。

式（1）中信號模型易采用函數(shù)sin（2πf_dt）與COS（27πf_dt）生成加密原子庫D_s與D_c：

2 數(shù)值實驗

下面通過數(shù)值實驗對采用Polar改進(jìn)的OMP算法（這里稱之為IOMP算法）進(jìn)行測試。一個3自由度阻尼系統(tǒng)用于生成結(jié)構(gòu)振動信號，如圖2所示。

系統(tǒng)質(zhì)量塊之間以及質(zhì)量塊與邊界之間采用彈簧阻尼單元連接。系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣如下所示：

激勵荷載由6條正弦信號疊加而成，其頻率分別為f₁=0.1699Hz，f₂=0.7144Hz，fa=1.0498Hz，f₄=0.73Hz，f₅=2.6579Hz與f₆=2.7199Hz。其中f₁，f₂和f₃對應(yīng)于體系的前3階自然頻率。激勵荷載施加于m₁，從m₂采集振動信號。采樣頻率設(shè)置為10Hz，采樣點數(shù)為1000.

2.1 原子數(shù)量及噪聲水平對IOMP算法重構(gòu)信號精度的影響

表1對比了不同原子數(shù)量與噪聲水平下IOMP算法重構(gòu)信號精度，各工況觀測矩陣φ均采用隨機伯努利矩陣，即該矩陣的元素隨機取1或者-1，信號混入的噪聲為高斯白噪聲，Polar插值連續(xù)區(qū)間參數(shù)△選為0.1Hz。本文采用相對誤差ξ來衡量重構(gòu)信號精度。相對誤差是對重構(gòu)信號質(zhì)量進(jìn)行整體描述，相對誤差越小，則重構(gòu)信號精度越高。相對誤差計算公式如下

由表1可知，原子數(shù)量和噪聲水平對IOMP算法重構(gòu)信號的精度有重要影響。當(dāng)噪聲水平較高或原子數(shù)量較少時，IOMP算法重構(gòu)信號誤差較大。這是由于OMP算法初選原子的頻率參數(shù)精度過低，致使Polar插值連續(xù)原子庫無法覆蓋到信號的真實頻率。增加觀測值和原子數(shù)量可以提高信號恢復(fù)的精度，如噪聲水平為20%，IOMP算法在原子數(shù)量為5000，壓縮值數(shù)量為10%條件下重構(gòu)信號精度要明顯高于原子數(shù)量1000，壓縮觀測值5%條件下重構(gòu)信號精度。

2.2 Polar插值連續(xù)△對IOMP算法重構(gòu)信號精度的影響

圖3對比了△不同取值下IOMP算法重構(gòu)信號的精度，信號噪聲水平為10%，壓縮矩陣φ采用隨機伯努利矩陣，觀測信號壓縮比為5%。圖4對比了原始信號和重構(gòu)信號的時程。

圖3（a）顯示當(dāng)原子數(shù)量為1000，IOMP算法重構(gòu)信號誤差在△=0.4Hz時最小。這是由于原子數(shù)量過少導(dǎo)致OMP算法初選原子頻率參數(shù)存在較大誤差，需要Polar插值連續(xù)原子庫在大范圍內(nèi)對原子頻率參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，因此當(dāng)厶增加至0.4Hz時IOMP算法重構(gòu)信號誤差最小。當(dāng)原子數(shù)量為2000-4000，OMP算法初選原子頻率參數(shù)精度較高，只需Polar插值連續(xù)原子庫在較小的范圍內(nèi)對頻率參數(shù)進(jìn)行調(diào)整即可，此時IOMP算法在△=0.1Hz時達(dá)到了較高的重構(gòu)精度。此外，當(dāng)△=0.7Hz時IOMP算法重構(gòu)誤差均較大。這是由于原子d_e（f）=e_i2πft頻率參數(shù)f在△上變化時，其運動軌跡為多維球面上一段曲線，厶越大則曲線段越長，此時以Po-lar插值圓弧近似相應(yīng)曲線段存在較大誤差，從而降低了算法重構(gòu)信號精度?；谝陨戏治觯琁OMP算法重構(gòu)信號需要合理選取原子數(shù)量與參數(shù)△值，一般情況下原子數(shù)量不少于4倍信號長度，△值不易大于10倍采樣頻率與采樣點數(shù)的比值。圖4中信號時程顯示，恢復(fù)的信號與原信號吻合很好。

3 模型試驗

此節(jié)采用模型試驗數(shù)據(jù)對IOMP算法進(jìn)行測試。如圖5所示，模型層高為0.48m，總高度為1.56m，每層板重量為20.272kg，模型總重量為67.44kg，模型底部與臺面固接。在模型第3層沿x軸向施加錘擊荷載，加速度傳感器在模型第2層板采集x軸向結(jié)構(gòu)振動信號。圖5中，①為荷載施加位置，②為傳感器位置。振動信號時程共采集1000個加速度樣點，采樣頻率設(shè)置為50Hz。

3.1IOMP算法與其他主要壓縮感知算法重構(gòu)信號精度比較

目前壓縮感知理論已發(fā)展了大量壓縮信號重構(gòu)算法，然而在重構(gòu)頻域稀疏信號時，多數(shù)重構(gòu)算法易受離散傅里葉原子影響產(chǎn)生重構(gòu)誤差。表2對比了IOMP算法與其他主要壓縮感知算法重構(gòu)信號精度，表中計各工況壓縮矩陣φ同樣為隨機伯努利矩

貪婪迭代算法與凸優(yōu)化算法是兩大類壓縮感知重構(gòu)算法。貪婪算法復(fù)雜度低、計算效率高，而凸優(yōu)化算法需要求解優(yōu)化方程，因此算法復(fù)雜度、高計算效率低。圖8對比了各算法計算平均時間，OMP算法與CoSaMP算法屬于貪婪算法，計算耗時較少。BP算法屬于凸優(yōu)化算法，計算耗時較多。IOMP算法在OMP算法基礎(chǔ)上需要求解一個規(guī)模較小的凸優(yōu)化方程，因此計算時間介于CoSaMP算法與BP算法之間。

陣，Polar插值參數(shù)△取值為0.2Hz。

對于圖6中的頻域稀疏信號，IOMP算法重構(gòu)信號精度優(yōu)于其他主要壓縮感知重構(gòu)算法。當(dāng)原子數(shù)量為5000，IOMP算法重構(gòu)信號誤差為0.1718，OMP算法與BP算法重構(gòu)信號誤差均較大，分別為0.2916與0.2868.而基于OMP算法改進(jìn)的Co-SaMP算法重構(gòu)信號精度與IOMP算法接近，其為0.2019.

信號重構(gòu)誤差大小影響其傅里葉譜的精度，原始信號和恢復(fù)信號的傅里葉譜如圖7所示。IOMP算法與CoSaMP算法重構(gòu)信號頻譜較為光滑且與原始信號譜吻合較好，頻譜出現(xiàn)的3個峰值與原始信號譜準(zhǔn)確對應(yīng)。相比之下，OMP算法與BP算法重構(gòu)信號頻譜在原始信號第二個峰值處出現(xiàn)較大偏差，此外BP算法重構(gòu)信號頻譜還存在較多毛刺。

3.2 基于重構(gòu)信號進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別

以圖7中的重構(gòu)信號作為輸入，采用EAR（Eigensystem Realization Algrithm）算法來識別模態(tài)參數(shù)。模型階次確定如圖9所示，IOMP算法與CoSaMP算法重構(gòu)信號隨著模型階次增加奇異值出現(xiàn)明顯跳躍，因此模型階次確定為7.而OMP算法與BP算法重構(gòu)信號此現(xiàn)象并不明顯，模型階次選為10.

采用重構(gòu)后的信號對結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識別，結(jié)果如表3所示。IOMP算法與CoSaMP重構(gòu)信號誤差較小，ERA提取的模態(tài)頻率精度較高;OMP算法與BP算法信號重構(gòu)誤差較大，導(dǎo)致EAR提取模態(tài)參數(shù)不僅精度低且存在虛假模態(tài)。然而，阻尼參數(shù)對恢復(fù)信號的誤差更敏感。如表3所示，用恢復(fù)后的信號對阻尼比識別結(jié)果不理想，特別是基于CoSaMP算法重構(gòu)信號獲取的第3階模態(tài)阻尼比高達(dá)7.33%。

4 結(jié)論

本文采用Polar插值連續(xù)原子庫對OMP算法進(jìn)行改進(jìn)，達(dá)到了以增加適當(dāng)計算量較大程度地提高重構(gòu)信號精度的效果。本文針對振動壓縮采樣信號，建立了基于Polar插值的OMP信號重構(gòu)的凸優(yōu)化模型，并采用凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解。通過數(shù)值模擬和模型試驗對該算法進(jìn)行了驗證。結(jié)果表明，相比常規(guī)壓縮感知算法，IOMP算法能夠以較少的觀測值高精度地重構(gòu)頻域稀疏信號;利用重構(gòu)信號進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，避免了虛假模態(tài)的出現(xiàn)，提高了模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果的精度。