代 帆,劉小佑

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

眾所周知傳染病是直接危害人類健康的重要因素之一，這其中就包括艾滋病(AIDS)，它是一種危害極大的傳染病。據(jù)WHO報(bào)道，艾滋病毒仍然屬于一項(xiàng)全球主要公共衛(wèi)生問題，到目前為止已造成3 200多萬人死亡。2018年，全球有77萬人死于與艾滋病毒相關(guān)的病癥。目前仍沒有針對艾滋病毒感染的治愈方法，但通過有效的抗逆轉(zhuǎn)錄病毒藥物可使病毒得到控制且利于預(yù)防傳播，從而使艾滋病毒感染者以及面臨重大風(fēng)險(xiǎn)人員能夠長期享有健康且有益的生活(見https://www.who.int/zh/news-room/fact-sheets/detail/hiv-aids)。艾滋病具有很強(qiáng)的社會(huì)危害性，會(huì)給個(gè)人、家庭和社會(huì)帶來不可估量的損失。

到目前為止，已有許多專家學(xué)者對艾滋病的傳播做了深入的研究，各種刻畫艾滋病傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型也相繼被提出來[1-7]。艾滋病的主要傳播途徑有血液傳播、毒品注射傳播、母嬰傳播和性接觸傳播。據(jù)中國疾控中心、聯(lián)合國艾滋病規(guī)劃署和世界衛(wèi)生組織聯(lián)合評估，性傳播是主要傳播途徑，2017年報(bào)告感染者中經(jīng)異性傳播占比為69.6%，男性同性傳播為25.5%(見http://www.chinacdc.cn/mtbd_8067/201811/t20181128_197565.html)。各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，性傳播是艾滋病目前最主要的傳播途徑，且男男同性性傳播占比逐年提高[8]。另外隨著艾滋病防治和宣傳工作的不斷深入，如今人們對艾滋病的認(rèn)識(shí)逐步加深，已有相關(guān)研究表明，人們對艾滋病的認(rèn)識(shí)程度及主觀防治意識(shí)等因素在艾滋病的防治中能起到一定的積極作用[9-14]。

基于上述原因，本文將考慮一類具有意識(shí)分類和控制策略的艾滋病性傳播模型。該模型具有常數(shù)輸入、指數(shù)死亡和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，將考慮性傳播(包括男男同性)、意識(shí)分類和控制策略等主要因素。將所考慮的區(qū)域中總?cè)丝诜譃榘祟悾?/p>

1)無意識(shí)易感者女性(Sf)(沒有艾滋病防治意識(shí)，可能會(huì)無意間經(jīng)過性接觸傳播途徑成為無意識(shí)感染者女性)；

2)無意識(shí)易感者男性(Sm)；

3)有意識(shí)易感者(Sa)(有艾滋病防治意識(shí)的易感者，不會(huì)主動(dòng)參與任何有風(fēng)險(xiǎn)的艾滋病感染行為)；

4)無意識(shí)感染者女性(If)(沒有艾滋病防治意識(shí)且不知道自己已經(jīng)感染的女性感染者，可能會(huì)無意間經(jīng)過性接觸感染他人)；

5)無意識(shí)感染者男性(Im)；

6)有意識(shí)感染者(Ia)(有艾滋病防治意識(shí)的感染者，不會(huì)主動(dòng)感染別人)；

7)艾滋病患者(A)；

8)接受治療的感染者(T)(有意識(shí)感染者中通過艾滋病防治意識(shí)宣傳教育后開始接受治療的感染者，該類人群不會(huì)參與任何與艾滋病傳播有關(guān)的行為)。

該艾滋病性傳播(包括男女異性和男男同性)模型的主要假設(shè)為：

1)新加入人口都為成年人，不考慮垂直感染；

2)新感染者都是無意識(shí)的感染者；

3)艾滋病只在無意識(shí)易感者和無意識(shí)的感染者之間傳播；

4)國家及社會(huì)在艾滋病防治意識(shí)及治療等方面采取相關(guān)干預(yù)控制策略。

具體模型如下：

(1)

模型(1)中各參數(shù)的意義如下：

Λ：人口輸入常數(shù)；

ε：女性輸入比例為(0<ε<1)；

N：總?cè)丝跀?shù)，也即N=Sf+Sm+If+Im+Ia+A+Sa+T；

d：自然死亡率；

τ：因病額外死亡率；

θ：感染者從無意識(shí)向有意識(shí)的自然轉(zhuǎn)化率(即通過自身身體變化，自主意識(shí)到感染艾滋病毒的概率)；

δ：艾滋病感染者成為艾滋病患者的轉(zhuǎn)化率；

η：接受治療的感染者成為艾滋病患者的轉(zhuǎn)化率；

β1：無意識(shí)易感者女性(Sf)和無意識(shí)感染者男性(Im)之間的有效接觸率；

β2：無意識(shí)易感者男性(Sm)和無意識(shí)感染者女性(If)之間的有效接觸率；

β3：無意識(shí)易感者男性(Sm)和無意識(shí)感染者男性(Im)之間的有效接觸率；

控制強(qiáng)度系數(shù)p1：無意識(shí)易感者女性(Sf)通過艾滋病防治意識(shí)宣傳教育成為有意識(shí)易感者(Sa)的轉(zhuǎn)移率；

控制強(qiáng)度系數(shù)p2：無意識(shí)易感者男性(Sm)通過艾滋病防治意識(shí)宣傳教育成為有意識(shí)易感者(Sa)的轉(zhuǎn)移率；

控制強(qiáng)度系數(shù)q1：無意識(shí)感染者女性(If)通過艾滋病防治意識(shí)宣傳教育成為有意識(shí)感染者(Ia)的轉(zhuǎn)移率；

控制強(qiáng)度系數(shù)q2：無意識(shí)感染者男性(Im)通過艾滋病防治意識(shí)宣傳教育成為有意識(shí)感染者(Ia)的轉(zhuǎn)移率；

控制強(qiáng)度系數(shù)q3：有意識(shí)感染者(Ia)通過艾滋病防治意識(shí)宣傳教育成為接受治療的感染者(T)的轉(zhuǎn)移率。

1 模型平衡點(diǎn)的存在性

為方便起見，引入記號(hào)a1=δ+θ+d、a2=δ+d、a3=τ+d。模型(1)的平衡點(diǎn)EP=(Sf,Sm,If,Im,Ia,A,Sa,T)可通過求解下面方程組得到。

(2)

若Im=0，可得

If=0,Ia=0,A=0,T=0,

即模型(1)有無病平衡點(diǎn)，其各項(xiàng)的值由上式表示，該無病平衡點(diǎn)記為

EP=(Sf′,Sm′,0,0,0,0,Sa′,0)。

若Im>0，可推出

以及一個(gè)關(guān)于Im的一元二次方程

(3)

其中

若方程(3)有正解Im，則模型(1)有地方病平衡點(diǎn)，并記其為

通過計(jì)算，可定義基本再生數(shù)[15]為

定理1若01，則模型(1)具有唯一地方病平衡點(diǎn)。模型(1)總有無病平衡點(diǎn)。

證明：把方程(3)中常數(shù)K改寫成

K=-Q(R0-1)。

另引入一元二次函數(shù)

顯然S(Im)=R0與一元二次方程T(Im)=0同解。一元二次函數(shù)S(Im)開口向上，且有S(0)=1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(Im-min,Q(Im)-min)，其中

若0

因而有

由一元二次函數(shù)圖像可知方程S(Im)=R0無正解，即模型(1)無地方病平衡點(diǎn)。

2 模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

首先給出一個(gè)下文中將要用到的穩(wěn)定性判定定理。

引理1若方程組的系數(shù)矩陣的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則方程組的零解是漸近穩(wěn)定的[16]。

計(jì)算可得方程組(1)的Jacobian矩陣為

(4)

定理2若0

證明：由矩陣(4)可得模型(1)在無病平衡點(diǎn)處的特征多項(xiàng)式為

當(dāng)0

計(jì)算可得特征方程為

(5)

其中

顯然有L>0和H>0。將方程組(2)中第4式的變形式

代入M中可得

現(xiàn)在討論特征方程(5)中因式λ2+(L+M)λ+LM-H?？紤]以下一元二次方程

x2+(L+M)x+(LM-H)=0，

其判別式

Δ=(L+M)2-4(LM-H)=(L-M)2+4H>0。

另據(jù)韋達(dá)定理有

x1+x2=-(L+M)<0。

為方便計(jì)算，引入

L=B+C,M=D+E

其中

則有

x1x2=LM-H=(B+C)D+BE+CE-H。

(6)

可得

CE-H=0。

故最后可得

x1x2=LM-H=(B+C)D+BE>0。

這表明特征方程(5)中二次因式項(xiàng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根。

綜上可知特征方程(5)存在8個(gè)負(fù)實(shí)根，滿足引理1，故定理成立。

3 結(jié) 論

本文考慮了一類具有意識(shí)分類和控制策略的艾滋病性傳播(包括男女異性和男男同性)模型。通過分析與計(jì)算，給出了模型的基本再生數(shù)，證明了模型的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性。其中基本再生數(shù)表達(dá)式為

從基本再生數(shù)的表達(dá)式中可以發(fā)現(xiàn)，三類性接觸的有效接觸率(β1、β2和β3)越小，則基本再生數(shù)也相應(yīng)越小。另一方面，控制變量p1、p2、q1和q2越大，相應(yīng)的基本再生數(shù)也會(huì)越小，也就是干預(yù)強(qiáng)度越大、控制策略越多，相應(yīng)的疾病流行趨勢就會(huì)降低。

本文主要限于考慮模型(1)平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性，在后續(xù)研究中，將考慮它的最優(yōu)控制問題。