李 鵬,霍禮勇,劉 菊

(江蘇科技大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院,鎮(zhèn)江212003)

文獻[1]中提出了模糊集的概念,通過隸屬度表示模糊性,但無法表征猶豫狀態(tài)．針對此問題,文獻[2]中提出了直覺模糊集的概念,運用隸屬度和非隸屬度二維信息表征不確定性,其中隸屬度、非隸屬度、猶豫度3個元素之和為1．然而在現(xiàn)實生活中,決策者對屬性進行評價時會出現(xiàn)隸屬度、非隸屬度、猶豫度相互獨立的情況．文獻[3]中提出了中智集的概念,用真實程度T、不確定程度I和謬誤程度F3個相互獨立元素表示決策信息的模糊性．

由于中智集能夠更加準(zhǔn)確地表達決策者對客觀事物的看法,國內(nèi)外眾多學(xué)者對其進行了研究．文獻[4]中提出了單值中智集的概念．文獻[5]中定義了單值中智集之間的距離、相似性度量及熵公式.文獻[6]中在余弦函數(shù)基礎(chǔ)上定義了熵、相似性和交叉熵等測度的信息度量公式,并將其運用到單值中智集多屬性決策問題中.文獻[7]中將交叉熵拓展到單值中智集,提出了單值中智交叉熵.文獻[8]中定義了單值中智數(shù)的記分函數(shù),并提出了一種多屬性中智決策方法.文獻[9]中定義了一種單值中智數(shù)的新記分函數(shù),在此基礎(chǔ)上運用TOPSIS方法進行決策排序．文獻[10]中提出了區(qū)間中智集的概念,將T、I、F以標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的形式表征．在此基礎(chǔ)上,文獻[11]中定義了一種區(qū)間中智熵的計算公式．文獻[12]中提出了多值中智集的概念,并定義了多值中智數(shù)的期望以及Hamming距離．文獻[13]中利用多值區(qū)間中智集描述不確定信息,定義了多值區(qū)間中智集的歐氏距離．由于現(xiàn)實中評估問題的不確定性,人們對事物進行評估時往往具有一定的猶豫性,難以用單個元素進行描述．文獻[14]中提出了猶豫模糊集的概念．文獻[15]中在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上提出了猶豫直覺模糊集．文獻[16]中提出了猶豫中智集和猶豫中智元的概念．

VIKOR方法是對決策方案進行折衷排序的一種方法,從可行解中確定相對最優(yōu)解,可以有效解決諸多決策問題．目前,已有大量學(xué)者對VIKOR方法進行了深入研究．文獻[17]中討論了區(qū)間數(shù)型模糊VIKOR方法;文獻[18]中提出了基于直覺模糊信息的群體VIKOR方法;文獻[19]中提出了區(qū)間直覺模糊信息的VIKOR方法;文獻[20]中提出了基于遠(yuǎn)程指數(shù)的多元標(biāo)準(zhǔn)決策分析的廣義距離度量畢達哥拉斯模糊VIKOR方法;文獻[21]中構(gòu)建了基于熵權(quán)法和VIKOR法的裝備作戰(zhàn)準(zhǔn)備評估模型等．然而,基于猶豫中智集的VIKOR方法研究相對較少．文獻[8-9]將記分函數(shù)引用到中智決策方法中,但存在不合理的地方,導(dǎo)致區(qū)分度較低．文獻[16]中提出了猶豫中智集和猶豫中智元的概念,但屬性權(quán)重直接給出，并未考慮確定權(quán)重的合理方法．因此,文中將VIKOR方法拓展到猶豫中智集中,提出一種新記分函數(shù)與熵的猶豫中智VIKOR方法．

1 基本理論

1.1 中智集

定義1[22]設(shè)X是一非空集合,則X上的單值中智集為A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}．其中,TA(x):X→[0,1],IA(x):X→[0,1],FA(x):X→[0,1]分別表示真實程度函數(shù)、不確定程度函數(shù)與謬誤程度函數(shù),0≤supTA(x)+supIA(x)+supFA(x)≤3．

便于敘述,單值中智數(shù)記為a=〈Ta,Ia,Fa〉．

定義2[23]設(shè)非空集合X={x1,x2,…,xn},M={〈x,TM(x),IM(x),FM(x)〉|x∈X}與N={〈x,TN(x),IN(x),FN(x)〉|x∈X}是論域X上的兩個單值中智集,則M和N之間的歐式距離為:

(1)

1.2 猶豫中智集

定義3[24]設(shè)X∈[0,1]是一非空集合,則猶豫模糊集可表示為A={〈x,hA(x)〉|x∈X}．其中,hA(x)表示x∈X的若干種可能隸屬度構(gòu)成的集合,且滿足hA(x)∈[0,1]．

定義hA=hA(x)為猶豫中智數(shù)(HNN),記X上所有猶豫中智集構(gòu)成的集合為HNS(X)．

定義5[16]設(shè)X是一非空集合,X上的兩個猶豫中智數(shù)為:

則hA和hB的歐氏距離為:

(2)

針對猶豫中智數(shù)中單值中智數(shù)個數(shù)不同的情況,即lA≠lB時,文中采用文獻[16]中提出的方法,使兩個猶豫中智數(shù)中包含相同個數(shù)的元素．

2 新記分函數(shù)

單值中智數(shù)是猶豫中智數(shù)的基本單元,而記分函數(shù)是其大小比較的有效工具,但是現(xiàn)有的記分函數(shù)在區(qū)分度上仍有待提高．基于此,文中分析了現(xiàn)有記分函數(shù)的缺陷,并在此基礎(chǔ)上提出一種新記分函數(shù)．

2.1 現(xiàn)有記分函數(shù)的缺陷

例1設(shè)單值中智數(shù)a=〈0.9,0.2,0.2〉和b=〈0.9,0.1,0.4〉,根據(jù)記分函數(shù),有：

則a～b,無法區(qū)分兩個單值中智數(shù)的大?。?/p>

例2設(shè)單值中智數(shù)c=〈0.8,0.6,0.4〉和d=〈0.8,0.4,0.6〉,根據(jù)記分函數(shù)的定義:

則a～b,無法區(qū)分兩個單值中智數(shù)的大?。?/p>

2.2 新記分函數(shù)

文獻[25-28]中分別從不同角度提出了直覺模糊數(shù)的記分函數(shù)．由于單值中智數(shù)在性質(zhì)與運算法則上與直覺模糊數(shù)有一定的相似之處,文中借鑒上述文獻的思想,提出以下新記分函數(shù)．

(3)

式中,Sgn為符號函數(shù).

運用文中提出的記分函數(shù)對例1與例2的數(shù)據(jù)進行計算,可得S(a)=0.898,S(b)=0.657，S(c)=0.834,S(d)=0.325．可以看出,文中提出的記分函數(shù)在區(qū)分度上要強于記分函數(shù)S1和S2．

3 基于猶豫中智集的熵

熵的概念起源于熱力學(xué),是對系統(tǒng)不確定程度的一種描述,目前已在信息領(lǐng)域取得了諸多應(yīng)用,其中熵權(quán)法已廣泛應(yīng)用于多屬性決策理論．文獻[29]中根據(jù)猶豫模糊元的距離測度,提出了多種猶豫模糊元的熵．文獻[30]中提出了單值中智熵．然而,猶豫中智熵的相關(guān)研究尚不多見,文中提出了猶豫中智集熵的公理化定義,并構(gòu)建一種猶豫中智熵的計算公式．

定義7設(shè)論域X={x1,x2,…,xn},A={〈xi,hA(xi)〉|xi∈X},B={〈xi,hB(xi)〉|xi∈X}為論域X上的兩個猶豫中智集,其中

k=1,2,…,lA;i=1,2,…,n．

則熵[19，29]EN:N(X)→[0,1]滿足以下性質(zhì):

(1) 0≤EN(A)≤1．

(2) 當(dāng)M={〈1,0,1〉,〈1,0,1〉,…,〈1,0,1〉}時,則EN(A)=0．

則EN(A)≤EN(B)．

(4) 當(dāng)A={〈0.5,0.5,0.5〉,〈0.5,0.5,0.5〉,…,〈0.5,0.5,0.5〉} 時,則EN(A)=1．

(5)EN(A)=EN(AC)．

根據(jù)定義7,定義一種猶豫中智熵的計算公式．

定義8設(shè)非空集合X={x1,x2,…,xn},猶豫中智集A={〈xi,hA(xi)〉|xi∈X}的猶豫中智數(shù)為:

則A的熵為:

(4)

例3設(shè)猶豫中智數(shù){〈0.8,0.5,0.4〉,〈0.7,0.3,0.5〉},則根據(jù)式(4),其熵的計算結(jié)果如下:

定理1EN滿足定義7中的性質(zhì)(1)～(5)．

可得：

所以,

因此,當(dāng)A={〈1,0,1〉,〈1,0,1〉,…,〈1,0,1〉}時,則EN(A)=0．

可得,

所以,EN(A)-EN(B)≤0,即EN(A)≤EN(B)．

所以,EN(A)-EN(B)≥0,即EN(A)≥EN(B)．

所以,EN(A)-EN(B)≤0,即EN(A)≤EN(B)．

可得:

所以,EN(A)-EN(B)≥0,即EN(A)≥EN(B)．

可得,

所以,EN(A)-EN(B)≤0,

即EN(A)≤EN(B)．

可得,

所以,EN(A)-EN(B)≥0,即EN(A)≥EN(B)．

(4) 當(dāng)A={〈0.5,0.5,0.5〉，〈0.5,0.5,0.5〉,…,〈0.5,0.5,0.5〉}時,

因此,當(dāng)A={〈0.5,0.5,0.5〉,〈0.5,0.5,0.5〉,…,〈0.5,0.5,0.5〉}時,即EN(A)=1．

因此,定理得證．

4 基于新記分函數(shù)與熵的猶豫中智VIKOR方法

文中在研究過程中主要采用理論研究和案例分析相結(jié)合,通過分析總結(jié)現(xiàn)有研究成果,將VIKOR方法拓展到猶豫中智集中,提出一種新記分函數(shù)與熵的猶豫中智VIKOR方法．其中,VIKOR方法對每個方案進行排序．新記分函數(shù)克服傳統(tǒng)記分函數(shù)分辨率不高的缺點,目的是為了給添加平均值的猶豫中智數(shù)中的單值中智數(shù)進行降序,熵是為了給每個屬性進行賦權(quán)．

猶豫中智信息VIKOR方法的決策流程如下:

步驟1 根據(jù)猶豫中智熵確定屬性權(quán)重

根據(jù)猶豫中智決策矩陣H=(hij)m×n與式(4),可得屬性權(quán)重如下:

(5)

步驟2 確定猶豫中智數(shù)的正、負(fù)理想方案

確定猶豫中智數(shù)的正理想方案:

確定猶豫中智數(shù)的負(fù)理想方案:

需要指出的是,文中采用文獻[16]的增加元素方式確定正、負(fù)理想方案,使同一屬性下的猶豫中智數(shù)中單值中智數(shù)的個數(shù)相同,且利用新的記分函數(shù)對單值中智數(shù)進行降序排列．其中,l表示每個屬性下各方案中猶豫中智數(shù)中單值中智數(shù)的個數(shù)．

步驟3 計算最大群體效用值Si和最小個體遺憾Ri

(6)

(7)

步驟4 獲取折衷評價值Qi

(8)

式中:i=1,2,…,m;j=1,2,…,n;k=1,2,…,l,l為猶豫中智數(shù)中單值中智數(shù)的個數(shù)．式(8)中,S+=minSi,S-=maxSi,R+=minRi,R-=maxRi．在VIKOR方法中,λ一般取0.5,表示根據(jù)贊同的情況進行決策,含義是決策機制系數(shù)或最大群體效用權(quán)重．

步驟5 對備選方案進行排序

對Si、Ri和Qi進行排序,其中,Qi值越小,表明方案越好;反之越差．步驟如下:

條件1(可接受優(yōu)勢):Q2-Q1≥1/(m-1),m是方案的總數(shù)目．文獻[32]中提出當(dāng)m≤4時,取1/(m-1)=1/4.條件2(可接受穩(wěn)定性):如果Q1在序列Si或Ri中排列也是最優(yōu),則Q1在決策中是最優(yōu),且最穩(wěn)定．

如果兩個條件都成立,則此選中的方案為最佳決策,Q1表示最優(yōu)方案排在第1位,Q2表示最優(yōu)方案排在第2位．

如果兩個條件滿足條件1,則折衷排序的一組妥協(xié)解Q1、Q2都為最優(yōu)解;當(dāng)滿足條件2時,根據(jù)Qξ-Q1<1/(m-1),可得到最大值ξ,則Q1,Q2，…，Qξ都接近理想方案．

5 算例分析

企業(yè)的發(fā)展離不開精湛的管理,為了使企業(yè)不被淘汰,管理模式亟待創(chuàng)新．因此,精益生產(chǎn)管理很快流入各企業(yè)的管理模式中．某企業(yè)需要學(xué)習(xí)先進管理模式,通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)有Y1,Y2,Y33家企業(yè)綜合情況與本企業(yè)大體相同．根據(jù)專家調(diào)研、實地考察和文獻資料構(gòu)建屬性，分別為G1,G2,G3,G4．其中，G1為拉動式準(zhǔn)時化生產(chǎn);G2為全面質(zhì)量管理;G3為團隊工作法;G4為并行工程．邀請專家對上述3家企業(yè)的4個屬性進行評價,得到猶豫中智決策矩陣H(表1),現(xiàn)對該3家企業(yè)進行排序擇優(yōu)．

表1 決策矩陣HTable 1 Decision matrix H

5.1 決策步驟分析

利用文中的VIKOR方法解決上述企業(yè)選擇決策問題,決策流程如下:

步驟1 根據(jù)表1的決策矩陣H與式(5),求得各屬性權(quán)重:

ω=(0.284,0.237,0.328,0.151)

步驟2 確定猶豫中智數(shù)的正、負(fù)理想方案

采用中庸態(tài)度添加元素原則使同一屬性下各企業(yè)中猶豫中智數(shù)中單值中智數(shù)的個數(shù)一致,如表2;利用新的記分函數(shù)式(3)對單值中智數(shù)進行降序排列,如表3:

表2 添加平均值的決策矩陣Table 2 Decision matrix added the average value

表3 降序排列的決策矩陣Table 3 Decision matrix using descended order

確定猶豫中智集的正理想方案:

確定猶豫中智集的負(fù)理想方案:

步驟3 根據(jù)式(2)、(6)、(7)求出Si,Ri值．

S1=0.620,S2=0.575,S3=0.630

R1=0.192,R2=0.216,R3=0.279

步驟4 根據(jù)式(8)求出Qi值．

Q1=0.410,Q2=0.138,Q3=1.000

步驟5 采用文中的決策方法對Si、Ri和Qi進行排序,其中,Qi值越小,表明企業(yè)越好;反之越差,如表4:

表4 各企業(yè)的Si、Ri、Qi值以及排序Table 4 Si,Ri,Qi values and ranking orders for each enterprise

由表4可知,根據(jù)折衷評價值Qi得到企業(yè)的優(yōu)先序為Y2?Y1?Y3,則最優(yōu)企業(yè)為Y2．Q2-Q1=0.410-0.138=0.272>0.25,且滿足條件(1),同時企業(yè)Y2在Si排名仍為最優(yōu)方案．因此,企業(yè)Y2的精益生產(chǎn)管理模式在決策過程中是穩(wěn)定的最優(yōu)企業(yè)．

5.2 算例對比分析

表5 TOPSIS方法中各方案的值及排序Table values and ranking orders for each enterprise using TOPSIS method

通過TOPSIS的方法可得出Y2?Y1?Y3．可以看出,TOPSIS方法與文中提出的方法排序結(jié)果一致,從而驗證方法有效性．

通過對比,采用TOPSIS方法得出的ζi值都很接近,區(qū)分度較低,特別是企業(yè)Y1和Y3,而VIKOR方法的折衷評價值的區(qū)分度高．主要原因是TOPSIS方法在實際應(yīng)用中,存在方案增減導(dǎo)致的逆序性問題,應(yīng)用到文中選擇先進企業(yè)管理模式的案例中,適應(yīng)性較低,而文中提出的基于折衷思想的VIKOR方法,從追求滿意解的角度去解決多屬性決策,避開了TOPSIS方法的逆序性問題,在實際應(yīng)用中,具有較強的實用性與可行性．

6 結(jié)論

(1) 文中分析了傳統(tǒng)記分函數(shù)的缺陷,并在此基礎(chǔ)上提出一種新記分函數(shù),克服傳統(tǒng)記分函數(shù)分辨率不高的缺點;

(2) 提出了基于猶豫中智集熵的公理化定義,設(shè)計了一種猶豫中智集的熵公式,給文中各指標(biāo)進行賦權(quán),并證明了該熵公式滿足熵的公理化定義;

(3) 提出了基于猶豫中智集的VIKOR方法,并通過與傳統(tǒng)的TOPSIS方法進行對比,分析了傳統(tǒng)方法應(yīng)用在實際案例中存在的問題,驗證了文中方法的有效性與合理性．