袁平平,張 健,吳慧山

(1.江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212005) (2.中設(shè)設(shè)計集團股份有限公司, 南京 210014)

土木工程結(jié)構(gòu)所處的復(fù)雜自然環(huán)境和外部激勵對結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)和力學(xué)行為有著顯著的影響．結(jié)構(gòu)在地震、臺風(fēng)等較強荷載作用下會表現(xiàn)出一定的非線性行為,因此準(zhǔn)確地識別出非線性結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)的瞬時特性,對結(jié)構(gòu)的狀態(tài)評定和安全評估具有重要的工程價值意義．作為非線性響應(yīng)信號分析方法之一,時頻分析法將一維的時域信號擴展到二維的時頻平面上,它可以清晰地描述信號的能量隨時間和頻率的變化規(guī)律．目前,此類方法主要包括短時傅里葉變換法、Wigner-Ville分布法、希爾伯特-黃變換法(Hilbert-Huang transform,HHT)和小波變換法等[1]．

文獻[2]利用短時傅里葉變換方法對高層框架結(jié)構(gòu)的響應(yīng)數(shù)據(jù)進行了分析,得到了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)．結(jié)合最優(yōu)窗自適應(yīng)傅里葉變換方法,文獻[3]對具有非平穩(wěn)特征的懸索橋模型以及鋼框架模型進行了參數(shù)識別．通過對HHT的研究,文獻[4]開發(fā)了一套環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的程序．結(jié)合帶通濾波技術(shù),文獻[5]將HHT應(yīng)用到橋梁的模態(tài)參數(shù)識別中．由于HHT存在分解能力不足以及各本征函數(shù)(intrinsic mode function,IMF)分量非正交等問題,文獻[6]提出正交化經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?empirtia mode deconpostion，EMD)方法,并成功地將其應(yīng)用于密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別．文獻[7]通過離散小波變換將結(jié)構(gòu)的時變參數(shù)在多尺度上展開,并利用最小二乘法來識別低頻尺度的展開系數(shù),從而得到了原始的時變參數(shù)．文獻[8]采用罰函數(shù)來降低噪聲影響,并引入動態(tài)規(guī)劃來提高小波脊線的精度．基于小波變換,文獻[9]對電力系統(tǒng)諧波監(jiān)測進行研究．文獻[10]聯(lián)合小波變換和重組法提出同步擠壓小波變換時頻分析方法,通過重組小波變換的時頻圖來獲得較高精度的時頻曲線．為了解決同步擠壓算法中小波系數(shù)的發(fā)散問題,文獻[11-12]提出廣義的同步擠壓小波變換算法,并利用齒輪箱算例驗證其可行性．文獻[13]利用同步擠壓小波變換成功地識別了時變結(jié)構(gòu)和非線性結(jié)構(gòu)的瞬時頻率．

文中基于HHT、小波變換和同步擠壓小波變換等時頻分析方法，通過一個具有非線性剛度的框架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例對各方法的特點、適用范圍、識別精度進行了對比分析,進一步為非線性結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別提供了參考依據(jù)．

1 基于時頻分析的非線性結(jié)構(gòu)參數(shù)識別

1.1 基于HHT的瞬時參數(shù)識別

對于任意一個單分量信號x(t),可以根據(jù)HHT得到其解析形式為:

z(t)=x(t)+jH[x(t)]=a(t)ejθ(t)

(1)

對公式(1)進行微分,得到x(t)的瞬時頻率:

(2)

對于多分量信號,為了使通過HHT獲得的瞬時頻率能夠真實地反映結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的物理機制,文獻[14]提出IMF的概念和EMD方法．

假設(shè)X(t)為原始信號,則對其進行EMD的具體步驟如下:首先,獲取X(t)中的局部極大值序列和局部極小值序列,然后采用三次樣條插值曲線分別擬合局部極大值序列和局部極小值序列,得到原始信號的上下包絡(luò)線,并計算其平均值m1(t)，將X(t)減去m1(t)得到分量h1(t)，即:

h1(t)=X(t)-m1(t)

(3)

此過程稱為一次“篩選”．重復(fù)上述篩選過程,以獲得最終的IMF分量．在第二次的篩選過程中,可以將h1(t)作為原始信號,同樣地計算其三次樣條上下包絡(luò)線的平均值m2(t)，然后得到:

h2(t)=h1(t)-m2(t)

(4)

c1(t)=hk(t)

(5)

文獻[14]給出了一種類似柯西收斂準(zhǔn)則的“篩選停止準(zhǔn)則”,即:

(6)

一般情況下,當(dāng)SDk的取值在0.2～0.3,可結(jié)束篩選過程．

通過式(5)得到的第一階IMF分量c1(t)是原始信號X(t)中的最高頻的分量．將第一階IMF分量c1(t)從原始信號X(t)中分離出來,即可得到相應(yīng)的殘余信號r1(t),即:

r1(t)=X(t)-c1(t)

(7)

將殘余信號r1(t)作為新的信號,對r1(t)重復(fù)上述的“篩選”處理便可得到第二階IMF分量c2(t),將r1(t)減去c2(t)后可以得到r2(t),如此重復(fù)循環(huán)下去,得到一系列的IMF分量cj(t)和殘余信號rj(t):

rj(t)=r(j-1)(t)-cj(t)

(8)

當(dāng)滿足以下兩個條件中的一個時,整個篩選過程結(jié)束,EMD過程完成:(1) 得到的IMF分量cn(t)或者殘余信號rn(t)小于預(yù)先假定值;(2) 殘余信號rn(t)變成時間的單調(diào)函數(shù)．經(jīng)過EMD,原始信號X(t)可以表示為n階IMF分量和余量rn(t)的和,即:

基體鋼片：直徑25 mm、厚度3 mm的普碳鋼Q235圓形鋼片.先用粒徑為10μm，88μm，65μm碳化硅砂紙打磨Q235普碳鋼圓片至其表面無明顯劃痕，然后用乙醇溶液清洗掉試樣表面的鐵屑及灰塵，干燥后將其置于密封袋內(nèi)封存?zhèn)溆?Q235鋼片主要化學(xué)元素C，Si，Mn，S和P的質(zhì)量分數(shù)分別為0.135%，0.178%，0.409%，0.037%，0.017%.

(9)

結(jié)合上述EMD方法將非線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號分解成一系列IMF分量,然后利用分量信號的HHT便可得到其相應(yīng)的瞬時幅值和瞬時頻率變化曲線,從而識別出非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瞬時參數(shù)．

1.2 基于連續(xù)小波變換的瞬時參數(shù)識別

漸進單分量實信號x(t)，其解析信號表示為Zx(t)=Ax(t)exp[jφx(t)]．采用連續(xù)小波函數(shù)ψ(t)=Aψ(t)exp[jφψ(t)]對其進行小波變換,得到:

(10)

相應(yīng)的小波系數(shù)的相位為:

(11)

由式(11)可知,其時間-尺度平面上小波脊點上的小波尺度為:

(12)

將平穩(wěn)相位點ts(a,b)=b帶入式(12),可得:

(13)

由式(13),其分母為漸進單分量信號x(t)的瞬時角頻率ω(b)．將整個時間-尺度平面上的小波脊點(r(b),b)連成曲線,可得到小波脊線．由于小波函數(shù)的尺度與頻率一一對應(yīng)且成反比關(guān)系,因此小波脊線可以表征信號的瞬時頻率,即:

(14)

提前給定小波函數(shù),便可得到小波中心頻率φψ′(0)．因此,根據(jù)公式(14)可知,只需求得小波脊線上的小波尺度r(b),便可以求得相應(yīng)的瞬時頻率．非線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號可以分解成一系列IMF．根據(jù)連續(xù)小波變換的線性疊加性質(zhì),多分量信號的小波變換系數(shù)可以表示為各分量的小波系數(shù)的疊加,即:

(15)

選擇合理的小波母函數(shù)和小波參數(shù)對響應(yīng)信號進行連續(xù)小波變換,可以得到多條互不干擾的小波脊線,從而將響應(yīng)信號的各分量有效地分離出來,并提取出各分量信號的瞬時頻率．

1.3 基于同步擠壓小波變換的瞬時參數(shù)識別

根據(jù)Plancherel定理,連續(xù)小波變換的頻域表達式為:

(16)

對于單一簡諧波X(t)=Acos(ωt),其連續(xù)小波變換為:

(17)

(18)

(19)

若a和w為連續(xù)變量,則式(19)轉(zhuǎn)換為:

(20)

(21)

如果Δi=1,則公式(19)中的同步擠壓小波系數(shù)可表示成:

(22)

2 兩層非線性框架模型數(shù)值算例

為了驗證上述3種方法對非線性結(jié)構(gòu)進行參數(shù)識別的可行性和準(zhǔn)確性,采用如圖1的兩層非線性剪切框架結(jié)構(gòu)模型進行數(shù)值模擬計算．框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量、層間線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)以及阻尼系數(shù)如表1．

表1 兩層剪切框架模型結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of the two-layer shear frame model

圖1 非線性框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear frame structure system

其相應(yīng)的運動微分方程為:

(23)

給定結(jié)構(gòu)的初始條件x1=0.1 m，x2=-0.05 m,采用四階Runge-Kutta法求解結(jié)構(gòu)的自由振動響應(yīng)．圖2為非線性框架結(jié)構(gòu)的第一層位移響應(yīng)信號,其采樣頻率為100 Hz,采樣時間為10 s．

對第一層位移響應(yīng)進行EMD分解,得到的前兩階IMF分量如圖3．

同時,分別對前兩階IMF分量進行HHT便可得到相應(yīng)的瞬時頻率．但由于EMD分解能力的不足,殘余信號中仍包含低頻分量,從而導(dǎo)致瞬時頻率的識別精度受到不利影響．

采用復(fù)Morlet小波對位移響應(yīng)進行連續(xù)小波變換,小波中心頻率fc取1Hz,帶寬fb為2,得到小波量如圖4，圖可以看出，存在兩條小波脊線,其分別對應(yīng)位移響應(yīng)的兩個振動成分．通過小波系數(shù)模的極大值提取小波脊線，可以識別出結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時頻率．同時,在小波量圖的基礎(chǔ)上進行同步擠壓，得到瞬時頻率的變化曲線如圖5．

圖5 非線性框架結(jié)構(gòu)的瞬時頻率Fig.5 Instantaneous frequency of thenonlinear frame structure

3 結(jié)論

3種時頻分析方法都能識別出非線性框架結(jié)構(gòu)的瞬時頻率,且計算復(fù)雜難易程度、計算效率相當(dāng)．對于HHT方法,由于EMD分解的不足和HHT的端點效應(yīng),其識別的瞬時頻率在兩端偏差較大,且不適用于密集模態(tài)的識別;對于小波變換方法,提取的小波脊線存在許多毛刺,從而影響了瞬時頻率的識別精度;而同步擠壓小波變換對小波系數(shù)進行擠壓重組,其計算較小波變換方法耗時略長,但識別的瞬時頻率則大體上消除了毛刺的影響,能夠較為準(zhǔn)確地反映頻率的瞬時變化情況．?dāng)?shù)值結(jié)果表明:同步擠壓小波變換識別效果好于HHT和小波變換的識別結(jié)果．