馮錫堯， 羅永坤， 李天成

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

我國是一個(gè)地震多發(fā)的國家，也是世界上地震災(zāi)害嚴(yán)重的國家之一，統(tǒng)計(jì)表明世界上發(fā)生的7級以上地震中，約35 %就發(fā)生在中國[1]。渡槽作為一種跨越河流、道路、山谷等障礙的架空過水建筑物，是南水北調(diào)工程中重要的交叉建筑物之一。實(shí)際工程中，渡槽結(jié)構(gòu)跨度大，抗側(cè)剛度低，加之上部槽體內(nèi)承載著大質(zhì)量的水體，使整個(gè)結(jié)構(gòu)形成“頭重腳輕”的形式，在地震中易遭受破壞，甚至損毀[2]。在長距離的輸水工程中，若有一處遭到破壞，對整條沿線的輸水系統(tǒng)都將造成影響，嚴(yán)重中斷供水。因此，研究大型渡槽結(jié)構(gòu)的抗震安全問題，具有重大的實(shí)際意義與實(shí)用價(jià)值。

渡槽槽體內(nèi)的水荷載，既是渡槽結(jié)構(gòu)區(qū)別于橋梁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，也是抗震研究的難點(diǎn)。大型渡槽內(nèi)的水體質(zhì)量在運(yùn)營時(shí)很大甚至?xí)^渡槽結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量，在地震作用的激勵(lì)下將明顯改變結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性，如何準(zhǔn)確獲取大質(zhì)量水體的響應(yīng)正是實(shí)現(xiàn)渡槽結(jié)構(gòu)抗震的關(guān)鍵?？紤]水體作用的渡槽結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題實(shí)是研究渡槽結(jié)構(gòu)與槽內(nèi)水體的耦合問題，即FSI(fluid-solidinteraction)系統(tǒng)，這類問題可以理解為即涉及固體求解又涉及流體求解，而兩者又都不能被忽略的問題。本文結(jié)合現(xiàn)有的研究成果，總結(jié)渡槽結(jié)構(gòu)動(dòng)力研究方法中考慮水體作用的計(jì)算模型和方法。

1 附加質(zhì)量法

表1 有限寬度水域時(shí)附加質(zhì)量的折減系數(shù)η

近期應(yīng)用較多的是由動(dòng)水壓力滿足的Laplace方程建立的附加質(zhì)量法，由這種方法推導(dǎo)的附加質(zhì)量矩陣可用于有限元?jiǎng)恿Ψ匠?，即不需要改變結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的形式，只在質(zhì)量矩陣的基礎(chǔ)上添加附加質(zhì)量矩陣[5]。

附加質(zhì)量模型雖有各種不同的形式，但均忽略了水體的壓縮性和晃動(dòng)作用，僅反映了動(dòng)水壓力對結(jié)構(gòu)的影響，沒有做到真正意義上的耦合，但是由于附加質(zhì)量法的計(jì)算簡便，且采用附加質(zhì)量法得到的渡槽動(dòng)力響應(yīng)是偏安全的[6]，所以在工程中的應(yīng)用依然很廣泛。

2 彈簧質(zhì)量模型

面對工程問題時(shí)，最理想的公式是既不需要做太復(fù)雜的計(jì)算，又能得到足夠的精度。從這個(gè)角度出發(fā)，李遇春等[11]在已有的經(jīng)典理論上，采用線性勢流理論和比擬方法，并對得到的精確解公式進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合簡化，提出了表達(dá)簡單且具有高精度的建議公式。在對其他形狀截面渡槽(如半圓形、U形、梯形等)[12]的處理上，提出了一種半解析半數(shù)值的方法，得到了流體等效模型的近似解，該方法同樣適用于在未來的調(diào)水工程中具有廣泛應(yīng)用前景的圓形渡槽[13]。

3 邊界元法

邊界元法(boundaryelementmethod，BEM)[14]是以Green公式和問題的基本解為基礎(chǔ)，將控制微分方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程的一種數(shù)值方法。在渡槽結(jié)構(gòu)的抗震分析中，將水體的自由邊界面和與槽體的耦合面作為處理對象，假定渡槽槽身是剛體容器，槽內(nèi)水體是不可壓縮的無旋流體，滿足二維Laplace方程。對水體進(jìn)行離散，代入不同的邊界條件，轉(zhuǎn)化為邊界積分方程，采用時(shí)間增量法求解，即可求得邊界上的速度勢及自由面的波高隨時(shí)間的變化歷程，最后將壓力方程代入槽身控制方程，即可求得液體對渡槽結(jié)構(gòu)的時(shí)間歷程[15]。

邊界元法可用來描述在強(qiáng)震下流體的大幅度晃動(dòng)過程，同時(shí)能計(jì)算流體對固體的作用，并且得到液體晃動(dòng)的波高和速度勢的分布[16]。由于只需要將邊界離散成單元，因而需要準(zhǔn)備的數(shù)據(jù)簡單，便于復(fù)雜幾何問題的建模。但是目前將邊界元法應(yīng)用于渡槽結(jié)構(gòu)的分析中，將結(jié)構(gòu)視為剛性體，僅反映了流體晃動(dòng)對結(jié)構(gòu)的影響，并未反映結(jié)構(gòu)變形對流體的影響，沒有實(shí)現(xiàn)真實(shí)的流固耦合，不適用于薄壁柔性渡槽的解答。

4 有限元法

4.1 位移型有限元法

位移型有限元模型，是將流體位移作為待求未知量，流體和彈性體都使用位移計(jì)算格式建立的渡槽流固耦合系統(tǒng)，并將求解域離散的計(jì)算模型[17]。由于流體和彈性體都采用位置格式，在方程形式上具有相似性，因此可將流體的位移運(yùn)動(dòng)方程直接通過彈性體的運(yùn)動(dòng)方程加以描述，這種方式使得流固耦合邊界易于處理，適合求解較為復(fù)雜的渡槽流固耦合問題。值得注意的是將彈性體的動(dòng)力學(xué)方程用于流體時(shí)，用到了條件G=0，即流體的剪切模量為零，表明流體單元與流體單元、與彈性體單元之間不傳遞剪力，只傳遞法向壓力，這一條件符合理想流體的力學(xué)特征(無粘性)，同時(shí)讓流固耦合面上的法向壓力協(xié)調(diào)條件得到自動(dòng)滿足，但在實(shí)際計(jì)算中，為了保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，不能將G為零，而是取一個(gè)非常小的正數(shù)，以確保計(jì)算過程不溢出。位移有限元模式的缺點(diǎn)是位移模式的待求未知量個(gè)數(shù)較多，會(huì)占用較大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，當(dāng)剪切剛度為零時(shí)，易產(chǎn)生很多需要耗費(fèi)時(shí)間消除的偽模態(tài)。

4.2 壓力型有限元法

劉云賀[18]在研究液體與彈性體的二維動(dòng)力耦合問題中，著重分析流體與彈性體在接觸界面上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，假定接觸面由無限接觸點(diǎn)對構(gòu)成，建立了運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力邊界條件，提出將能夠反映其動(dòng)力相互作用機(jī)理的流、固域無限接觸點(diǎn)對的瞬態(tài)接觸內(nèi)力作為待定變量，應(yīng)用Lagrange乘子法構(gòu)造了流體域、固體域包括滿足上述接觸界面運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力邊界條件的統(tǒng)一系統(tǒng)的功率泛函，在理論上證明了以接觸點(diǎn)對作為邊界條件的正確性。

對于具有復(fù)雜邊界條件的實(shí)際工程問題，要給出解析解答比較困難，因此借助有限元法，對流體固體動(dòng)力耦合控制方程進(jìn)行離散[19]。需要指出，由于流體域內(nèi)壓力作用下產(chǎn)生的理想流體動(dòng)量傳遞是一階的，而由應(yīng)變率引起的粘性動(dòng)量傳遞是二階的，因此壓力和速度需采用不同的插值函數(shù)[20]；在流體域和固體域的接觸邊界上，為了保證變形協(xié)調(diào)，固體域內(nèi)速度和位移均采用與流體速度相同的二階插值函數(shù)。文獻(xiàn)[19]在流固接觸面上，假定流體與固體不直接發(fā)生法向分離，將討論分為接觸無滑移狀態(tài)和接觸滑移狀態(tài)兩種情況，分別建立了對應(yīng)的接觸約束矩陣，得到了可用于有限元的流體、固體動(dòng)力耦合方程。

4.3 位移-壓力有限元法

在流固耦合系統(tǒng)中，固體域的方程通常以位移作為基本未知量，流體域通常以流場壓力作為基本未知量，相應(yīng)的有限元表達(dá)格式則為流固耦合的位移-壓力格式[21]。假定流體是無粘、可壓縮和小擾動(dòng)的，流體自由液面為小波動(dòng)，固體為線彈性，則可用伽遼金法建立流固耦合的有限元方程：

式中:p為流體結(jié)點(diǎn)壓力向量；a為固體結(jié)點(diǎn)位移向量；Q為流固耦合矩陣；Ms、Mf分別為固體和流體的質(zhì)量矩陣；Ks、Kf分別為固體和流體的剛度矩陣；Fs為固體外荷載向量。由于位移-壓力有限元格式假設(shè)水體為小波動(dòng)，因此不能考慮強(qiáng)震作用下產(chǎn)生的水體大晃動(dòng)對結(jié)構(gòu)的影響。

4.4 ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)有限元法

研究液體在渡槽結(jié)構(gòu)的晃動(dòng)分析中，需要涉及到求解Navier-Stokes方程，由于邊界條件比較復(fù)雜，單純使用Lagrange方程或Euler方程來描述是很困難的。Hirt和Noh[22]在研究有限差分法時(shí)，提出了ArbitraryLagrangian-Eulerian描述方法，同時(shí)利用Lagrange描述和Euler描述各自的優(yōu)點(diǎn)解決了這一問題。研究表明，ALE描述法非常適用于求解考慮液體大晃動(dòng)的問題[23]，可用迭代的數(shù)值方法，求解流固耦合系統(tǒng)非線性方程組，獲得較精確的渡槽結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。但是ALE有限元模型對網(wǎng)格的運(yùn)動(dòng)算法要求較高[24]，分析和計(jì)算都比較復(fù)雜。

5 其他計(jì)算方法

5.1 考慮水體TLD效應(yīng)的集中質(zhì)量模型

近年來，隨著調(diào)諧液體阻尼器(TLD)理論的研究發(fā)展，TLD概念被引入到渡槽結(jié)構(gòu)體系中，認(rèn)為渡槽中水體的晃動(dòng)會(huì)對排架支撐的渡槽結(jié)構(gòu)起到TLD減震效應(yīng)。徐家云等[25]從水體的TLD效應(yīng)出發(fā)，假定TLD為方形，槽體為剛性，槽體小振幅運(yùn)動(dòng)，液體無粘滯、不可壓縮、無旋，則取第1階對流諧振力即可得到較為精確的槽體TLD控制力。文獻(xiàn)[25]對比分析了有無隔板的矩形TLD減震效果，計(jì)算結(jié)果表明，在地震作用下槽內(nèi)水體有比較顯著的TLD減震效應(yīng)，且增加縱向隔板后減震效果更加明顯。

但是，TLD的設(shè)計(jì)是否能夠達(dá)到預(yù)期的減震效應(yīng)，李遇春等[26]認(rèn)為必須滿足兩個(gè)前提：(1)TLD中的液體晃動(dòng)頻率應(yīng)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)主頻率一致；(2)TLD的設(shè)計(jì)質(zhì)量應(yīng)足夠小。而在一般地震作用下渡槽內(nèi)液體并不具備這樣的條件，且流體的存在對結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)通常是不利的。

5.2 橫向地震響應(yīng)的簡化計(jì)算公式

借鑒已有的抗震規(guī)范，張文學(xué)等[27]基于流固耦合振動(dòng)理論，假定槽殼為剛體，槽墩等高，渡槽無限長，將這種規(guī)則的渡槽簡化為二維平面模型，并設(shè)槽內(nèi)水體為理想液體，小幅晃動(dòng)，推導(dǎo)了渡槽結(jié)構(gòu)橫向地震響應(yīng)的計(jì)算公式，并以非線性時(shí)程分析驗(yàn)證了其可靠性。該公式可通過計(jì)算空槽的自振周期Tcs、考慮槽內(nèi)水體質(zhì)量時(shí)的自振周期Tcw和矩形槽殼中水體的基本自振周期Tw，通過反應(yīng)譜法得到墩底剪力，進(jìn)而換算得出墩底彎矩和槽頂位移，可有效反映槽內(nèi)水體晃動(dòng)對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)峰值的影響，但對于非規(guī)則渡槽及高墩渡槽等條件下的適用性有待進(jìn)一步研究。

6 結(jié)論

(1)上述求解渡槽結(jié)構(gòu)流固耦合問題的計(jì)算方法，都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)綜合考慮分析目的、使用需求、現(xiàn)實(shí)條件，選擇最適合的方案。

(2)渡槽結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算大多使用二維模型，對考慮多維地震的效應(yīng)尚缺乏理論指導(dǎo)。

(3)渡槽槽內(nèi)水體在地震作用下的TLD效應(yīng)，目前仍存在爭議，有待進(jìn)一步研究TLD效應(yīng)與渡槽結(jié)構(gòu)的何種因數(shù)相關(guān)。

(4)現(xiàn)有的理論研究大都集中在對規(guī)則渡槽進(jìn)行新方法的探索上，將已有成果的適用性推廣到各種形式的渡槽結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題求解上是一個(gè)值得研究的思路。