易強

【摘要】貝葉斯公式被用于已知信息對原有判斷進行修正提供完美的方法。憑借以往的經(jīng)驗，經(jīng)濟主體對先前的假設(shè)有預(yù)先的估計，對于先驗概率的評估，一般可根據(jù)事物本身的經(jīng)驗加以判斷;貝葉斯公式的應(yīng)用十分廣泛。

【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式全概率公式條件概率

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）25-0094-02

1.定理

已知試驗E的樣本空間記為S，A是E的事件，B1，B2，…，Bn是S的一個劃分，且滿足P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則：

稱其為貝葉斯公式。

證明：根據(jù)條件概率的定義，以及全概率公式可得：

注：若n=2時，將B1改成B，并將B2改成B，則有如下兩個式子成立：

2.貝葉斯公式的實際應(yīng)用

（1）根據(jù)以前的臨床記載，某種檢驗癌癥的試驗存在以下的效果，現(xiàn)記A代表事件“試驗反應(yīng)呈陽性”，記C代表事件“被診斷成癌癥”，并有P（A|C）=0.95，P（A|C）=0.95。經(jīng)過對自然人群進行普查，假設(shè)被檢測的人存在癌癥的概率是0.005，故P（C）=0.005，則P（C|A）等于多少？

由此結(jié)果可得，雖然有P（A|C）=0.95，P（A|C）=0.95，此兩概率均比較大。但是將此試驗?zāi)脕砥詹椋瑓s得P（C|A）=0.087，它的正確率只有8.7%（即每1000個存在陽性反應(yīng)的人中，大概具有87人具有癌癥）。如果沒有注意到此點，則會得出錯誤的結(jié)論;當(dāng)將P（A|C）與P（C|A）混淆后必定造成可怕的結(jié)果。

（2）某個工廠存在四個車間生產(chǎn)相同的一種零件，已知四個車間的產(chǎn)量依次占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%，這四個車間生產(chǎn)的次品率，分別為0.04、0.03、0.02和0.01。工廠規(guī)定，如果發(fā)現(xiàn)了次品就會追究相關(guān)車間的經(jīng)濟責(zé)任?，F(xiàn)在從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果是次品，但該件次品是哪個車間生產(chǎn)的代碼已經(jīng)脫落，則廠方該怎樣處理這件次品比較合理？

再通過貝葉斯公式計算得：

根據(jù)上面的規(guī)定，4個車間依次應(yīng)該承擔(dān)27.91%，27.91%，27.91%和16.28%的經(jīng)濟賠償，這樣處理結(jié)果是比較合理的，由此還可以發(fā)現(xiàn)，盡管第四個車間的產(chǎn)量占到總產(chǎn)量的35%，但是它的次品率卻是最低的，如果單憑經(jīng)驗按照生產(chǎn)的產(chǎn)量多少來處罰，就不好。

（3）通過資料介紹，存在某一項艾滋病的血液測試的敏感度（也就是確實有艾滋病的患者的檢測結(jié)果會呈陽性）是95%，但是如果沒有得艾滋病的檢測者測得的精確度（即健康的人檢測為陰性）是99%。眾所周知，美國是一個艾滋病發(fā)病較為平凡的國家，約有1/1000的人員患有艾滋病。如果希望能有效的控制這種疾病，并且希望有效的控制艾滋病的快速傳播，最近幾年，有醫(yī)藥專家提議對新結(jié)婚的年輕夫婦要用這種方法進行檢測，但是該方案提出后，卻遭到了另外一些醫(yī)藥專家的反對，使得此項計劃未能通過。

如何來解釋醫(yī)藥專家沒有通過這項決議，現(xiàn)用貝葉斯公式來對其進行解釋：

記：A={測試的結(jié)果呈現(xiàn)陽性反應(yīng)}，B={某人被確診成了艾滋病患者}，由以上分析可得：

通過以上計算結(jié)果可得，被檢測的患者確確實實是艾滋病患者的概率僅有0.087，這個結(jié)果概率很小，和我們實際的感受很不符合，依據(jù)我們提供的資料表明，這種檢測結(jié)果表面上看來似乎精確度很高，這樣就會使得一般人會這樣認為，假定一個人檢測出陽性，他就可能會認為，他患艾滋病的概率大約是90%，然而計算的結(jié)果實際上卻是很小的，為8.7%，因此，假定要是通過了這項決議，就會導(dǎo)致更多的新婚夫婦產(chǎn)生不必要的恐慌，因為這其中其實大約有接近91.3%的患者并沒有得上艾滋病，產(chǎn)生這個結(jié)果的原因是什么呢？這是由于得上艾滋病的人員的概率其實是相當(dāng)?shù)偷模瑑H有1/1000的小概率事件，從而，在被檢測出為陽性的所有患者里面，有很大一部分人員是沒有得艾滋病的，舉例說明如下：隨機的在當(dāng)?shù)爻槿?000名實驗者，則存在1名得了艾滋病的人員，而另外的999名人員未患艾滋病，由全概率公式：1×0.95+999×0.01=10.94，即呈陽性的人約11人，但只有1人真正的患了艾滋病，這需要重新進行檢測。

（4）一般進行普通檢測的40歲左右的婦女患乳腺癌的幾率大概為1%，假定某位婦女患有乳腺癌，那么她將有80%的概率進行早期的胸部腫瘤的X射線的檢測。即使某位婦女沒有患乳腺癌，她也有大約9.6%的幾率進行早期的胸部腫瘤的X射線的檢測，如果在這個群體中做常規(guī)檢測的婦女，又做了早期的胸部腫瘤的X射線檢測，試問該名婦女患乳腺癌的可能性是多少？

此問題中，對于心理專家來說，他們最關(guān)心的問題是，那

些不懂貝葉斯原理的人是如何分析概率的，現(xiàn)將他們的主觀判定結(jié)果和利用貝葉斯公式算出來的答案作對比，進行推理其規(guī)律，結(jié)果是什么呢？有95%的內(nèi)科醫(yī)生的判斷處于70%～80%這個范圍，和正確答案相差較大。

記：B={患上乳腺癌的人}，A={進行早期的胸部腫瘤的X射線的檢查}，則有：

P（B）=0.01，P（B）=0.99，P（A|B）=0.8，P（A|B）=0.096;由全概率公式可得：

再利用貝葉斯公式可得：

從而可得，從這個年齡段的婦女在做常規(guī)檢測的同時做了早期的胸部腫瘤的X射線的檢測，但其實她患得乳腺癌的可能性是0.0776。

（5）測謊儀是一種測試是否說謊的儀器，常常用于刑事案件的偵破，或?qū)弳柗溉藭r使用。

記：T={測試出某人在說謊話}，L={某人真正在說謊話}，參考以往的經(jīng)驗：

P（T|L）=0.88，P（T|L）=0.86，據(jù)此表面上看，測謊儀有一定效果，現(xiàn)假定在一次實驗中，被檢測者在說謊話，依據(jù)前面提到的數(shù)據(jù)，可能很多人都或多或少的認為，此人說謊的概率是很高的，不妨就設(shè)為0.87，實際上，在公安部門審問過程中，大部分人員說話還比較誠實，不妨記：P（L）=0.01，從而由全概率公式可得：

再利用貝葉斯公式可得：

依據(jù)所檢測的結(jié)果來看，大約有94%的檢測均是錯誤的。要是測謊儀導(dǎo)致了被測者被逮捕，那后果比較嚴重。

（6）如果某人患有精神分裂癥，則當(dāng)進行CAT掃描時，存在30%的案例是腦萎縮，如果對正常人進行CAT掃描，只有2%的腦萎縮，在美國大約有2%的人患有精神分裂癥，試分析CAT掃描成腦萎縮的人，患精神分裂癥的概率是多少？

記：A={某人CAT掃描腦萎縮}，B={某人做掃描就患有精神疾病}，P（B）=0.015，

由全概率公式得：

3.小結(jié)

小結(jié).貝葉斯率最先提出了基于先驗概率的條件概率的計算方法。自從提出后一直有廣泛的應(yīng)用，例如在統(tǒng)計學(xué)、概率論、風(fēng)險管理、人工智能領(lǐng)域等方面均有廣泛的運用。本文主要借助貝葉斯公式在修正先驗概率中的應(yīng)用。對于貝葉斯公式的介紹，很多書都講得比較少，而所舉的例子也是簡單的，本文主要是對教材的講解加以擴充和加深，貝葉斯公式還有一個很好的用處就是對那些看似正確的結(jié)論可以加以檢驗。

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