陳曉

在許多初中學(xué)生的心中，數(shù)學(xué)除了計(jì)算就是證明，既枯燥又難學(xué)，比不上語(yǔ)文有抑揚(yáng)頓挫的朗讀、歷史有改朝換代的轟烈、政治有發(fā)人深省的教誨。其實(shí)，數(shù)學(xué)也是一門非常吸引人的學(xué)科。該學(xué)科所包含的美麗和奇趣無(wú)法與其它學(xué)科相提并論。羅素是英國(guó)一位著名的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)邏輯學(xué)家，可以用他的數(shù)學(xué)邏輯說(shuō)服所有“金剛大漢”。他將數(shù)學(xué)之美形容為“冷酷而嚴(yán)肅的美”。因此，在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意教授數(shù)學(xué)美的元素，以發(fā)展學(xué)生的審美心理和數(shù)學(xué)美感。久而久之，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)之美感到簡(jiǎn)潔，深刻和令人賞心悅目。數(shù)學(xué)以它美的形象，吸引著學(xué)生去熱愛(ài)數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)。筆者認(rèn)為，在培養(yǎng)解題能力的過(guò)程中，可以從以下五個(gè)方面利用數(shù)學(xué)美學(xué)的因素，以充分說(shuō)明數(shù)學(xué)美的吸引力。

一、數(shù)學(xué)在傳達(dá)信息、揭示含義中展示對(duì)稱美

對(duì)稱性是美學(xué)的基本定律之一。在初中數(shù)學(xué)中，許多軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形和等量關(guān)系使它們具有平行和協(xié)調(diào)對(duì)稱的美。因此，當(dāng)我們看數(shù)學(xué)時(shí)，可以從對(duì)稱的角度看數(shù)學(xué)，并利用數(shù)學(xué)的對(duì)稱性來(lái)解決問(wèn)題，以優(yōu)化問(wèn)題解決思路，簡(jiǎn)化問(wèn)題解決過(guò)程。

例1：若a、b為互不相等的實(shí)數(shù)，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0。

試求的值。

分析：由已知可知a、b在本題所處的地位相同，即a、b具有“對(duì)稱性”。根據(jù)問(wèn)題的含義，a和b是兩個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，因此可以將a和b設(shè)置為x方程x2-3x+1=0的兩根，由韋達(dá)定理得a+b=3，ab=1又由已知得1+a2=3a，1+b2+3b。從而有。對(duì)這一類較為復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易。所以我們平時(shí)在解某些數(shù)學(xué)題時(shí)，應(yīng)多觀察、多挖掘相關(guān)聯(lián)的信息，從中展示數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。

二、數(shù)學(xué)在合理推測(cè)、“化異為同”中揭示和諧美

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)字、形式、公式。數(shù)學(xué)中包含的美的元素是深刻的，數(shù)字的美、形式的美和公式的美隨處可見(jiàn)。因此，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，您可以在數(shù)字、形狀和公式之間找到內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部形式的和諧之美。和諧的美學(xué)可以幫助您制定解決問(wèn)題的策略，并指出解決問(wèn)題的方向。從多個(gè)角度看，使用多種方法用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種“殊途同歸"現(xiàn)象會(huì)使我們?yōu)閿?shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)結(jié)構(gòu)的和諧美深感贊嘆。

例2：解方程式組

分析：此道題的解法有兩種：

方法一：由①得，y=7-x③，把③代入②并整理，得x2-7x+12=0解得x1=3，x2=4，分別把x1=3，x2=4代入③，得y1=4，y2=3，故原方程組的解為，

方法二：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)x、y是一元二次方程名z2-7z+12=0的兩根，解得，從而亦可求得以上方程組的解。

方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，方法一是利用代入法求解，方法二是根據(jù)此方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解。這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)方程組和二次方程對(duì)一個(gè)變量的連接和變換以及方程內(nèi)部結(jié)構(gòu)的和諧之美的典型示例。

例3：如圖1，G為正方形A BCD對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，且GEBC于點(diǎn)E，GFCD于點(diǎn)F，連接AG，EF。求證：AG=EF。

要證明AG=EF，我們可以以下三種方法進(jìn)行分析。

方法一：證兩線段相等，比較常用的方法是通過(guò)證兩個(gè)三角形全等而獲得，因此連接CG，如圖1，結(jié)合已知條件可由SAS推出△ADG△CDG，從而得到結(jié)論AG=CG。又由條件可知四邊形ECFG為矩形，故EF=CG，所以可得AG=EF。

此方法非常簡(jiǎn)單、直接，只要我們仔細(xì)觀察、分析圖形，很容易就可以找到以上這些結(jié)論。只需要使用正方形四邊都相等及對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)即可，同理亦可證明△ABG△CBG。

方法二：回顧方法一，細(xì)讀題目，延長(zhǎng)EG交A D于點(diǎn)N，如圖2，結(jié)合已知亦可推出Rt△ANGRt△EGF，從而得AG=EF.同理延FG交AB上一點(diǎn)M亦可。此方法充分體現(xiàn)了對(duì)矩形、正方形的有關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用，將線段的相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形全等進(jìn)行解決，較第一種方法有異曲同工之妙。

方法三：正方形和矩形的對(duì)角線的性質(zhì)互，所以連接AC、CG，如圖3，因?yàn)锳C垂直且平分BD，所以AG=CG，又因?yàn)榫匦蜤CFG中，CG=EF，所以AG=EF.此種方法巧妙地利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，推理過(guò)程簡(jiǎn)潔、清晰。

以上三種方法都是以正方形作為整體，在“和諧美”的指引下，不斷把問(wèn)題向“同類”轉(zhuǎn)化而獲得解決。數(shù)學(xué)的和諧美，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各知識(shí)點(diǎn)之間存在著緊密地聯(lián)系，這種聯(lián)系使相同的數(shù)學(xué)問(wèn)題可從不同的角度思考。作為教師，若能引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，找到解決問(wèn)題的突破口，體驗(yàn)各種解決問(wèn)題的策略，這些策略將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并發(fā)展學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神。

三、數(shù)學(xué)在整體代換、“化繁為簡(jiǎn)”中體現(xiàn)簡(jiǎn)單美

數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性就是所謂的“一個(gè)金字”，它決定了它應(yīng)該簡(jiǎn)潔，準(zhǔn)確。 因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常指以最佳方式，最簡(jiǎn)潔和正確的語(yǔ)言來(lái)解決問(wèn)題。 例如，當(dāng)單獨(dú)觀察時(shí)，某些問(wèn)題可能更復(fù)雜或更麻煩，但是將它們作為一個(gè)整體來(lái)處理時(shí)，就能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題得以順利解決，從中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美。

例4：若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，試求x+y+z的值。

分析：由題目已知條件求出x、y、z的值，再求出x+y+z的值是十分困難的，因?yàn)閮蓚€(gè)方程很難求出三個(gè)未知數(shù)的值。通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程相加后，這三個(gè)未知數(shù)的系數(shù)均相等，即（x+2y+3z）+（4x+3y+2）=10+15，即5x+5y+5=25，從而求出x+y+z=5。另外，復(fù)雜的問(wèn)題往往是簡(jiǎn)單問(wèn)題的復(fù)合，不掌握解簡(jiǎn)單問(wèn)題的技巧，直接解較復(fù)雜的問(wèn)題常常是有困難的。因此，我們平時(shí)應(yīng)留心記住課本上一些有價(jià)值的題目，并注意題與題之間的關(guān)系，通過(guò)這種方式，可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用，拓寬問(wèn)題分析的視角和思路，并實(shí)現(xiàn)觸類旁通。

例5：已知：如圖4，△ABD、△AEC都是等邊三角形。

求證：BE=DC。

分析提示：為證明BE=DC，應(yīng)證明△BAE△DAC，

注意：∠DAB=∠EAC=600， ∠BAE=

∠EAC+∠BAC，∠DAC=∠DAB+

∠BAC

變式一：已知：如圖5，△ACE和△ABD是以△ABC的邊AC和A B為邊的等邊三角形，P、Q、R分別是BC、BD、CE的中點(diǎn)。

求證：PQ=PR。

分析：根據(jù)示例5，很容易想到連接CD和BE。首先，您可以證明CD = BE，然后根據(jù)三角形的中心線定理可以得出PQ = PR。

變式二：如圖6，已知△ABD、△ACE、△BCF是分別以△ABC的邊AB、AC、BC為一邊的等邊三角形。

求證：四邊形A DFE是平行四邊形。

分析：證明兩線段相等，可以先來(lái)證明△ABC△EFC，

得到EF=AB=AD，同理FD=A E，再根據(jù)平行四邊形的判定

定理2可得題目要證明結(jié)果，由上述各題我們可以看出三角形與四邊形，一般圖形與特殊圖形均織成了一張密不可分的網(wǎng)，你中有我，我中有你。所以我們可以以課本典型習(xí)題為索引，順藤摸瓜，以題引題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度、靈活性，提高學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，這完全是源于對(duì)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單美的探索與追求。

四、數(shù)學(xué)在歸類、對(duì)比中發(fā)現(xiàn)相似美

在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，我們既要懂得對(duì)比，更要學(xué)會(huì)歸類，即不是為了找出一道題的答案而做一道題，而是要進(jìn)行歸類，學(xué)會(huì)做一類題。同時(shí)要進(jìn)行推廣、類比，做到舉一反三，如當(dāng)我們遇到一個(gè)陌生的問(wèn)題時(shí)不妨觀察外部結(jié)構(gòu)和聯(lián)想內(nèi)在聯(lián)系，將陌生的問(wèn)題與熟知的相似問(wèn)題進(jìn)行類比，采用與相似問(wèn)題大致相同的方法，往往可以達(dá)到水到渠成的效果。

例6：解方程

分析：這是一個(gè)典型的分式方程問(wèn)題。 直接使用分母非常麻煩。細(xì)察方程的左邊，不難發(fā)現(xiàn)各分母的兩因式之差均為1，其結(jié)構(gòu)與我們所熟知的拆項(xiàng)求和公式的左邊相同，因此，我們把原方程變形為，即，再去分母求解著驗(yàn)根即可。在平時(shí)解題中，我們要仔細(xì)分析數(shù)學(xué)的對(duì)象或關(guān)系或結(jié)構(gòu)等問(wèn)題，類比利用相似美解決問(wèn)題，往往可以體驗(yàn)“輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”的輕松。

五、數(shù)學(xué)在大膽創(chuàng)新、峰回路轉(zhuǎn)中欣賞奇異美

我們用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法通常很棒。 這是數(shù)學(xué)的魅力。 如果一個(gè)問(wèn)題若能抓住其“個(gè)性"，那么很有可能會(huì)得到意想不到的結(jié)果。 許多奇異的想法是數(shù)學(xué)美的最亮點(diǎn)。

例7：已知關(guān)于x的方程x2+mx-n沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：m+n

分析：由已知得m+4n<0，與結(jié)論的模式相差甚遠(yuǎn)，似乎無(wú)法利用，若我們用“補(bǔ)美”的方法進(jìn)行“改容”，把不等式變形為<-n，把原不等式變形為<-n-m+1，<1-（m+n），

即：，從而使命題得以論證。

這種別出心裁的奇思妙想簡(jiǎn)直是“美麗不打折”，在驚嘆之余，我們深深體會(huì)到數(shù)學(xué)“形美神更美”。數(shù)學(xué)題解法的探討是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主旋律。因此，在探索數(shù)學(xué)題解法的過(guò)程中，當(dāng)我們從美學(xué)的角度、用美學(xué)的方法（對(duì)稱性方法、簡(jiǎn)單性方法、和諧性方法、相似性方法、奇異性方法等）去解決某道數(shù)學(xué)題時(shí)，我們總會(huì)深感數(shù)學(xué)是如此的五彩繽紛、美妙無(wú)窮，同時(shí)也獲得一份“如釋重負(fù)”的輕松，而后所進(jìn)行的反思與回味，會(huì)使我們有如品味醇香美酒似的陶醉，更為數(shù)學(xué)本身?yè)碛械拿蓝炔省?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].浙江教育出版社.