程然　王春生　徐博文

摘? 要：在我國許多城市，交通擁堵已經(jīng)嚴(yán)重影響了人們的生活和工作，特別是在高峰時(shí)期，匯聚擁堵路段的車輛可以說是寸步難行。針對(duì)車流在高峰時(shí)期擁堵而產(chǎn)生的排隊(duì)現(xiàn)象，利用排隊(duì)論分析在有無ATIS情況下車流的通行效率，以排隊(duì)車輛的平均等待時(shí)間和排隊(duì)長度等作為主要參數(shù)，分析ATIS對(duì)這些參數(shù)的影響。通過研究分析，使ATIS緩解城市交通擁堵的作用更具體化，從而為城市管理者的決策提供數(shù)據(jù)支撐。

關(guān)鍵詞：交通擁堵;排隊(duì)系統(tǒng);平均隊(duì)長;等待時(shí)間

中圖分類號(hào)：U491? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2020）05-0164-04

Analysis of the Role of ATIS in Relieving Urban Traffic Congestion

Based on Queuing Theory

CHENG Ran，WANG Chunsheng，XU Bowen

（School of Traffic and Transportation，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou? 730070，China）

Abstract：In many cities of our country，traffic congestion has seriously affected our life and work，especially in the peak period，it is difficult to move the vehicles in the congested sections. Aiming at the queuing phenomenon caused by the traffic jam in the peak period，this paper analyzes the traffic efficiency of the traffic flow with or without ATIS by using queuing theory，and takes the average waiting time and queuing length of the queuing vehicles as the main parameters to analyze the impact of ATIS on these parameters. Through research and analysis，the role of ATIS to alleviate urban traffic congestion is more specific，so as to provide data support for urban managersdecision-making.

Keywords：traffic congestion;queuing system;average captain;waiting time

0? 引? 言

近年來，我國許多城市出現(xiàn)了嚴(yán)重的交通擁堵問題。高德《2017年度中國主要城市交通分析報(bào)告》顯示，2017年我國高峰時(shí)期有26%的城市處于擁堵狀態(tài)，55%的城市處于緩行狀態(tài)，作為年度“堵城”第一的濟(jì)南，高峰擁堵年度指數(shù)2.067，平均車速21.12公里/小時(shí)，2017年共有2 078.0個(gè)小時(shí)處于擁堵狀態(tài)，平均每天擁堵5.7個(gè)小時(shí)。為了解決城市交通擁堵問題，許多專家學(xué)者先后提出了交通需求管理和交通系統(tǒng)管理以及近些年來熱門的智能交通。

先進(jìn)的出行者信息系統(tǒng)ATIS（Advanced Traveler Informa-tion System）是利用傳感技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、通信技術(shù)和控制技術(shù)等誘導(dǎo)和控制車輛的運(yùn)行，有效地解決交通的諸多問題。該系統(tǒng)被認(rèn)為是智能交通系統(tǒng)的一個(gè)核心部分[1]。

排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列（即排隊(duì)）的現(xiàn)象以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論。排隊(duì)系統(tǒng)主要由3個(gè)部分組成：輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)方式[2]。

（1）輸入過程：服務(wù)對(duì)象按怎樣的規(guī)律到來;

（2）排隊(duì)規(guī)則：到達(dá)的對(duì)象按怎樣的次序接受服務(wù);

（3）服務(wù)方式：指同一時(shí)刻有多少服務(wù)臺(tái)可接納顧客，為每一顧客服務(wù)了多少時(shí)間[3]。

筆者通過在校期間對(duì)《排隊(duì)論》與《交通工程學(xué)》相關(guān)課程知識(shí)的把握，利用排隊(duì)論分析了ATIS對(duì)交通通行效率的提高。

1? 排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)

1.1? 單通道服務(wù)系統(tǒng)

在高峰時(shí)期，車輛不得不排隊(duì)等待，而城市道路中可供出行的道路往往不是唯一的，因此車輛在遇到擁堵時(shí)可以選擇繞道而行。我們首先分析只有一條道路可供選擇的情況，此時(shí)我們做出如下假設(shè)：

（1）在高峰時(shí)期，所有車輛到達(dá)的時(shí)間間隔都服從相同的分布;

（2）在高峰時(shí)期，單位時(shí)間內(nèi)能夠通行的車輛數(shù)服從相同的分布。

這時(shí)我們可以將之看作是一個(gè)單通道服務(wù)系統(tǒng)，單通道服務(wù)系統(tǒng)如圖1所示。

下面我們先分析最簡單的單通道服務(wù)系統(tǒng)：由于我們分析的是擁堵路段的排隊(duì)，一般來說排隊(duì)車輛數(shù)量很大，可以近似地將顧客來源看作是無限的，假定顧客到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布且不同的到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立;服務(wù)臺(tái)服務(wù)一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布且服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立;服務(wù)時(shí)間與顧客到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立。這時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)就是一個(gè)簡單的M/M/1/∞排隊(duì)系統(tǒng)。

設(shè)顧客流是參數(shù)為λ的泊松流，λ是單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)（到達(dá)率），因此顧客的到達(dá)時(shí)間間隔τ服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布，密度函數(shù)為a（t）=λe-λt（t≥0），服務(wù)時(shí)間V服從參數(shù)為?的負(fù)指數(shù)分布，密度函數(shù)b（t）= ?e-?t（t≥0）。?表示在服務(wù)臺(tái)處于持續(xù)繁忙的狀態(tài)下單位時(shí)間內(nèi)平均服務(wù)完的顧客數(shù)（服務(wù)率）[4]。設(shè)ρ=λ/?，ρ稱為服務(wù)強(qiáng)度;設(shè)N（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包含正在接受服務(wù)的顧客）;再設(shè)pk（t）=P（N（t）=k（k≥0）），表示系統(tǒng)在t時(shí)刻的顧客數(shù)為k的概率。由于顧客的到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，而負(fù)指數(shù)分布具有無記憶性，因此過程在進(jìn)行一段時(shí)間后，剩下的到達(dá)時(shí)間間隔和剩下的服務(wù)時(shí)間應(yīng)該與原來的分布相同，此過程是一個(gè)馬爾可夫鏈，通過進(jìn)一步的推導(dǎo)，還可進(jìn)一步得出該過程是一個(gè)生死過程[5]，設(shè)生死率分別為λi、?i，則有：

由生死過程平穩(wěn)求解公式：

得到M/M/1/∞排隊(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布：

只要ρ=，則平穩(wěn)分布存在，其中p0==1-ρ。

于是得出平穩(wěn)分布為幾何分布pk=（1-ρ）ρk（k≥0）。

下面我們用N表示隊(duì)長， 表示平均隊(duì)長，則：

用N′表示等待隊(duì)長， 表示平均等待隊(duì)長，則：

因此可求出N′的平穩(wěn)分布：

平均等待隊(duì)長為：

下面求顧客的等待時(shí)間和逗留時(shí)間。用w表示在任意時(shí)刻到達(dá)的顧客在接受服務(wù)之前在系統(tǒng)中的等待時(shí)間，令W（t）=P（w≤t），則等待時(shí)間為：

W（t）=P（w=0）+P（00）

其中Vi為服務(wù)第i個(gè)顧客的時(shí)間。

其密度函數(shù)為：

w（t）=

平均等待時(shí)間：

逗留時(shí)間是等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的和，即T=w+V。

平均逗留時(shí)間：

1.2? 單路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)

在有多條路徑可供選擇的情況下，車輛出行有ATIS的指引，我們假設(shè)：

（1）車輛的到達(dá)時(shí)間間隔服從相同的分布;

（2）每條可供出行的道路上單位時(shí)間內(nèi)能夠通行的車輛數(shù)服從相同的分布;

（3）所有車輛在選擇了既定的出行道路之后可以根據(jù)實(shí)際道路通行情況自由轉(zhuǎn)換其他的出行路徑排隊(duì)。

這時(shí)我們可以將之看作是一個(gè)單路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)，如圖2所示。

M/M/m/∞排隊(duì)系統(tǒng)：設(shè)有m個(gè)服務(wù)臺(tái)，當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若有空閑服務(wù)臺(tái)便接受服務(wù)，否則排隊(duì)等待。我們假定顧客的到達(dá)服從泊松流，參數(shù)為λ;服務(wù)臺(tái)相互獨(dú)立工作，服務(wù)時(shí)間服從相同的負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)為?。N（t）表示t時(shí)刻排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長，{N（t）}是齊次馬爾可夫鏈，類似于對(duì)M/M/1/∞排隊(duì)系統(tǒng)的推導(dǎo)，{N（t）}也是生死過程[5]，其參數(shù)為：

接下來求出排隊(duì)的平均等待隊(duì)長和平均等待時(shí)間。

只有當(dāng)排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)N≥m時(shí)，顧客才不得不排隊(duì)等待，因此平均等待隊(duì)長為：

平均忙的服務(wù)臺(tái)數(shù)為：

平均隊(duì)長為：

等待時(shí)間的分布為：

W（0）=P（w=0）=P（N

W（t）=P（w≤t）=P（w=0）+P（0

平均等待時(shí)間為：

平均逗留時(shí)間為：

1.3? 多路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)

在有多條路徑可供選擇的情況下，車輛出行沒有ATIS的指引，我們假設(shè)：

（1）每條可供出行的道路上的車輛到達(dá)時(shí)間間隔服從相同的分布;

（2）每條可供出行的道路上單位時(shí)間內(nèi)能夠通行的車輛數(shù)服從相同的分布;

（3）所有車輛在選擇了既定的出行路徑之后只能在原來的道路上排隊(duì)等待，不得再選擇其他道路出行。

這時(shí)我們可以將之看作是一個(gè)多路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)。多路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)如圖3所示。

對(duì)于多路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)，我們可以將之看作是m個(gè)單路排隊(duì)單通道服務(wù)系統(tǒng)。

2? m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)與M/M/m/∞系統(tǒng)的比較

如果將到達(dá)流均勻分配到m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)中去，每個(gè)子流的輸入強(qiáng)度為 ，仍然是泊松流。這時(shí)我們把m個(gè)單服務(wù)臺(tái)的多排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)與具有m個(gè)服務(wù)臺(tái)的單排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)做比較。假定每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)率都為?，且ρ=<1，則有以下方面。

2.1? 服務(wù)強(qiáng)度

M/M/m/∞系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度為ρ=。m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)為ρ==，二者相同。

2.2? 空閑概率

M/M/m/∞系統(tǒng)p0=

因?yàn)椋?/p>

>

從而有p0<1-ρ。

而M/M/1/∞系統(tǒng)p0=1-ρ。即得M/M/m/∞系統(tǒng)空閑的概率小于m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)空閑的概率，系統(tǒng)使用相對(duì)充分。

2.3? 等待概率

M/M/m/∞系統(tǒng)的等待概率為：

因?yàn)椋?/p>

所以：

而M/M/1/∞系統(tǒng)的排隊(duì)等待概率為C（1，）=ρ，由此得出m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)排隊(duì)等待的概率較大。

2.4? 等待隊(duì)長

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長為：

M/M/1/∞系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長為：

由此得出M/M/1/∞系統(tǒng)等待隊(duì)長較長：

2.5? 隊(duì)長

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均隊(duì)長為：

m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)的平均隊(duì)長是M/M/1/∞系統(tǒng)平均隊(duì)長的m倍，即 ，而 。

由此得出m個(gè)M/M/1/∞系統(tǒng)的平均隊(duì)長較長：

2.6? 等待時(shí)間

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均等待時(shí)間為：

M/M/1/∞系統(tǒng)的平均等待時(shí)間為：

由此得出 ，M/M/m/∞系統(tǒng)的平均等待時(shí)間較短：

2.7? 逗留時(shí)間

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間為：

M/M/1/∞系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間為：

由此可得 ，M/M/m/∞系統(tǒng)的平均逗留時(shí)間較短：

綜上所述，我們可以得出兩種系統(tǒng)的相應(yīng)指標(biāo)對(duì)比，如表1所示。

3? 結(jié)? 論

交通堵塞不僅僅只是發(fā)生在空間和時(shí)間上的堵塞，同時(shí)也是由于交通信息不流通而導(dǎo)致的堵塞[6]，未來的社會(huì)將是信息化的社會(huì)，交通也將越來越智能化，先進(jìn)的出行者信息系統(tǒng)ATIS將在交通中發(fā)揮出越來越重要的作用，通過ATIS的引導(dǎo)，可以使車輛在發(fā)生擁堵時(shí)更加全面地了解路段信息，自由地選擇出行路徑，大大地節(jié)約了出行時(shí)間和出行成本，有效地緩解了交通擁堵。文中在建立模型時(shí)，假設(shè)每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)效率是相同的，這與現(xiàn)實(shí)有一定的差距，在未來的研究中，將對(duì)不同服務(wù)效率的排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，以完善模型。

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作者簡介：程然（1993.05-），男，漢族，湖北仙桃人，碩士，研究方向：交通管理與控制。