李 靜，帥 斌，許旻昊，朱偉波，何春燕

(西南交通大學 交通運輸與物流學院， 四川 成都 610031)

編組站是鐵路運輸?shù)墓?jié)點，有調(diào)中轉(zhuǎn)車在編組站的集結(jié)過程是不可避免且耗時較長的技術(shù)作業(yè)環(huán)節(jié)。車輛集結(jié)結(jié)束條件與集結(jié)模式有關(guān)。傳統(tǒng)集結(jié)模式包括定點集結(jié)和定編集結(jié)兩種。對于定點集結(jié)模式，列車完全按圖行車，只要確定發(fā)車時刻，編組結(jié)束時刻即可確定，出發(fā)條件對列車最小編成輛數(shù)沒有限制；對于定編集結(jié)模式，只要編成輛數(shù)達到滿軸編成輛數(shù)，則認為該集結(jié)過程結(jié)束。放寬條件定點集結(jié)模式是定點集結(jié)模式的過渡形式。該模式下，在編發(fā)時刻，如果集結(jié)車輛數(shù)不能滿足滿軸要求，但只要滿足最小編成輛數(shù)約束，列車也可以正點出發(fā)。放寬條件定點集結(jié)模式同時考慮“按圖行車”與列車最小編成輛數(shù)兩個約束，與傳統(tǒng)定點集結(jié)模式相比，增加了編成輛數(shù)約束，減少機車和區(qū)段能力浪費；與傳統(tǒng)定編集結(jié)模式相比，提高了列車正點發(fā)車率，運輸時效性得到改善，減少了車輛積壓。基于以上特點，放寬條件定點集結(jié)模式比傳統(tǒng)定點集結(jié)模式在實際生產(chǎn)中更容易付諸實踐[1]，對提高鐵路運輸組織靈活性、時效性和便捷性具有重要意義。

集結(jié)車輛到達調(diào)車場等待編發(fā)，該過程具有排隊系統(tǒng)的一般特征，可以通過建立排隊模型對車輛集結(jié)過程進行分析。關(guān)于車輛集編排隊系統(tǒng)的研究，以往研究主要集中在傳統(tǒng)的定點和定編兩種模式[2-6]，對放寬條件定點集結(jié)模式研究較少[7-8]。Petersen[2-3]建立了定點與定編集結(jié)模式下車輛單個到達成批服務(wù)的集編排隊系統(tǒng)。Turnquist等[4]在此基礎(chǔ)上，根據(jù)集結(jié)模式特點的不同，分別建立了兩種車輛批量服務(wù)排隊模型，并對列車編成輛數(shù)大小不作限制，這與實際不符。史峰等[5]建立了定編集結(jié)模式下車輛成批到達成批瞬時服務(wù)的隨機服務(wù)系統(tǒng)，集結(jié)車輛數(shù)一旦達到滿軸編成輛數(shù)，系統(tǒng)立馬開始服務(wù)，服務(wù)時間為0。林楓[6]分別針對定點和定編兩種集編系統(tǒng)建立了車輛批到達批服務(wù)排隊模型。李靜等[7-8]建立了放寬條件定點集結(jié)模式下車輛集編系統(tǒng)的批到達批服務(wù)排隊模型。

以上研究沒有考慮在放寬條件定點集結(jié)模式下，對相鄰出發(fā)列車進行車流分配的情形。即考慮到同一去向后編列車可能丟線，先編列車在滿足出發(fā)條件基礎(chǔ)上，將部分本應隨先編列車出發(fā)的車輛編組到后編列車，使得后編列車剛好滿足出發(fā)條件，以保證兩列車均正點出發(fā)[1]。針對該問題，本文構(gòu)建了考慮相鄰出發(fā)列車車流分配的車輛集編排隊模型。首先，利用嵌入式馬爾可夫鏈方法求得系統(tǒng)在發(fā)車時刻的車輛集結(jié)隊長穩(wěn)態(tài)分布，然后通過補充變量法得到系統(tǒng)在任意時刻隊長穩(wěn)態(tài)分布與發(fā)車時刻穩(wěn)態(tài)分布的關(guān)系式，并對車輛平均集結(jié)隊長、平均集結(jié)延誤時間等系統(tǒng)指標進行分析，重點分析車流分配對系統(tǒng)性能的影響。

1 系統(tǒng)模型

1.1 模型說明

針對一個方向的車輛集編排隊系統(tǒng)，將其抽象描述為由該方向集結(jié)車輛和相應列車編發(fā)系統(tǒng)組成的單隊列單服務(wù)臺排隊模型。其中，“顧客”為集結(jié)車輛，“服務(wù)臺”為列車編發(fā)系統(tǒng)。假設(shè)時間軸被分成等長時間段，稱為時隙。不失一般性，時隙用0,1,2,…,t,…表示，則時間用時隙數(shù)表示。t-為車輛到達前時刻；t+為車輛離去時刻；*為任意時刻。為明確t時刻系統(tǒng)狀態(tài)，約定車輛到達只能發(fā)生在時隙末端(t-,t)，同時約定車輛離開，即系統(tǒng)服務(wù)開始或結(jié)束，只能發(fā)生在時隙首端(t,t+)，車輛到達時刻示意見圖1。本文排隊模型采用具有延遲入口的晚到系統(tǒng)[9]。

一般來講，系統(tǒng)狀態(tài)概率在到達前時刻，離去時刻與任意時刻是不相等的。

1.2 模型構(gòu)建

(1) 到達過程

車輛以車組的形式批量到達，假設(shè)車組到達為Bernoulli過程，離散時間的Bernoulli到達過程相當于連續(xù)時間的Poisson過程[2,4,6,10-11]，具有與Poisson到達過程一樣的無后效性[12]。λ為車組到達強度，0<λ<1;X為1次到達車組包含車輛數(shù)，為正整數(shù)隨機變量。其分布函數(shù)及母函數(shù)分別為

gm=P(X=m)m≥1

(2) 服務(wù)過程

列車圖定發(fā)車時刻表已知，當不考慮調(diào)機運用及出發(fā)作業(yè)能力限制時，車輛在集編系統(tǒng)延誤時間主要由等待出發(fā)時刻造成[4]。因此，假定最晚編組時刻與列車圖定發(fā)車時刻之間的編組及出發(fā)作業(yè)時間為固定值[13]，則列車圖定發(fā)車時間間隔與最晚編組時間間隔具有相同的分布規(guī)律。為討論方便，在文中不考慮最晚編組時刻與列車出發(fā)時刻之間的固定時間，將最晚編組時刻稱為發(fā)車時刻，并將間隔時間用排隊理論中的專門用語“服務(wù)時間”描述。

由此，定義從列車出發(fā)時刻起到下一個發(fā)車時刻之間的過程為排隊系統(tǒng)的服務(wù)過程，服務(wù)過程持續(xù)時間為服務(wù)時間，也稱為車輛集編排隊系統(tǒng)處于運行期間。時刻t1與t2之間的過程為系統(tǒng)服務(wù)過程，見圖2。S為服務(wù)時間，其概率分布st為

st=P(s=t)t=1,2,3，…

母函數(shù)S(z)為

假設(shè)系統(tǒng)服務(wù)時間與服務(wù)批量大小無關(guān)。系統(tǒng)運行結(jié)束只能發(fā)生在時隙首端(t,t+)期間內(nèi)，此時，t+也稱為系統(tǒng)運行結(jié)束時刻。

(3) 休假過程

在發(fā)車時刻，如果集結(jié)車輛數(shù)不能滿足最小編成輛數(shù)約束，列車不能組織編發(fā)。如圖2中，最小編成輛數(shù)l為25，滿軸編成輛數(shù)c為50，t2時刻系統(tǒng)內(nèi)集結(jié)車輛數(shù)為15，小于最小編成輛數(shù)，該情形下，列車丟線，車輛繼續(xù)集結(jié)，等待下一條運行線。從列車丟線時刻起到下一個出發(fā)時刻為止之間的過程稱為排隊系統(tǒng)的休假過程，也稱為車輛集編排隊系統(tǒng)處于丟線期間。如時刻t2與t3之間的過程為系統(tǒng)休假過程。V為休假時間，其概率分布vt為

vt=P(v=t)t=1,2,3，…

母函數(shù)V(z)為

當車列提前或延遲集結(jié)結(jié)束，不考慮加線。同樣系統(tǒng)丟線結(jié)束只能發(fā)生在時隙首端(t,t+)期間內(nèi)，此時，t+稱為系統(tǒng)丟線結(jié)束時刻。

在發(fā)車時刻，只要系統(tǒng)內(nèi)集結(jié)車輛數(shù)不能滿足最小編成輛數(shù)要求，列車可能多次丟線。如圖2所示，在t3時刻，系統(tǒng)內(nèi)集結(jié)車輛數(shù)為20，還是小于最小編成輛數(shù)，在上一次丟線結(jié)束以后，列車再次丟線。

從以上描述可知，系統(tǒng)運行結(jié)束及系統(tǒng)丟線結(jié)束時刻等同于車輛離去時刻，在文中統(tǒng)稱為發(fā)車時刻。

(4) 排隊規(guī)則

N為某集結(jié)方向最多等待車輛數(shù)，則系統(tǒng)內(nèi)最多車輛數(shù)為N+c(c≤N)，并假設(shè)當容量限制時，到達車組可以拆分，即部分車輛進入調(diào)車場，剩余車輛不能進入。車輛按照先到先服務(wù)的規(guī)則等待編發(fā)。

(5) 服務(wù)規(guī)則

在發(fā)車時刻，車輛集結(jié)隊長為n時，先編列車在滿足出發(fā)條件基礎(chǔ)上，將部分本應隨先編列車出發(fā)的車輛編組到后編列車，使得后編列車剛好滿足出發(fā)條件。服務(wù)批量大小等于列車編成輛數(shù)，該參數(shù)為同時受列車最小編成輛數(shù)與滿軸編成輛數(shù)限制的正整數(shù)隨機變量。

在發(fā)車時刻，相鄰出發(fā)列車不分配車流的情形包括：

① 車輛集結(jié)隊長n

② 車輛集結(jié)隊長n=l時，組織所有車輛編發(fā)，系統(tǒng)進入運行過程，剩余車輛數(shù)為0，該情形下，先編列車不用為后編列車分配車流。

③ 車輛集結(jié)隊長n滿足l+1≤n≤min(c+l-1,N)時，存在兩種情形不需要進行車流分配：一是當先編列車編成輛數(shù)為最小編成輛數(shù)l時，能為后編列車分配的最大車輛數(shù)為(n-l)，當前列車出發(fā)以后，系統(tǒng)運行期間內(nèi)到達車輛數(shù)與剩余車輛數(shù)之和仍然小于最小編成輛數(shù)，該情形下不分配車流。因為即使最大限度的為了保證兩列車均正點出發(fā)，還是不能滿足后編列車的出發(fā)要求，寧可將集結(jié)車輛編入先編列車出發(fā)，從而減少車輛集結(jié)時間。二是當先編列車滿軸出發(fā)以后，剩余車輛數(shù)與當前列車運行期間內(nèi)到達車輛數(shù)之和能夠滿足后編列車最小編成輛數(shù)約束，該情形下，先編列車不用為后編列車分配車流。

( 1 )

以圖2為例對上述分配車流規(guī)則進行說明。在發(fā)車時刻t2與t3處，集結(jié)車輛數(shù)均小于最小編成輛數(shù)，列車連續(xù)兩次丟線，先編列車不用為后編列車分配車流。t4時刻，車輛集結(jié)隊長為30，大于最小編成輛數(shù)，且估計到系統(tǒng)運行期間能夠到達的車輛數(shù)為15，先編列車最多能為后編列車分配的車輛數(shù)為5，后編列車仍然不能滿足出發(fā)條件，因此，先編列車不為后編列車分配車流，組織所有車輛編發(fā)，剩余車輛數(shù)為0。t5時刻，集結(jié)隊長為15，小于最小編成輛數(shù)，列車丟線，先編列車不用為后編列車分配車流。t6時刻車輛集結(jié)隊長為40，大于最小編成輛數(shù)，且估計到系統(tǒng)運行期間能夠到達的車輛數(shù)為15，為了保證后編列車也能正點出發(fā)，t6時刻，列車不全部編發(fā)所有集結(jié)車輛，而是只編組前30輛車，為后編列車留下10輛，使得后編列車也能剛好滿足出發(fā)條件。t7時刻，本應隨t6時刻列車出發(fā)的10輛集結(jié)車輛，再加上t6與t7時刻之間到達的15輛車，列車剛好能夠滿足出發(fā)條件，立即組織所有車輛編發(fā)，先編列車同樣不用為后編列車分配車流。t8時刻，系統(tǒng)內(nèi)車輛集結(jié)隊長為80，當前列車即使?jié)M軸編發(fā)，剩余車輛數(shù)為30，后編列車也能夠滿足出發(fā)條件，所以先編列車不用為后編列車分配車流。

假設(shè)以上隨機過程均具有平穩(wěn)性與各態(tài)歷經(jīng)性；在安排發(fā)車時，暫不考慮機車運用、區(qū)段通過能力和技術(shù)站作業(yè)能力的限制。

2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布

系統(tǒng)只有在發(fā)車時刻才具有馬爾可夫性，因此，設(shè)定發(fā)車時刻車輛集結(jié)隊長為系統(tǒng)狀態(tài)變量，利用嵌入式馬爾可夫鏈方法得到發(fā)車時刻系統(tǒng)狀態(tài)的平穩(wěn)分布。對于成批到達的系統(tǒng)，發(fā)車時刻與任意時刻的車輛集結(jié)隊長不服從相同分布[14]。因此，為了得到任意時刻車輛集結(jié)隊長分布，需要尋求其與發(fā)車時刻隊長分布之間的關(guān)系。

2.1 發(fā)車時刻車輛集結(jié)隊長分布

式中：S為系統(tǒng)處于運行狀態(tài);V為系統(tǒng)處于丟線狀態(tài);矩陣SS,SV,VS,VV分別表示系統(tǒng)在運行和丟線兩種狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移。根據(jù)系統(tǒng)描述可知：SSε=VSε，SVε=VVε。由于對相鄰出發(fā)列車進行車流分配，分配車流方案一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣在不分配車流方案基礎(chǔ)上發(fā)生變化。發(fā)生變化情形是在發(fā)車時刻車輛集結(jié)隊長大于最小編成輛數(shù)時，即當系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)為運行狀態(tài)時，由于SS1=VS1，這里只討論SS1情形。SS0為不進行車流分配時一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，SS附加為對車流進行分配時一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣發(fā)生的變化，兩者之和即為分配車流情形下的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，表示為SS1=SS0+SS附加。具體計算公式為

式中：

j>0k≥1 1≤n≤N-1

k≥1 0≤a≤l-1 1≤n≤N-1-a

當j+c≥2l時，δj+c=1，否則δj+c=0。

2.2 任意時刻車輛集結(jié)隊長分布

定義聯(lián)合概率

σn(r,t-)=P(Nt-=n,Rt-=r,εt-=1)

0≤n≤Nr≥0

ωn(r,t-)=P(Nt-=n,Ht-=r,εt-=0)

0≤n≤Nr≥0

穩(wěn)態(tài)條件下有

σn(r)=limt-→∞σn(r,t-)

ωn(r)=limt-→∞ωn(r,t-)

對應母函數(shù)分別為

|z|≤1 0≤n≤N

當l

( 2 )

( 3 )

(1-λ)[σc+n(0)+ωc+n(0)]l+1≤n≤N-c-1

( 4 )

( 5 )

( 6 )

當l≥N-c時

( 7 )

( 8 )

( 9 )

(10)

(11)

ω0=(1-λ)ω0-(1-λ)ω0(0)+(1-λ)[σ0(0)+ω0(0)]

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：E(S)、E(V)分別為平均服務(wù)時間、均值。

由式( 2 )～式(17)可求得{σn,ωn}。

3 系統(tǒng)性能指標

(1) 車輛平均集結(jié)隊長

系統(tǒng)任意時刻車輛集結(jié)隊長為n的概率pn為

pn=σn+ωn0≤n≤N

則車輛平均集結(jié)隊長Lq為

(18)

(2) 車輛平均集結(jié)延誤時間

Wq為車輛平均集結(jié)延誤時間，表示任意待集結(jié)車輛在編發(fā)系統(tǒng)內(nèi)集結(jié)等待的平均時間。由于車輛平均集結(jié)延誤時間與平均集結(jié)隊長之間滿足Little關(guān)系，因此，車輛平均集結(jié)延誤時間為

(19)

(3) 效率

用任意時刻系統(tǒng)處于運行過程概率來反映編發(fā)系統(tǒng)工作效率，則編發(fā)系統(tǒng)處于忙期概率ρb為

(20)

(4) 利用率

列車牽引能力利用率p利用率為列車平均編成輛數(shù)與滿軸編成輛數(shù)的比值，則

p利用率=Ls/c

(21)

(5) 一晝夜發(fā)送車流量

E為一個方向車輛集編排隊系統(tǒng)一晝夜服務(wù)完成后離開的車輛數(shù)為一晝夜發(fā)送車流量

E=n圖×ρb×Ls

(22)

式中：n圖為該方向一晝夜圖定平均發(fā)送列車數(shù),n圖=24/E(S)。

4 算例分析

車流到達強度λ=0.1時，分配車流方案的車輛平均集結(jié)隊長與集結(jié)延誤時間均隨著最小編成輛數(shù)增加而先減小后增大，不分配車流方案的車輛平均集結(jié)隊長與集結(jié)延誤時間均隨著最小編成輛數(shù)增加而單調(diào)遞增，見圖3。分配車流方案車輛平均集結(jié)隊長和集結(jié)時間均大于不分配車流方案，在最小編成輛數(shù)較大時，甚至大于采用滿軸編成輛數(shù)時集結(jié)隊長和時間，因此，從節(jié)省車輛集結(jié)時間角度，對相鄰出發(fā)列車進行車流分配是不利的。

最小編成輛數(shù)對效率與利用率的影響見圖4。由圖4可見，編發(fā)系統(tǒng)工作效率隨著最小編成輛數(shù)增加逐漸下降，利用率逐漸上升，分配車流方案效率高于不分配車流方案，但利用率低于不分配車流方案，表明對相鄰出發(fā)列車進行車流分配增加了列車正點發(fā)車概率，但出發(fā)列車平均編成輛數(shù)會有所下降。

當最小編成輛數(shù)l分別為1、25時，車輛平均集結(jié)隊長與集結(jié)延誤時間隨車流到達強度變化的趨勢，見圖5。由圖5(a)可見，隨著車流到達強度增加，車輛平均集結(jié)隊長增加，但分配車流方案集結(jié)隊長大于不分配車流方案；由圖5(b)可見，當l=1時，即在定點集結(jié)模式下，分配車流方案的車輛平均集結(jié)延誤時間隨著車流到達強度增加而先增加后減小并逐漸趨近于平穩(wěn)?？梢越忉尀?，當車流到達強度較小時，本應隨先編列車出發(fā)的車輛為了等待后編列車而增加了延誤時間；當車流到達強度繼續(xù)增大，該類延誤時間減小，車輛平均集結(jié)延誤時間呈現(xiàn)下降趨勢；隨著到達強度繼續(xù)增大，車輛需要在站集結(jié)等待列車運行時刻，且由于容量限制，超過容量限制的車輛不能進入系統(tǒng)，車輛集結(jié)延誤時間逐漸趨近于平穩(wěn)。當l=25時，分配車輛方案車輛集結(jié)延誤時間隨車流到達強度增加而先減小后增大直至趨近平穩(wěn)，分配車輛方案與不分配車流方案車輛集結(jié)延誤時間隨車流到達強度具相似的變化趨勢。但分配車流方案車輛集結(jié)延誤時間始終大于不分配車流方案。

車流到達強度對效率與利用率的影響見圖6。由圖6(a)可見，車流到達強度越大，列車出發(fā)運行的概率越高，編發(fā)系統(tǒng)的工作效率越高，分配車流方案效率高于不分配車流方案；圖6(b)表明車流到達強度越大，列車平均編成輛數(shù)越大，列車牽引能力利用率越高，分配車流方案能力利用率小于不分配車流方案，隨著到達強度增加，分配車流方案和不分配車流方案的利用率均趨近于1。

當λ=0.1時，一晝夜發(fā)送車流量受到最小編成輛數(shù)變化的影響見圖7(a)。最小編成輛數(shù)與不分配車流方案一晝夜發(fā)送車流量呈負相關(guān)，即最小編成輛數(shù)等于1時，該方向一晝夜發(fā)送車流量最多。分配車流方案一晝夜發(fā)送車流量隨著最小編成輛數(shù)增加而先增加后減小，最小編成輛數(shù)較小時，車流分配增加了列車發(fā)車概率，運行線能力較不分配車流方案得到了更好利用；但隨著最小編成輛數(shù)增大，列車丟線概率增加，丟線導致發(fā)送車流量下降。分配車流方案一晝夜發(fā)送車流量大于不分配車流方案。同時，隨著到達強度增大，分配車流方案與不分配車流方案的發(fā)送車流量均呈現(xiàn)增長趨勢，兩者變化規(guī)律基本一致，見圖7(b)。

定義最優(yōu)最小編成輛數(shù)為使得該方向一晝夜發(fā)送車流量最大的最小編成輛數(shù)。當不分配車流時，最優(yōu)最小編成輛數(shù)始終等于1，見圖7(a)。當分配車流時，最優(yōu)最小編成輛數(shù)及對應列車平均編成輛數(shù)和平均集結(jié)隊長變化趨勢見圖8。隨著到達強度增加，最優(yōu)最小編成輛數(shù)增加，到達強度較小時，最優(yōu)最小編成輛數(shù)增長較快，到達強度較大時，增長趨于平穩(wěn)。該算例中到達強度在[0.25,0.81]區(qū)間變化時，最優(yōu)最小編成輛數(shù)恒為25。車輛平均集結(jié)隊長和列車平均編成輛數(shù)隨著車流到達強度增加而增加，當?shù)竭_強度足夠大時，列車平均編成輛數(shù)基本等于滿軸編成輛數(shù)，車輛平均集結(jié)隊長逐漸增大并逐漸趨近系統(tǒng)容量限制。

5 結(jié)束語

本文將車輛在站集結(jié)過程描述成具有容量限制的采用多重休假策略的批到達批服務(wù)離散時間排隊模型。考慮相鄰出發(fā)列車車流分配，引入了車流分配機制，得到了穩(wěn)態(tài)條件下發(fā)車時刻及任意時刻車輛集結(jié)隊長分布，并得到了系統(tǒng)指標的數(shù)學表達式。最后，通過算例，針對分配車流方案與不分配車流方案的系統(tǒng)指標及最優(yōu)最小編成輛數(shù)變化規(guī)律進行了對比分析。

算例結(jié)果表明：(1)分配車流方案較不分配車方案，車輛的平均集結(jié)隊長與平均集結(jié)延誤時間均較長，從減少車輛集結(jié)延誤時間角度，對相鄰出發(fā)列車進行車流分配是不利的。(2)對相鄰出發(fā)列車進行車流分配使得列車平均編成輛數(shù)減小，但由于提高了發(fā)車時刻列車正點發(fā)車概率，綜合起來表現(xiàn)為分配車流方案一晝夜發(fā)送車流量較大。因此，從增加一晝夜發(fā)送車流量角度，對相鄰出發(fā)列車進行車流分配是有利的。(3)分配車流方案的最優(yōu)最小編成輛數(shù)隨著到達強度增加而逐漸增大，不分配車流方案的最優(yōu)最小編成輛數(shù)則始終等于1。